劉媛妮

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

1 概述

隨著自然災(zāi)害、惡意攻擊等事件對(duì)互聯(lián)網(wǎng)生存性構(gòu)成的威脅日益增多，提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性具有重要的研究意義。以往的網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究大都建立在圖論基礎(chǔ)上，不能很好地把握Internet的拓?fù)湟?guī)律和動(dòng)態(tài)行為特性，很難從根本上解決大型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的抗毀性問題。Internet發(fā)展至今，其內(nèi)在規(guī)律在外部則表現(xiàn)為度分布的冪率特性[1-2]，即:()PK=CKλ-× ，其中，P(K)指節(jié)點(diǎn)度數(shù)為K的概率；C為常數(shù)；λ為常數(shù)。這種冪率特性并不是偶然出現(xiàn)的，而是其內(nèi)在的擇優(yōu)選擇機(jī)制所產(chǎn)生的結(jié)果:新節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)時(shí)總是傾向于與最“優(yōu)”的節(jié)點(diǎn)相連。從用戶角度來講，其加入網(wǎng)絡(luò)時(shí)將會(huì)傾向于選擇與具有較高抗攻擊能力以及自恢復(fù)能力的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，以保證自身的安全性；而對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)存在的節(jié)點(diǎn)來說，抗毀性越強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)獲得新節(jié)點(diǎn)連接的概率越大。因此，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)抗毀性問題的研究，要從網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的發(fā)展規(guī)律出發(fā)，通過研究節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)態(tài)演化行為建立具有抗毀性的網(wǎng)絡(luò)模型，將是網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究的一條新途徑。

HOT[3-4]最優(yōu)化理論表明，系統(tǒng)在朝最優(yōu)化方向演化后，其外在特征將會(huì)表現(xiàn)出冪率特性。因此，當(dāng)把建立具有抗毀性的網(wǎng)絡(luò)模型作為 HOT問題進(jìn)行求解時(shí)，為了真實(shí)模擬節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的演化過程，節(jié)點(diǎn)在進(jìn)行擇優(yōu)選擇的過程中，要根據(jù)節(jié)點(diǎn)的抗攻擊能力、自恢復(fù)能力、連接能力、傳輸代價(jià)以及連接范圍等因素綜合考慮最“優(yōu)”的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接。這種擇優(yōu)選擇的過程不僅使Internet最終在外在形式上表現(xiàn)為節(jié)點(diǎn)度符合冪率分布、抗攻擊能力等綜合特性朝最優(yōu)化方向發(fā)展，從而可以從根本上解決網(wǎng)絡(luò)性能的優(yōu)化問題。

本文將建立具有抗毀性的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)演化模型作為 HOT問題進(jìn)行求解，通過模擬單個(gè)節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的產(chǎn)生、成長(zhǎng)和消亡過程來建立具有抗毀性的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)演化模型，使得建立的模型不僅在節(jié)點(diǎn)度分布上與互聯(lián)網(wǎng)節(jié)點(diǎn)度分布呈現(xiàn)冪率特性相一致，而且將抗毀性作為節(jié)點(diǎn)擇優(yōu)互聯(lián)的一個(gè)考慮因素，從系統(tǒng)發(fā)展的內(nèi)部演化規(guī)律使得模型的抗毀能力朝最優(yōu)化方向發(fā)展。

