謝甜

（武漢科技大學(xué) 湖北 武漢 430081）

由于受到成像條件和成像因素等方面的影響，在圖像獲取的過程中不能得到原始場(chǎng)景中的所有信息。光學(xué)成像系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器，由于環(huán)境因素的影響，系統(tǒng)響應(yīng)在某個(gè)截至頻率上的值都為零。超分辨率圖像重建具有重要的應(yīng)用前景，如：遙感，醫(yī)學(xué)，安全監(jiān)控，等等。超分辨率圖像重建算法可以分為兩大類：頻域算法和空間算法?？臻g算法使用一般的觀測(cè)模型，并具有良好的適應(yīng)性和重建結(jié)果?？臻g算法是超分辨率重建技術(shù)研究的主要方向，其中，POCS算法是的最空間的有前途的算法之一[1-2]。

1 傳統(tǒng)POCS算法的基本理論

在超分辨率圖像重建過程，首先建立一個(gè)圖像采集模型，一般的圖像采集模型[3]可表示為

其中，f（k，l）表示理想的高分辨率圖像，gi（m，n）表示低分辨率的觀察圖像序列的第 i幀，hi（m，n；k，l）表示第 i幀圖像的 PSF（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)），PSF 包括模糊和采樣，vi（m，n）表示第 i幀圖像的加性噪聲。

我們定義下面的封閉的，凸約束[4]（在每幀的每個(gè)觀察到的低分辨率圖像的一個(gè)像素）

這里

代表的統(tǒng)計(jì)不確定性，在觀察時(shí)其值被設(shè)置為等于cσv，其中的噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差為σv，并設(shè)置統(tǒng)計(jì)支撐域?yàn)閏≥0。

則定義圖像上的任意一個(gè)投影為

使用POCS算法時(shí)，會(huì)使復(fù)原圖像處在暗部區(qū)域的周圍領(lǐng)域內(nèi)的像素的顏色變得更暗的，而處在明亮區(qū)域的周圍領(lǐng)域內(nèi)的像素的顏色變得更亮，即產(chǎn)生邊緣振蕩效應(yīng)[5]。在觀察圖像的暗部區(qū)域的每個(gè)邊緣像素被投射到當(dāng)前估計(jì)的高分辨率圖像，其投影的位置也是在邊緣上。PSF覆蓋在邊緣位置，將會(huì)使明亮的彩色像素處在PSF窗口內(nèi)，使其復(fù)原后的值大于實(shí)際觀測(cè)值。而邊緣位置上的暗像素的值將被修改為一個(gè)較小的值，使得處在暗部區(qū)域的邊緣像素的顏色變得更暗。與此相反，在明亮的區(qū)域的邊緣像素的值也將被修改為一個(gè)較大的值，使得在明亮的區(qū)域的邊緣像素的顏色變得更亮。根據(jù)上面的分析，我們可以知道，邊緣像素，不僅與其自身有關(guān)，而且還與其相鄰像素相關(guān)[6]。

2 改進(jìn)的POCS算法

在每個(gè)邊緣像素及其相鄰像素中，我們使沿著邊緣方向的PSF的系數(shù)保持不變，而使處在正交方向上的邊緣像素值減小[7]。這樣，復(fù)原引起的邊緣振鈴效應(yīng)將減少，邊緣的功能將很好的被保留下來。

文中采用小波變換[8]模極大值的方法來檢測(cè)圖像的邊緣。用這種方法，可以檢測(cè)到豐富的邊緣細(xì)節(jié)和降低噪聲的影響，同時(shí)，邊緣的位置是精確的。該方法包括以下步驟：

1）計(jì)算的沿著x軸方向（垂直方向）和y軸（水平方向），在一定規(guī)模中的一個(gè)兩維高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。其結(jié)果分別為 ψ1（x，y）和 ψ2（x，y），它們可以被認(rèn)為具有小波的特性；

2）ψ1（x，y）和 ψ2（x，y）分別與圖像進(jìn)行卷積，其卷積結(jié)果分別表示為Gx和Gy；

3）計(jì)算每個(gè)像素的梯度值和梯度角；

4）把梯度劃分為4個(gè)方向：水平，垂直，正對(duì)角，和負(fù)對(duì)角線；

5）檢查每個(gè)像素的梯度值。如果其梯度值在梯度方向上為最大值，則記錄其梯度值；否則設(shè)置其梯度值為零；

6）查找所記錄的梯度值的最大值，并把它歸一化。如果一個(gè)像素的歸一化的梯度值大于某個(gè)閾值時(shí)，被認(rèn)為是一個(gè)真正的邊緣點(diǎn)的像素，如果不是，則它是一個(gè)假的邊緣點(diǎn)。

