沈國輝，黃俏俏，郭 勇，邢月龍，樓文娟，孫炳楠

（1．浙江大學(xué) 土木工程學(xué)系，浙江 杭州 310058；2．浙江省電力設(shè)計院，浙江 杭州 310007）

0 引 言

結(jié)構(gòu)風(fēng)振時程分析需要有作為輸入的脈動風(fēng)荷載，由于輸電塔是格構(gòu)式透空結(jié)構(gòu)，不能像房屋結(jié)構(gòu)那樣采用測壓試驗獲得脈動風(fēng)荷載，因此需要采用人工模擬方法來獲得。脈動風(fēng)場的模擬主要是具有相關(guān)性的風(fēng)速時程模擬，在風(fēng)速時程基礎(chǔ)上獲得脈動風(fēng)荷載時程。

脈動風(fēng)場的模擬方法中，主要采用諧波合成法［1－4］（WAWS法）和線性濾波法［5－8］（AR 法）。以往的研究中，在輸電塔的風(fēng)場模擬方面以上兩種方法均有采用［9－10］，在輸電塔線體系的風(fēng)場模擬上只有采用諧波分解法［11－12］的實例。在應(yīng)用諧波合成法時，風(fēng)譜有多種選擇，算法也有很多，如基于快速傅里葉變換（FFT）［11］和基于特征值分解（POD）［13］等，模擬的風(fēng)場還有一維風(fēng)場［11］和三維風(fēng)場的區(qū)分［12］?？梢娒}動風(fēng)場的模擬有很多選擇，使查閱這些文獻的讀者感到迷惑，同時根據(jù)筆者的廣泛文獻查閱，并沒有研究針對各種方法的適用性和計算效率進行過對比，也沒有研究比較過各種模擬方法得到的計算結(jié)果。

基于以上背景，本文應(yīng)用各種脈動風(fēng)場的模擬方法模擬出輸電塔和塔線體系的脈動風(fēng)場，考慮一維風(fēng)場和三維風(fēng)場情況，對比各種方法的計算效率和計算結(jié)果，分析各種模擬方法的適用性和等價性，最后討論單塔和塔線體系風(fēng)振計算結(jié)果的差異，對輸電線路和其他構(gòu)筑物的脈動風(fēng)場模擬具有工程參考價值。

1 脈動風(fēng)場的數(shù)值模擬方法綜述

1．1 諧波合成法（WAWS法）

Rice［1］提出諧波合成法的基本思想，模擬一維單變量的平穩(wěn)高斯隨機過程。Shinozuka［2］提出用WAWS法模擬平穩(wěn)隨機場的基本理論，解決多變量均勻高斯隨機過程，如下式所示：

式中，Hik（ωl）為互功率譜密度矩陣S（ωl）的 Cholesky分解矩陣H（ωl）中的元素，ψkl為兩個不同作用點之間的相位角，θik為介于0～2π之間均勻分布的隨機數(shù)，m 為模擬的點數(shù)。Yang等［3］在計算中綜合FFT技術(shù)，大大提高該類方法的計算效率。為獲得較長的模擬周期，Deodatis［4］引入雙索引頻率概念，消除模擬過程中的周期性。

當模擬的點數(shù)較多時，需要對每一個模擬點的互譜密度矩陣進行Cholesky分解，計算量很大，同時考慮相位角后的互譜密度矩陣為復(fù)數(shù)矩陣，有可能變成不正定而導(dǎo)致互譜密度矩陣不能進行Cholesky分解。李黎等［13］用POD分解來代替Cholesky分解，解決了該問題，如下所示：

式中φk（ω）和ηk（ω）是S（ω）的特征向量和特征值。若前Ns階振型包含的能量足夠大，采用模態(tài)截斷技術(shù)，可以大大提高計算效率：

基于POD分解的WAWS法得到的隨機風(fēng)速時程模擬公式為：

1．2 線性濾波器法（AR法）

Gerch等［5］首先提出將線性濾波技術(shù)用于生成隨機時間序列等工程問題，Li等［6］對線性濾波法進行了不斷改進，發(fā)展了可以用AR、ARMA等模型模擬多維多變量的隨機過程，曾憲武［7］、鮑侃袁［8］等都在脈動風(fēng)場模擬中應(yīng)用了AR法。線性濾波器法實質(zhì)上是由前面連續(xù)幾個時刻的隨機量來推導(dǎo)后面特定時刻的隨機量，具有時間相關(guān)性。

