劉向東 （中國海洋石油有限公司烏干達公司，北京100010）

趙剛 （里賈納大學石油系統(tǒng)工程系，加拿大）

劉平禮 （油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室 （西南石油大學），四川 成都610500）

黃穎輝 （中國海洋石油有限公司烏干達公司，北京100010）

稠油冷采過程中疏松砂巖地層中砂被稠油大量攜帶而出。一般情況下，稠油產(chǎn)量會隨砂產(chǎn)量增加而增大達10倍之多，稠油冷采井初期產(chǎn)砂率達到20%～50%，之后迅速遞減到5%以下。油田現(xiàn)場觀察以及室內(nèi)試驗證明了稠油冷采井周邊蚓孔增長[1～7]。室內(nèi)試驗模擬了蚓孔在疏松砂巖地層中增長現(xiàn)象，且易于在砂巖地層中不穩(wěn)定的界面和膠結(jié)較疏松部分增長[8]，類似于黏性指進現(xiàn)象發(fā)生在兩種不同黏度流體不穩(wěn)定界面上。稠油冷采井砂產(chǎn)量與蚓孔增長有密切聯(lián)系，需要建立數(shù)學模型分析砂產(chǎn)量進而掌握蚓孔增長情況。

1 數(shù)學模型

1.1 蚓孔直徑分布

加拿大阿爾伯塔研究中心采用X射線層析成像對疏松砂巖長巖心進行室內(nèi)試驗分析發(fā)現(xiàn)[9]，蚓孔增長起始于孔口，其直徑沿巖心長軸方向先快速增加，然后逐漸減少。根據(jù)沖蝕機理，蚓孔在徑向和橫向上的增長需要有足夠的壓力梯度。試驗表明壓力梯度剖面特征與蚓孔直徑特征相符[10]。根據(jù)相似原理，采用高斯面函數(shù)回歸蚓孔室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)，結(jié)果見圖1，得到蚓孔直徑分布：

圖1 蚓孔直徑分布擬合結(jié)果

式中：dw為蚓孔直徑，m；df為射孔直徑，m；x為距射孔口距離，m；t為生產(chǎn)時間，d；r（t）為t時間蚓孔徑向長度，m。

1.2 蚓孔形態(tài)和長度

擴散限制凝聚分形模型主要用于描述不可逆轉(zhuǎn)增長形成的分形結(jié)構，其維度分布大概為1.65～1.75。該模型成功應用于描述分形分支結(jié)構[11]，例如電介擊穿、三角洲水道發(fā)育、黏性指進、多孔介質(zhì)溶質(zhì)擴散、電極沉降等。物理上擴散限制凝聚分形結(jié)構產(chǎn)生于拉普拉斯等式主導的經(jīng)典物理標量場，即標量場Φ滿足拉普拉斯等式▽2Φ＝0，內(nèi)邊界條件Φ＝0，外邊界條件Φ＝0。通過比較在位置（i，j）處拉普拉斯標量場Φ（i，j）和自由漫步者訪問概率P（i，j）兩個等式：

可以看出隨機漫步者訪問位置（i，j）的概率P（i，j）與Φ（i，j）一致。因此可以在模擬器中用大量隨機漫步者產(chǎn)生擴散凝聚模型。雖然不同隨機種子序列將產(chǎn)生不同分形結(jié)構，但其維度均為1.65～1.75，擴散限制凝聚模擬過程示意如圖2所示，每一個網(wǎng)格有兩種情況，即在網(wǎng)格中有或者沒有自由漫步者。

蚓孔增長于疏松砂巖地層，而其所在壓力場符合拉普拉斯等式。因此推斷擴散限制凝聚模型適用于描述稠油冷采井周邊呈分支狀增長的蚓孔形態(tài)。擴散限制凝聚結(jié)構一般有4個主要分支，如圖3所示。