我們擴(kuò)張了邊緣檢測(cè)圖像的結(jié)構(gòu)元素，以便獲得較豐富的圖像邊緣。用這種方式，可以更準(zhǔn)確地檢測(cè)邊緣像素和其相鄰像素。文中選擇了一個(gè)方形的結(jié)構(gòu)元素如圖1所示，假設(shè)它的中心像素是所檢測(cè)到的邊緣像素。

圖1 邊緣檢測(cè)圖Fig.1 Diagram of edge detection

在圖1中設(shè)置該結(jié)構(gòu)元素的中心像素坐標(biāo)是（0，0），其邊緣線的斜率是

其中是其中心像素的梯度方向，其值為

其中Gx是沿x方向的中心像素的導(dǎo)數(shù)，Gy是沿y方向的中心像素的導(dǎo)數(shù)。則最后結(jié)果為

則其邊緣線的方程式可寫為

在任何邊緣像素和其相鄰象素中，以邊緣像素為中心的PSF加權(quán)函數(shù)，使沿邊緣方向的系數(shù)保持不變，而離邊緣位置越遠(yuǎn)其相應(yīng)的PSF的系數(shù)系數(shù)越小。

假設(shè) PSF 的系數(shù)（x，y），d 為（x，y）與邊緣線的距離，則為

其中Sh表示PSF的支撐域。

為了達(dá)到上述的目的，則選擇一個(gè)指數(shù)衰減型的加權(quán)函數(shù)

其中是λ一個(gè)常數(shù)，該值調(diào)整函數(shù)的下降速度。

則修改后的PSF為：

具體地，對(duì)于水平方向、垂直方向，正對(duì)角和負(fù)對(duì)角四個(gè)方向的邊緣函數(shù)，如下所示：

最后，h1（x，y）進(jìn)行歸一化，表達(dá)式為：

因此，對(duì)于每個(gè)邊緣像素及其相鄰像素中，我們使用修改后的PSF公式（12），進(jìn)行圖像復(fù)原，但對(duì)其它像素我們則使用原始的PSF公式（4），進(jìn)行圖像復(fù)原。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)中，一個(gè)測(cè)試的高分辨率的圖像的大小為256×256（如圖2所示），將高分辨率圖像進(jìn)行模糊處理，選取標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，大小為9×9的高斯模糊；再將模糊圖像添加均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的高斯白噪聲得到待復(fù)原的低分辨率圖像。圖3顯示的是使用分形插值得到的結(jié)果。圖4是使用傳統(tǒng)的POCS算法得到的高分辨率圖像，圖5是其局部放大的圖像。圖6是使用我們的方法得到的高分辨率圖像，圖7是其局部放大的圖像。

從圖像中我們可以看到，傳統(tǒng)的POCS算法得到的超分辨率圖像產(chǎn)生了很多的振鈴效應(yīng)。使用我們的方法明顯的減少了振鈴效應(yīng)，得到了比較理想的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖2 高分辨率圖像Fig.2 High-resolution image

圖3 雙線性插值Fig.3 Bilinear interpolation

圖4 傳統(tǒng)的POCS算法Fig.4 Traditional POCS algorithm

圖5 圖4的局部放大圖Fig.5 Local image zooming of Fig.4

圖6 我們的算法Fig.6 Our method

圖7 圖6的局部放大圖Fig.7 Local image zooming of Fig.6

4 結(jié) 論

文中是研究了基于改進(jìn)POCS算法的超分辨率圖像重建技術(shù)。傳統(tǒng)的POCS算法會(huì)產(chǎn)生邊緣振蕩效應(yīng)。本文提出了一種改進(jìn)的POCS算法，以減少?gòu)?fù)原圖像的邊緣振蕩效應(yīng)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出改進(jìn)的POCS算法和傳統(tǒng)的POCS算法相比，明顯的較少了在圖像超分辨率復(fù)原過程中產(chǎn)生的邊緣振蕩效應(yīng)。

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