AR法可考慮各個模擬點的空間相干性，但AR法不像WAWS法無條件收斂，時間步長不能太小，太小精度反而會降低，時間步長一般不小于0．1s。脈動風(fēng)速時程可由下式來模擬：

式中，X，Y，Z為坐標向量矩陣，p為模型階數(shù)，Δt是模擬風(fēng)速時程的時間步長，Ψk為自回歸系數(shù)矩陣，N（t）為均值為零且具有給定協(xié)方差的正態(tài)分布隨機過程。

2 輸電線路的實例及其風(fēng)場模擬

2．1 輸電塔和塔線體系介紹

以某輸電線路為例進行分析，輸電塔總高為34m，呼稱高為26m，塔身平面形狀為正方形，如圖1所示。輸電線由3根導(dǎo)線和2根地線組成，導(dǎo)線的掛線絕緣子長度為3m，檔距為300m。導(dǎo)（地）線型號及相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)（地）線的型號及參數(shù)Table 1 Model and characteristics of wire

單塔的有限元建模時采用三維梁單元來模擬輸電塔的桿件，節(jié)點板和爬梯等采用質(zhì)量單元來模擬，每個塔由564個梁單元和88個質(zhì)量單元組成，單塔的有限元模型如圖1所示。塔線體系包含兩個輸電塔和三檔輸電線，每檔內(nèi)輸電線采用100個僅受拉的三維桿單元［14］來模擬，絕緣子采用三維桿單元來模擬，塔線體系的有限元模型如圖2所示。

圖1 單塔的有限元模型Fig．1 Finite element model of isolated tower

圖2 塔線體系的有限元模型Fig．2 Finite element model of tower line system

2．2 輸電塔和塔線體系的脈動風(fēng)場模擬

針對輸電塔和塔線體系分別模擬其順風(fēng)向的脈動風(fēng)，本文以橫導(dǎo)線方向作為正迎風(fēng)方向。采用常見的3種方法進行風(fēng)場模擬：（1）基于FFT變換的WAWS法（WAWS，F(xiàn)FT）；（2）基于POD分解算法的 WAWS法（WAWS，POD）；（3）AR 法。在基于POD分解算法的WAWS法計算中，單塔的截止振型數(shù)Ns取20，塔線體系的Ns取50，在AR法中自回歸階數(shù)p取4。

國內(nèi)外很多學(xué)者給出了各種順風(fēng)向的風(fēng)速譜，如Davenport譜、Harris譜和Kaimal譜等，本文計算采用Davenport譜：

式中V10為10m高度的基本風(fēng)速，k為地面粗糙度系數(shù)。

頻域內(nèi)脈動風(fēng)的相干特性采用相干函數(shù)來表示，相干函數(shù)是沿距離遠近呈指數(shù)衰減的曲線。常用的有Davenport相干函數(shù)、日本規(guī)范AIJ建議的相干函數(shù)和鹽谷（Shiotani）相干函數(shù)。本文采用Davenport提出的相干函數(shù)［15］：

指數(shù)衰減系數(shù)為：

表2給出了脈動風(fēng)場模擬的參數(shù)，其中單塔工況沿高度模擬34個點，分別對應(yīng)于迎風(fēng)面的各層節(jié)點；塔線體系包括兩個輸電塔和三檔輸電線，輸電線中的導(dǎo)線和地線每隔30m設(shè)置一個模擬點，塔線體系共有227個模擬點。