2 研究現(xiàn)狀

研究表明，Internet的節(jié)點(diǎn)度分布符合冪率分布(power law)，在這種分布下，網(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點(diǎn)只有少數(shù)連接，而少數(shù)節(jié)點(diǎn)則擁有大量的連接。HOT理論從系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的角度說明了冪率特性產(chǎn)生的原因:即全局性的優(yōu)化過程可導(dǎo)致冪率分布。HOT理論建模是使用一種優(yōu)化框架來模擬節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的發(fā)展過程，并且以一種增量式優(yōu)化的方法使系統(tǒng)不斷朝最優(yōu)的方向發(fā)展，這種方式是按照網(wǎng)絡(luò)發(fā)展的內(nèi)部誘因來建模，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)朝最優(yōu)化方向發(fā)展的過程中，一些外部表現(xiàn)如power law等特征會(huì)自然地表現(xiàn)出來，而不是僅關(guān)注一些統(tǒng)計(jì)特性的顯式表現(xiàn)，如節(jié)點(diǎn)的層次性、節(jié)點(diǎn)度分布等。HOT系統(tǒng)是伴隨著使系統(tǒng)故意朝向魯棒性設(shè)置的過程出現(xiàn)的，目的是使系統(tǒng)對(duì)不確定性有一定的容忍度(Tolerance)。產(chǎn)量的最優(yōu)化將會(huì)產(chǎn)生高性能以及高的吞吐量以及事件規(guī)模的冪率分布和對(duì)于不確定性事件的高敏感性。

HOT系統(tǒng)對(duì)于系統(tǒng)在設(shè)計(jì)過程中實(shí)現(xiàn)考慮到的因素，具有很強(qiáng)的魯棒性(high-robust)，但是對(duì)于考慮到的因素，有著很強(qiáng)的敏感性(fragile)，也反映了當(dāng)前復(fù)雜系統(tǒng)的 Robust-yet-fragile特性。當(dāng)前針對(duì)HOT理論的應(yīng)用主要集中于 2個(gè)方面:(1)PLR(Probability-Loss-Resource)問題的優(yōu)化[2]；(2)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化建模[5-6]。

文獻(xiàn)[5]最先嘗試將 Internet建模作為 HOT問題求解。新節(jié)點(diǎn)i連接到一個(gè)已存在的節(jié)點(diǎn)j的依據(jù)是2個(gè)目標(biāo)的權(quán)重最小，即:

其中，dij為i到j(luò)的歐幾里德距離；hj是從j到其他所有節(jié)點(diǎn)的平均跳數(shù)。當(dāng)α在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，可以得到星形、指數(shù)度分布和冪率度分布3種類型的拓?fù)鋄1]。文獻(xiàn)[6]等開始嘗試應(yīng)用 HOT理論對(duì) Internet的AS級(jí)拓?fù)溥M(jìn)行建模，他們?cè)诓煌潭壬峡紤]了AS的連接能力、商業(yè)關(guān)系、連接代價(jià)等直觀因素，生成的模型在某些特性上與真實(shí)拓?fù)湎喾稀?/p>

3 動(dòng)態(tài)演化模型

3.1 基本定義

通過研究，將網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)抽象為一個(gè)8元組(i, Ipi, Cci, Cri, Rdi, Sri, Aai, (xi, yi))，其中:

(1)i:區(qū)分不同節(jié)點(diǎn)的唯一標(biāo)識(shí)。

(2)Ipi:節(jié)點(diǎn)的重要性，用于衡量節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度。節(jié)點(diǎn)i在加入網(wǎng)絡(luò)時(shí)，首先要根據(jù)其重要性以確定其連接能力、連接范圍等屬性，另外節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)演化過程中，其重要性將會(huì)發(fā)生改變。因此，節(jié)點(diǎn)i的重要性可以表示為:

其中，Ci為節(jié)點(diǎn) i重要性的常量部分；Bi為節(jié)點(diǎn) i重要性的變量部分；由該節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)后的介數(shù)[7-8]決定，α為Ci與Bi之間的調(diào)節(jié)因子。

(3)Cci:節(jié)點(diǎn)的連接能力。節(jié)點(diǎn)受其性能限制所能連接的最大數(shù)目。重要性越高的節(jié)點(diǎn)其連接能力也越高，反之亦然。