圖2 擴散限制凝聚模型模擬過程示意

圖3 擴散限制凝聚二維結(jié)構

稠油冷采過程中隨著砂的不斷采出，無數(shù)蚓孔從射孔孔口開始增長。一些蚓孔增長到離井筒較遠的地方，而一些蚓孔受到鄰近蚓孔影響導致長度較短[10]。假設每一個射孔孔口對應于一條主要分支，即每4個射孔孔口會分享一個擴散限制凝聚分形結(jié)構。沿著井筒方向射孔段二維平面擴散限制凝聚平面結(jié)構的疊加形成蚓孔三維空間結(jié)構，如圖4所示。

室內(nèi)試驗研究認為蚓孔增長分為2個階段[12]，第1階段為蚓孔增長期，蚓孔在該階段快速增長。第2階段為沖刷機理控制期，蚓孔在徑向和橫向上的增長沒有足夠壓力梯度，蚓孔增長非常緩慢，蚓孔孔隙度會增大。設定T為蚓孔增長期結(jié)束時間，可以通過下式計算：

圖4 稠油冷采井蚓孔三維形態(tài)

根據(jù)物質(zhì)平衡原理，不同時間蚓孔徑向長度r（t）通過下式計算：

式中：Vs（t）為t時間對應的累計砂產(chǎn)量，m3；n為擴散限制凝聚平面結(jié)構個數(shù)；rw為井筒半徑，m。

2 應用實例

選取2口典型稠油冷采井砂產(chǎn)量數(shù)據(jù)進行分析。這2口井從投產(chǎn)開始均采用稠油冷采方法。表1列出了井1和井2射孔參數(shù)，圖5、6分別是其生產(chǎn)曲線。

如圖5所示，井1生產(chǎn)曲線具有典型的稠油冷采井特征。最初的22個月生產(chǎn)時間內(nèi)，產(chǎn)砂率由最初12.7%降至0.3%，與此同時產(chǎn)油量從1.5m3/d增加到9m3/d。圖6顯示井2在最初40個月生產(chǎn)時間內(nèi)，產(chǎn)砂率從10%降到0.09%，產(chǎn)油量從4.1m3/d增加到9.5m3/d，產(chǎn)量快速增加主要是因為蚓孔快速增長，提供了地下原油流動的主要通道。

表1 射孔參數(shù)

圖5 井1生產(chǎn)曲線

圖6 井2生產(chǎn)曲線

基于上述模型，通過砂產(chǎn)量數(shù)據(jù)分析蚓孔增長形態(tài)和長度。由于有無數(shù)條長短不同的蚓孔，因此以最大蚓孔長度為表征參數(shù)。表2列出了井1和井2砂產(chǎn)量分析結(jié)果，與現(xiàn)場示蹤劑試驗結(jié)果基本一致。

表2 計算結(jié)果匯總

井1蚓孔在37個月后停止增長，增長期累計砂產(chǎn)量達到224m3，蚓孔最大長度達到218m。在蚓孔增長期，不同時間最大蚓孔長度可以通過式 （5）計算。在最初的5個月內(nèi)，蚓孔平均增長速度約0.4m/d。此后，由于砂產(chǎn)量較低，蚓孔平均增長速度約為0.15m/d。井2蚓孔在54個月期間持續(xù)增長。在最初的5個月內(nèi)，蚓孔平均增長速度約0.19m/d。相比較而言，井2蚓孔增長期較長，但蚓孔增長速度較慢。主要源于不同地質(zhì)油藏條件、生產(chǎn)作業(yè)情況和射孔參數(shù)等。

3 結(jié)論

1）模型分析了稠油冷采井砂產(chǎn)量，進而得到蚓孔增長形態(tài)、長度、速度和直徑分布等特征參數(shù)。

2）分析結(jié)果可以用于優(yōu)化稠油冷采井距，并為產(chǎn)量動態(tài)分析、壓力分析或油藏數(shù)值模擬奠定基礎。

3）通過對油田內(nèi)多口井砂產(chǎn)量的分析和對比，有利于優(yōu)選生產(chǎn)作業(yè)條件和射孔參數(shù)等。

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