表2 各種模擬情況選取的參數(shù)Table 2 Calculating parameters used in different simulations

2．3 風(fēng)振時程分析的計算方法

利用風(fēng)場模擬方法得到風(fēng)速時程，可轉(zhuǎn)化得到脈動風(fēng)荷載時程，作用于結(jié)構(gòu)上任一點M坐標的瞬時風(fēng)速u（M，t）由兩部分組成：平均風(fēng)速ˉu（M）和脈動風(fēng)速u′（M，t），根據(jù)準定常假定，結(jié)構(gòu)上任意一點所受的風(fēng)荷載F（M，t）計算公式為：式中ρ為空氣的密度，CD為構(gòu)件的截面阻力系數(shù)，A為該區(qū)域結(jié)構(gòu)的迎風(fēng)面積。將風(fēng)荷載直接施加于輸電塔和塔線體系的三維有限元模型上相應(yīng)層的各個節(jié)點上，采用Newmark法進行時程分析，計算中考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性。

3 基于一維風(fēng)場模擬的計算結(jié)果

一維風(fēng)場只考慮順風(fēng)向，只用順風(fēng)向的風(fēng)速譜進行分析，不考慮橫風(fēng)向、豎直向與順風(fēng)向的相關(guān)性。

3．1 單塔情況下的風(fēng)致響應(yīng)

分別采用上述三種脈動風(fēng)場的模擬方法，模擬單塔34個節(jié)點的風(fēng)速時程，三種模擬方法的計算效率如表3所示。表3中的所有數(shù)據(jù)為在同一臺計算機中的計算時間，表3中括號內(nèi)數(shù)字表示模擬的點數(shù)，一維表示模擬一維風(fēng)場，三維表示模擬三維風(fēng)場。由表3的第一行數(shù)據(jù)可知，三種方法都可以進行單塔在一維風(fēng)場下的數(shù)值模擬，速度均較快。

表3 各種工況下各種方法的計算效率Table 3 Calculating efficiency of different simulations using different methods

為了驗證上述三種方法模擬脈動風(fēng)速時程的有效性，用PSD函數(shù)對風(fēng)速時程求自功率譜S（n），與Davenport譜進行比較，第30個模擬點的PSD譜和Davenport譜的比較見圖3。由圖3可知，上述三種方法模擬獲得的風(fēng)速時程PSD譜和目標譜吻合很好，說明上述三種方法均能有效地模擬隨機風(fēng)速時程。三種方法的相干性也吻合較好，限于篇幅，在此不再給出。

根據(jù)三種風(fēng)場模擬方法得到的風(fēng)速時程，進行輸電塔的風(fēng)振時域分析，獲得輸電塔各高度的位移和加速度響應(yīng)的均方根σs和σa，如圖4所示，圖中縱坐標的高度h數(shù)據(jù)對應(yīng)于輸電塔迎風(fēng)面右側(cè)各層節(jié)點，以下各圖同。由圖4可見三種模擬方法得到的位移和加速度響應(yīng)基本一致，說明三種模擬方法均可以用來模擬單塔在一維情況下的脈動風(fēng)場。

3．2 塔線體系情況下的風(fēng)致響應(yīng)

對塔線體系的227個點進行風(fēng)速時程模擬，由于模擬的點數(shù)較多，互譜密度矩陣出現(xiàn)不正定情況，無法進行Cholesky分解，則基于FFT變換的WAWS法不能應(yīng)用。因此塔線體系的風(fēng)場模擬采用基于POD分解算法的WAWS法和AR法。塔線體系227個節(jié)點風(fēng)速模擬所需的時間見表3，可以發(fā)現(xiàn)AR法的效率不如基于POD分解的WAWS法。圖5給出基于上述兩種模擬方法計算獲得的位移和加速度響應(yīng)均方根，可以發(fā)現(xiàn)兩種方法的計算結(jié)果比較接近，兩種方法均適用于塔線體系的脈動風(fēng)場模擬。

圖5 塔線體系工況的風(fēng)致響應(yīng)Fig．5 Wind－induced responses of tower line system

3．3 單塔和塔線體系情況的比較

前面2節(jié)分別針對單塔和塔線體系的風(fēng)振響應(yīng)進行計算，下面以基于POD分解算法的WAWS法計算結(jié)果為例，分析單塔和塔線體系響應(yīng)的差別，如圖6所示。由圖6可知，對于位移和加速度響應(yīng)的均方根，塔線體系的結(jié)果均比單塔大。在對輸電線路進行風(fēng)振分析時，建議考慮塔線體系情況。