(4)Cri:節(jié)點(diǎn)的連接半徑。在實(shí)際情況中，需要考慮連接的可行性，過長(zhǎng)的連接需要極高的連接代價(jià)，不具備實(shí)際意義。因此，節(jié)點(diǎn)i的連接范圍是以其自身坐標(biāo)為原點(diǎn)，Cri為半徑的圓。

(5)Rdi:節(jié)點(diǎn)的度增長(zhǎng)率。反映了節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的增長(zhǎng)速度的快慢。在網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的增長(zhǎng)速度并不相同，有些新加入節(jié)點(diǎn)在很短時(shí)間內(nèi)即變?yōu)槎葦?shù)較大的節(jié)點(diǎn)，引入度增長(zhǎng)率就是為了正確再現(xiàn)這一現(xiàn)象。在模型中以隨機(jī)分布的方式為節(jié)點(diǎn)設(shè)置度增長(zhǎng)率。

(6)(xi, yi):節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。節(jié)點(diǎn)i在模擬范圍內(nèi)的坐標(biāo)值。

(7)Sri:節(jié)點(diǎn)的自恢復(fù)能力。衡量節(jié)點(diǎn)在受到攻擊后從脫離網(wǎng)絡(luò)到成功恢復(fù)這一能力的大小。在通常情況下，關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)具有更好的備份措施，因此，重要性越大的節(jié)點(diǎn)自恢復(fù)的能力更高。

(8)Aai:節(jié)點(diǎn)的抗攻擊能力。衡量節(jié)點(diǎn)對(duì)于攻擊的抵御能力，通常對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，其周圍部署的安全工具較之普通節(jié)點(diǎn)要多得多，對(duì)于一般的攻擊抵抗能力也會(huì)增高。

3.2 模型建立過程

模型在建立的最初階段需要在網(wǎng)絡(luò)中一次性加入m0個(gè)節(jié)點(diǎn)，隨后將以這m0個(gè)節(jié)點(diǎn)為基礎(chǔ)，每一步隨機(jī)地進(jìn)行如下的一個(gè)操作:

(1)以概率p1加入一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)i，該操作主要分為4步:

1)配置節(jié)點(diǎn)i的各種屬性。

2)根據(jù) i坐標(biāo)信息，在其連接范圍 Cri內(nèi)選擇一節(jié)點(diǎn)j進(jìn)行連接。新節(jié)點(diǎn)j選擇與網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點(diǎn)i連接的規(guī)則如下:若在節(jié)點(diǎn)i的連接范圍內(nèi)不存在這樣的節(jié)點(diǎn)j，則取消該操作；若存在節(jié)點(diǎn)j，則節(jié)點(diǎn)j被選擇的概率:

3)將節(jié)點(diǎn) i與被選中的節(jié)點(diǎn) j連接，即加入一條新邊 i?j。

4)更新網(wǎng)絡(luò)信息。由于新加入了節(jié)點(diǎn)和邊，需對(duì)網(wǎng)絡(luò)中受影響的節(jié)點(diǎn)重新計(jì)算其各屬性值。

(2)以概率 p2加入一條新邊:在節(jié)點(diǎn) i和節(jié)點(diǎn) j之間加入新的連接邊，主要分為2步:

1)在所有節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇一節(jié)點(diǎn) i，且滿足Ki＜Cci，其中Ki為節(jié)點(diǎn)i當(dāng)前的度數(shù)，即在添加邊的過程中要保證節(jié)點(diǎn)的度數(shù)不超過其連接能力。

2)在節(jié)點(diǎn)i的連接范圍內(nèi)選擇一節(jié)點(diǎn)j進(jìn)行連接。選擇j時(shí)應(yīng)滿足Ccj＞Cci，同時(shí)，節(jié)點(diǎn)j被選擇的概率應(yīng)為Pnj。若在i的連接范圍內(nèi)不存在這樣的節(jié)點(diǎn)j，則操作到此結(jié)束。

(3)以概率 p3刪除一個(gè)已存在的節(jié)點(diǎn)，包括 2種情況:

