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        結(jié)構(gòu)設(shè)置粘彈性阻尼器后的簡(jiǎn)諧受迫振動(dòng)

        2013-08-21 11:22:28
        山西建筑 2013年6期
        關(guān)鍵詞:幅頻特性粘彈性阻尼器

        符 蓉

        (華中科技大學(xué)文華學(xué)院城建學(xué)部土木工程系,湖北武漢 430070)

        0 引言

        粘彈性阻尼器作為一種理想的耗能構(gòu)件,目前正廣泛的應(yīng)用到結(jié)構(gòu)抗風(fēng)抗震工程領(lǐng)域當(dāng)中。當(dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)置了粘彈性阻尼器后,結(jié)構(gòu)的一些動(dòng)力特性將會(huì)發(fā)生改變,因此正確描述粘彈性阻尼器的本構(gòu)關(guān)系是研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的基礎(chǔ)。采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)描述的粘彈性阻尼器本構(gòu)關(guān)系可以僅用較少的參數(shù)構(gòu)成粘彈性阻尼器的力學(xué)模型,并能反映外部激勵(lì)頻率的變化對(duì)粘彈性阻尼器的力學(xué)性能的影響,被認(rèn)為是一種能精確描述粘彈性阻尼器特性的模型。本文研究了結(jié)構(gòu)設(shè)置粘彈性阻尼器后的受迫振動(dòng),推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),討論了粘彈性阻尼器參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)幅頻特性的影響。

        1 粘彈性阻尼器的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型

        粘彈性阻尼器主要以支撐的形式附加在結(jié)構(gòu)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到外激勵(lì)作用產(chǎn)生層間位移時(shí),就會(huì)帶動(dòng)粘彈性阻尼器兩側(cè)鋼板和中間鋼板產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),從而使鋼板之間的粘彈性材料產(chǎn)生剪切變形,耗散能量,實(shí)現(xiàn)減小結(jié)構(gòu)反應(yīng)的目的。粘彈性阻尼器的力學(xué)特性由分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)描述為:

        其中,kd,cd,α均為與粘彈性阻尼器有關(guān)的常數(shù)。而 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義為:

        2 設(shè)置粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型

        設(shè)置粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析是十分復(fù)雜的,因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)一般為多自由度體系,但是一些重要的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性可以通過(guò)分析單自由度結(jié)構(gòu)獲得。為了分析的方便,本文以設(shè)置粘彈性阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,如圖1所示,其中,m,c,k分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和水平剛度。粘彈性阻尼器以斜支撐的形式附加在結(jié)構(gòu)上。

        圖1 設(shè)置粘彈性阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

        結(jié)構(gòu)在水平簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下,其動(dòng)力方程為:

        無(wú)量綱化后為:

        3 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

        當(dāng)結(jié)構(gòu)不受到外激勵(lì)時(shí),進(jìn)行Laplace積分變換可以證明,不計(jì)平衡點(diǎn)的微小漂移時(shí)相應(yīng)的自由振動(dòng)方程:

        漸近于平衡點(diǎn)。由于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)為線性算子,則可以假設(shè)的結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)有相同的頻率。

        即:

        將式(6)代入式(4),并注意到分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式:

        可以得到:

        將sin(ωt-φ -απ/2)和 sinωt分別寫(xiě)成 sin[(ωt-φ)-απ/2]和 sin[(ωt-φ)+φ],利用三角公式展開(kāi)并令 sin(ωt-φ)和cos(ωt-φ)項(xiàng)系數(shù)相等,得到:

        分別消去φ和A,依次可以得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅為:

        將式(11)和式(12)代入式(6),即可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

        4 結(jié)構(gòu)的幅頻特性分析

        穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與結(jié)構(gòu)在靜荷載P作用下產(chǎn)生的靜位移P/(k+kd)的比值稱為動(dòng)力放大因子β,即:

        將放大因子 β寫(xiě)作頻率比s=ω/ωt的函數(shù),其中 ωt=,則 β(s)為:

        由式(14)可以得到與不設(shè)置粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)類似的結(jié)果如下:

        粘彈性阻尼器的粘性系數(shù)由系數(shù)ζd和α體現(xiàn)?,F(xiàn)在通過(guò)數(shù)值分析討論ζd和α對(duì)幅頻特性的影響。假設(shè)ωn=2.0 rad/s,ωd=0.5 rad/s,ζ=0.02。α =0.2,0.4,0.6,0.8 時(shí)動(dòng)力放大因子 β 隨頻率比s變化的曲線分別如圖2~圖5所示,在每個(gè)圖中,曲線由上至下依次取 ζd=0.0,0.25,0.5,0.75,1.0。

        圖2 α=0.2的幅頻特性曲線

        圖3 α=0.4的幅頻特性曲線

        從圖2~圖5可以看出,幅頻特性存在最大值,即出現(xiàn)共振。增大ζd和α均可以使共振的幅值減小。由于結(jié)構(gòu)的自身阻尼ζ=0.02很小,所以當(dāng)附加阻尼ζd=0.0時(shí)共振時(shí)基本在s=1時(shí)出現(xiàn)。隨著ζd的增加以及α的存在使得共振不在s=1出現(xiàn)。對(duì)于給定的α,共振頻率隨ζd增大而顯著減小。對(duì)于給定的ζd,共振頻率隨著α增大而增大,但是變化不是很明顯。

        圖4 α=0.6的幅頻特性曲線

        圖5 α=0.8的幅頻特性曲線

        5 結(jié)語(yǔ)

        本文建立了由分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型本構(gòu)關(guān)系描述的粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程,得到了該結(jié)構(gòu)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),并分析了粘彈性阻尼器參數(shù)對(duì)幅頻特性的影響。由于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)是線性算子,傳統(tǒng)的疊加原理依然適用,根據(jù)本文的結(jié)果可以得到系統(tǒng)對(duì)一般周期激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

        [1]Miller K S,Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations,1993.

        [2]Koh C G,Kelly J M.Application of Fractional Derivative to Seismic Analysis of Base-isolated Models.Earthquake Engineering and Structural Dynamics,1990:229-241.

        [3]劉延柱,陳文良,陳立深.振動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1998.

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