4 基于三維風(fēng)場模擬的計算結(jié)果

上一節(jié)的一維風(fēng)場只考慮了順風(fēng)向，而忽略風(fēng)場在順風(fēng)向、橫風(fēng)向和豎直向的相關(guān)性，下面為考慮三維風(fēng)場的計算結(jié)果。為了考慮三個方向脈動風(fēng)速的相關(guān)性，S（ω）中的各個元素Sij（ω）為3×3的子矩陣，這樣S（ω）為3n×3n矩陣形式：

式中u、v和w分別代表順風(fēng)向、橫風(fēng)向和豎直向。

圖6 單塔和塔線體系的風(fēng)致響應(yīng)結(jié)果比較Fig．6 Comparison of wind－induced response of isolated tower and tower line system

本文順風(fēng)向風(fēng)譜采用Davenport譜，豎風(fēng)向風(fēng)譜采用Lumley－Panofsky譜：

順風(fēng)向與豎風(fēng)向脈動風(fēng)速的交叉譜如下：

Solari［16］通過大量的實測，認為橫風(fēng)向與順風(fēng)向不存在相關(guān)性，同時橫風(fēng)向與豎直向也不存在相關(guān)性，因此本文不考慮這些相關(guān)性。

對單塔的34個模擬點進行考慮三維風(fēng)場的風(fēng)速時程模擬，發(fā)現(xiàn)無法進行Cholesky分解，則基于FFT變換的WAWS法不能應(yīng)用。目前關(guān)于AR法的模擬理論中還沒有給出考慮三個方向相關(guān)性的應(yīng)用。因此采用基于POD分解的WAWS 法，進行考慮三維風(fēng)場情況下輸電塔34個點的脈動風(fēng)場模擬，模擬所需時間見表3，進行風(fēng)振計算，并將計算結(jié)果與模擬一維風(fēng)場（WAWS，POD）情況進行比較，如圖7所示。

由圖7可知，三維風(fēng)場情況和一維風(fēng)場相比，位移響應(yīng)的均方根基本相同，基于三維風(fēng)場的數(shù)據(jù)略大；而加速度響應(yīng)均方根的差別較大，基于三維風(fēng)場的數(shù)據(jù)大很多，說明考慮順風(fēng)向與其他方向的相關(guān)性后順風(fēng)向的脈動會更大。對于考慮三維風(fēng)場后的塔線體系（227個點），基于FFT變換的WAWS 法和AR法均不能應(yīng)用，而基于POD分解的WAWS法雖然不出錯，但經(jīng)歷五天后的計算后仍沒有得到模擬結(jié)果，已經(jīng)失去了工程應(yīng)用價值，在表3中以“非常耗時”來表示。

圖7 單塔一維和三維風(fēng)場作用下響應(yīng)結(jié)果比較Fig．7 Comparison of wind－induced responses considering one dimensional and three dimensional wind fields

5 結(jié) 論

本文針對脈動風(fēng)場的模擬方法進行系統(tǒng)分析，并應(yīng)用到輸電塔線體系實例中，有以下主要結(jié)論：

（1）針對模擬脈動風(fēng)場的三種典型方法，當模擬參數(shù)相同時，利用模擬出的風(fēng)速時程進行風(fēng)振分析的結(jié)果基本一致，說明三種方法在脈動風(fēng)場的模擬原理上都是適用的。

（2）當模擬的點數(shù)較多時，風(fēng)速互譜密度矩陣由于不正定而無法進行Cholesky分解，基于FFT分解的WAWS法不適用，而基于POD分解的WAWS法不存在無法分解的情況，使用截斷頻率會使計算效率提高很多，具體效率見表3。本文推薦基于POD分解算法的WAWS法，其計算效率高，算法穩(wěn)定。

（3）計算發(fā)現(xiàn)對于位移和加速度響應(yīng)的均方根，塔線體系的結(jié)果均比單塔大，在對輸電線路進行風(fēng)振分析時，應(yīng)考慮塔線體系情況。

（4）計算發(fā)現(xiàn)，考慮三維風(fēng)場后的位移響應(yīng)均方根比一維風(fēng)場略大，而加速度響應(yīng)均方根大很多，說明考慮順風(fēng)向與其他方向的相關(guān)性后順風(fēng)向的脈動會更大。

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