1)永久性刪除節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)的正常更替:此操作主要分成2步:

①重要性越小的節(jié)點(diǎn)被更替的概率越大。則節(jié)點(diǎn)j被刪除的概率為:

②更新網(wǎng)絡(luò)信息:對(duì)網(wǎng)絡(luò)中受影響的節(jié)點(diǎn)重新計(jì)算其各屬性值。

2)攻擊性刪除節(jié)點(diǎn):網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)受到攻擊，使得節(jié)點(diǎn)暫時(shí)失效，在這種情況下，節(jié)點(diǎn)經(jīng)過一段時(shí)間的自恢復(fù)后還會(huì)重新加入到網(wǎng)絡(luò)中。此操作主要分為3步:

①重要性越大的節(jié)點(diǎn)被刪除的概率越大。則節(jié)點(diǎn)j被選擇的概率為:

②節(jié)點(diǎn)j被選擇后，則以概率P判定該次攻擊能否成功，若成功，則將節(jié)點(diǎn)j以及與其連接的所有邊一并刪除；若失敗，說明節(jié)點(diǎn)足以抵御這一次攻擊，則操作到此取消。

③若上述攻擊成功，則更新網(wǎng)絡(luò)信息。需對(duì)網(wǎng)絡(luò)中受影響的節(jié)點(diǎn)重新計(jì)算其各屬性值。

(4)以概率p4刪除一條已存在的邊。

1)在全部節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇一節(jié)點(diǎn)作為 i，設(shè)網(wǎng)絡(luò)全部節(jié)點(diǎn)數(shù)為x，則i被選中的概率為1/x。在i的所有邊中，選擇連接的j重要性最小的邊進(jìn)行刪除。節(jié)點(diǎn)j被選擇的概率為Pdj。

2)若刪除掉該邊之后，i的度變?yōu)?，脫離整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，則再執(zhí)行邊重連的操作。

4 網(wǎng)絡(luò)抗毀性動(dòng)態(tài)演化模型分析

本節(jié)首先對(duì)建立的網(wǎng)絡(luò)模型的度分布進(jìn)行分析，然后研究節(jié)點(diǎn)的度分布情況，以及在何種情況下會(huì)產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)度符合冪率分布的模型。

4.1 節(jié)點(diǎn)度分布分析

在建模時(shí)，執(zhí)行完初始化操作之后，假設(shè)余下的4種操作在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)被執(zhí)行的概率分別為P1、P2、P3、P4，在刪除已有邊的過程中又分為以概率 P31永久性刪除或者以概率 P32進(jìn)行攻擊性刪除，其中，P3=P31+P32。設(shè)節(jié)點(diǎn) i加入網(wǎng)絡(luò)過程中選擇節(jié)點(diǎn) j進(jìn)行連接的概率為 Pnj，永久性刪除特定節(jié)點(diǎn) j的概率為Pdj，攻擊性刪除特定節(jié)點(diǎn) j的概率為Paj，節(jié)點(diǎn) j被攻擊成功的概率為p，刪除特定邊中選擇的概率為在網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)隨機(jī)選擇，即 1/x(x為當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)中全部節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù))，選擇j的概率是Pdj，即刪除邊i?j的概率為 Pdj×(1/x)。

設(shè)函數(shù) p(K,ti,t)表示節(jié)點(diǎn)i在ti時(shí)刻加入域間路由系統(tǒng)，在t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)度數(shù)變?yōu)镵的概率，則:

由連續(xù)演化定理，節(jié)點(diǎn)度數(shù)分布概率為:

只有在執(zhí)行了刪除節(jié)點(diǎn)的操作之后，節(jié)點(diǎn)的度數(shù)可能變?yōu)?，所以:

根據(jù)概率和為1，即:

由式(7)～式(9)可計(jì)算出P(K)的遞推公式:

