張 瑜，任澤洙，孫李紅

(1.哈爾濱商業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱150028;2.哈爾濱商業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，哈爾濱150028)

艾滋病(AIDS)全稱為“獲得性免疫缺陷綜合癥”，是一種由人體免疫缺陷病毒(HIV)所引起的以全身免疫系統(tǒng)嚴(yán)重?fù)p害為特征的傳染性疾病.自1981年在美國(guó)發(fā)現(xiàn)首例艾滋病病例后，艾滋病在全球范圍內(nèi)迅速蔓延.據(jù)《聯(lián)合國(guó)艾滋病規(guī)劃署2011年世界艾滋病日?qǐng)?bào)告》，截至2010年底，全球共有3400萬(wàn)(3160萬(wàn)～3520萬(wàn))名艾滋病感染者，其中2010年新發(fā)感染270萬(wàn)例(240萬(wàn)～290萬(wàn))，180萬(wàn)人(160萬(wàn)～190萬(wàn))死于艾滋病相關(guān)原因[1].而中國(guó)自1985年報(bào)告首例艾滋病至今，艾滋病病毒感染者迅速增加.截至2011年底，估計(jì)全國(guó)存活艾滋病病毒感染者和艾滋病病人78萬(wàn)人(62～94萬(wàn)人)，其中2011年新發(fā)HIV感染者4.8萬(wàn)人(4.1 ～5.4 萬(wàn)人)，艾滋病相關(guān)死亡 2.8 萬(wàn)人(2.5～3.1萬(wàn)人).2011年疫情估計(jì)結(jié)果提示在我國(guó)艾滋病呈現(xiàn)感染人群多樣化，流行形勢(shì)復(fù)雜化的趨勢(shì)，且仍有大量的HIV感染者和AIDS病人尚未被發(fā)現(xiàn)，存在進(jìn)一步傳播的危險(xiǎn)[2].

目前，關(guān)于艾滋病動(dòng)力學(xué)模型的相關(guān)研究很多[3－6]，但多數(shù)為對(duì)模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析，對(duì)傳播模型的最優(yōu)控制問(wèn)題卻鮮有研究.本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，將有效接觸率作為控制變量，討論一類(lèi)具有垂直傳播的HIV模型的最優(yōu)控制問(wèn)題，用范數(shù)指標(biāo)函數(shù)作為衡量控制變量的標(biāo)準(zhǔn)得出該模型最優(yōu)控制元的存在惟一性.

1 具有垂直傳播的HIV模型

將HIV攜帶者分為成年和幼年2類(lèi)，建立如下模型[3]:

其中:S為易感者;I1為HIV病毒的幼年攜帶者者;I2為HIV病毒的成年攜帶者;A為艾滋病患者;μ表示個(gè)體的自然死亡率和成年HIV攜帶者對(duì)嬰兒的出生率;μS0表示易感者的輸入率;β表示HIV病毒成年攜帶者與易感者之間的有效接觸率;p表示垂直傳播率;γ表示HIV攜帶者向艾滋病患者的轉(zhuǎn)化率;σ表示艾滋病患者的死亡率(σ＞μ);q表示幼年HIV攜帶者向成年HIV攜帶者的轉(zhuǎn)化率.

文獻(xiàn)[3]求出了模型的基本再生數(shù)，證明了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性和全局穩(wěn)定性，本文在此基礎(chǔ)上將繼續(xù)討論模型的最優(yōu)控制問(wèn)題.

2 具有垂直傳播的HIV模型的最優(yōu)控制問(wèn)題

由于系統(tǒng)的前三個(gè)方程不顯含變量A，因此僅需考慮系統(tǒng)

我們?cè)谄胶恻c(diǎn)E0(S0，0，0)處，將方程組系統(tǒng)線性化，令:

x(t)=S(t)－ S0，y(t)=I1(t)，z(t)=I2(t)

則方程組系統(tǒng)化為如下形式:

當(dāng)(x(t)，y(t)，z(t))T→0時(shí)，方程組系統(tǒng)右邊的二次項(xiàng)都是的高階無(wú)窮小.所以在(0，0，0)T附近，方程組系統(tǒng)解的性態(tài)與線性方程組解的性態(tài)一致.

考慮到傳染病傳播的實(shí)際情況，在一定時(shí)間內(nèi)接觸率β應(yīng)與時(shí)間有關(guān)，故設(shè)β=β(t).并給系統(tǒng)方程組加上初始條件(x(t0)，y(t0)，z(t0))T=(x0，y0，z0)T，以下我們討論有效接觸率為β(t)的傳播系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題.

令 X(t)=(x(t)，y(t)，z(t))T，X0=(x0，y0，

則方程組可寫(xiě)為:

設(shè)T＞0，記控制集為:

U={β(t)∈C(0，T)|0≤β(t)}≤M，0≤t≤T，M ＞

0}.在U 中取 L2(0，T)范數(shù)，則 U 為 L2(0，T)的閉凸集，取Sobolev空間:L2([0，T];R3)}W1，2([0，T];R3)中范數(shù)為:為R3的歐氏范數(shù) 由 Sobolev嵌入定理，W1，2([0，T];R3)可看成 L2([0，T];R3)的完備子空間.

β(t)∈U對(duì)，我們可知方程的解是惟一存在的.我們?cè)跔顟B(tài)空間 W1，2([0，T];R3)中討論傳播系統(tǒng)方程的最優(yōu)控制問(wèn)題.設(shè)預(yù)期狀態(tài)為X*=(x*，y*，z*)T，指標(biāo)范函 J為:

取集合W:

W={X(t)W1，2([0，T];R3)|存在 β(t)∈U，解得 X(t)方程(6)關(guān)于 β(t)的解，δ≤y(t)，z(t)≤

具有垂直傳播的HIV模型的最優(yōu)控制問(wèn)題就是求β0∈U使與之相應(yīng)的解X0(t)∈W滿足:

β0(t)叫傳播系統(tǒng)的最優(yōu)控制元.

定理1 W是L2([0，T];R3)上的閉凸集.

證明 先證W是L2([0，T];R3)上的凸集

設(shè)X1(t)，X2(t)∈W由W的定義知存在β1(t)，β2(t)∈U 使得:

對(duì)?λ(0≤λ≤1)，令 X(t)=λX1+(1 －λ)X2，則:

再證W是L2([0，T];R3)上的閉集.

任取序列Xk(t)∈W，滿足:

由式(11)中第3式得:

于是{β(t)}為 L2(0，T)中的柯西列，從而是收斂的.記:

利用式(10)、(12)，對(duì)式(11)中第2式兩端取極限，得:

這說(shuō)明 X0(t)=(x0(t)，y0(t)，z0(t))T是方程組的對(duì)應(yīng)于 β0(t)的解，從而 X0(t)∈W.閉集證畢.

定理2 設(shè)X*給定，則傳播系統(tǒng)(6)在U中存在惟一的最優(yōu)控制元.

證明 設(shè){Xk(t)}?W是式(7)的極小化序列，即

由于Xk(t)相對(duì)應(yīng)U中的控制元為β(t)，所以由解對(duì)參數(shù)函數(shù)的連續(xù)依賴性，當(dāng)β(t)在有界集U中取值時(shí)，W也為有界集，而W為空間L2([0，T];R3)上的有界閉凸集，所以能從Xk(t)中選出子列(不妨選其自身)，使得

由Mazur定理，存在(Xk(t))組合序列

使得

設(shè)U中與Ml(t)相應(yīng)的控制元β(l)(t)，同定理1中閉性證明一樣，可得β(l)(t)在L2(0，T)中收斂于β0(t)，于是β0(t)∈U且X0(t)為方程組(6)的解，因?yàn)?J 為空間 W1，2([0，T];R3)的范數(shù)積分函數(shù)，所以J為嚴(yán)格凸函數(shù)，又由于{Xk(t)}?W是極小化序列，有

即β0(t)是方程組在中的一個(gè)最優(yōu)控制元[7]，最后由J的嚴(yán)格凸性可知β0(t)是惟一的.定理得證.

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)一類(lèi)具有垂直傳播的HIV模型，在文獻(xiàn)[3]已討論了各平衡點(diǎn)的存在性及全局穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，討論模型的最優(yōu)控制問(wèn)題，將有效接觸率作為控制變量，用范數(shù)指標(biāo)函數(shù)作為衡量控制變量的標(biāo)準(zhǔn)得出該模型最優(yōu)控制元的存在惟一性.

[1]聯(lián)合國(guó)艾滋病規(guī)劃署.2011年世界艾滋病日?qǐng)?bào)告——全球流行情況[EB/OL].http://www.unaids.org.cn/cn/index，2012－09－30.

[2]中華人民共和國(guó)衛(wèi)生部，聯(lián)合國(guó)艾滋病規(guī)劃署，世界衛(wèi)生組織.2011年中國(guó)艾滋病疫情估計(jì)[J].中國(guó)艾滋病性病，2012，18(1):1－5.

[3]張 梅，張鳳琴，劉漢武.一類(lèi)具有垂直傳播的HIV模型的穩(wěn)定性分析[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012，29(3):399－404.

[4]LOU J，MA Z E，SHAO Y M，et al.Modeling the interaction of T cells，antigen presenting cells and HIV －1 in vivo[J].Computers and Mathematics with Applications，2004，48(1－2):9－33.

[5]NELSON P W，PERELSON A S.Mathematical analysis of delay differential equation models of HIV －1 infection[J].Math Biosci.，2002，179(1):73 －94.

[6]李建全，楊亞莉，王 偉.一類(lèi)帶有治療的HIV傳播模型的定性分析[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26(2):226－232.

[7]王 輝，金鴻章.可修復(fù)復(fù)雜系統(tǒng)脆性故障的研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37(19):105－111.