4.2 冪律特性產(chǎn)生條件分析

將式(2)～式(4)代入P(K)的表達(dá)式(10)內(nèi)化簡(jiǎn)進(jìn)行分析可得:

節(jié)點(diǎn)度數(shù)服從冪指數(shù)為3的冪率分布。節(jié)點(diǎn)度服從指數(shù)分布。

5 仿真分析

本文仿真實(shí)驗(yàn)使用負(fù)荷-容量模型[9-10]，基于Matlab6.5環(huán)境，研究在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模同為 1000個(gè)節(jié)點(diǎn)4413條邊，HOT模型和BA模型在發(fā)生相繼失效的情況下，網(wǎng)絡(luò)效率E隨失效節(jié)點(diǎn)數(shù)目所占比例P增多時(shí)的變化情況。其中，HOT模型中各參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 HOT模型各參數(shù)值 (%)

通過仿真實(shí)驗(yàn)，得到1000個(gè)節(jié)點(diǎn)的HOT網(wǎng)絡(luò)模型的節(jié)點(diǎn)度分布如圖 1所示，其中，直線是P(K )= C× K-3(C為常數(shù))的曲線，散點(diǎn)為HOT模型中節(jié)點(diǎn)度的概率分布，由圖 1可以看出，HOT模型的度分布與 P(K )= C× K-3的曲線十分接近。

圖1 N=1000時(shí)的HOT模型節(jié)點(diǎn)度分布

為了驗(yàn)證HOT模型的抗毀性，本文在HOT模型以及BA模型上(其中，BA模型的冪指數(shù)為?3)研究網(wǎng)絡(luò)在受到2種不同類型的節(jié)點(diǎn)失效后，網(wǎng)絡(luò)效率E和其初始效率E1之比隨著失效節(jié)點(diǎn)數(shù)目增多時(shí)的變化情況，仿真結(jié)果如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)分別為同等規(guī)模的BA和HOT模型在發(fā)生相繼失效情況下，網(wǎng)絡(luò)效率E與初始網(wǎng)絡(luò)效率E1的比值在基于節(jié)點(diǎn)度攻擊和節(jié)點(diǎn)隨機(jī)失效的情況下隨著節(jié)點(diǎn)失效數(shù)目增多的變化曲線。由圖2可以看出，隨著節(jié)點(diǎn)失效數(shù)目的增多，網(wǎng)絡(luò)效率E不斷下降，但是基于HOT模型的網(wǎng)絡(luò)始終比BA模型具有更高的網(wǎng)絡(luò)效率比。這說明在同等網(wǎng)絡(luò)規(guī)模、網(wǎng)絡(luò)受到同等打擊的情況下，HOT模型比BA模型的網(wǎng)絡(luò)效率下降得少，具有更高的抗毀性。

圖2 受到不同類型攻擊時(shí)的網(wǎng)絡(luò)效率變化曲線

6 結(jié)束語

本文以一種優(yōu)化驅(qū)動(dòng)的方式建立了基于 HOT理論的抗毀性網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)演化模型，為進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究打下了基礎(chǔ)。該模型不僅優(yōu)于傳統(tǒng)的圖論的建模方法，而且更具真實(shí)性。在利用內(nèi)在規(guī)律研究抗毀性網(wǎng)絡(luò)模型的過程中，可以得出以下結(jié)論:網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)作為獨(dú)立的系統(tǒng)自主決策，并具有相同的目標(biāo)，即使自身利益最大化，因此在宏觀上具有一致性和可預(yù)測(cè)性。網(wǎng)絡(luò)的外在表現(xiàn)是可以調(diào)節(jié)的，這與其本身的特性并不矛盾；可以通過激勵(lì)措施引導(dǎo)各個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行決策，通過調(diào)節(jié)節(jié)點(diǎn)的不同屬性值，可以使系統(tǒng)在整體上表現(xiàn)出期望的特征。

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