張奇志 周亞麗

(北京信息科技大學自動化學院，北京 100192)

20 世紀80 年代末，McGeer［1］在 McMahon 的工作基礎上，提出了“被動行走”的概念，不需要任何驅(qū)動裝置，由兩連桿鉸接組成的雙腿機構(gòu)能夠在重力的作用下沿小傾角斜面向下穩(wěn)定行走.被動行走機器人的周期步態(tài)設計任務是確定穩(wěn)定的極限環(huán)(limit cycle)，因此，被動行走機器人也被稱為極限環(huán)行走器(limit cycle walkers)［2］.2005年，美國康奈爾大學、麻省理工學院和荷蘭的代爾夫特大學同時發(fā)布了3種半被動雙足行走機器人［3］.該成果對基于被動行走原理的雙足機器人研究起到了推動作用.

近年來，國內(nèi)學者也開展了被動雙足行走的研究，劉振澤等［4］對無膝關節(jié)被動行走機器人進行了建模、分析與控制策略等問題的研究.趙明國等［5-6］研究了被動行走不動點的搜索算法，并提出了雙足機器人虛擬斜坡行走步態(tài)生成算法，以關節(jié)舵機為驅(qū)動力實現(xiàn)了平面雙足機器人的高能效快速行走.倪修華等［7］通過仿真和實驗研究了髖關節(jié)扭簧剛度對被動步行穩(wěn)定性的影響.柳寧等［8］采用胞映射法對被動行走機器人的吸引域進行了研究，分析了不同物理參數(shù)對吸引域大小的影響.趙秋玲等［9］研究了被動行走不動點的搜索算法.Hang等［10］研究了采用脈沖控制作用的雙足機器人迭代學習控制問題.王啟寧等［11］研究了在髖關節(jié)加驅(qū)動力矩，同時采用平腳板并在踝關節(jié)加彈簧的配置下，雙足機器人的行走問題.付成龍等［12］研究了被動行走雙足機器人的開環(huán)控制問題.

因為每步的沖擊存在能量損失，在水平面上純被動行走機器人不能實現(xiàn)持續(xù)行走.Kuo［13］使用最簡的雙連桿模型研究了機器人在平面上的半被動行走能量效率問題.被動行走的主要問題是初始條件的穩(wěn)定區(qū)域比較小，尤其是帶膝蓋被動行走機器人.Ikemata等［14］在含膝關節(jié)被動行走機器人的基礎上加了一個限位裝置，通過理論分析和實驗證明了限位裝置對提高機器人行走穩(wěn)定性的作用.

增大被動行走機器人穩(wěn)定性范圍、提高被動行走魯棒性和實現(xiàn)平面行走是被動行走研究的關鍵問題.人類穩(wěn)定行走的關鍵因素是:支撐腳的蹬地動作提供行走能量;控制擺動腿的落地角度防止向前和向后傾倒.本文借鑒Ikemata的設計思想，以限定機器人的步長為固定的常數(shù)，采用脈沖推力作為機器人的能量輸入源，研究半被動行走機器人固定點穩(wěn)定性和行走控制問題，并分析脈沖推力角度對行走效果的影響.

1 雙足機器人模型

1.1 腿擺動階段動力學模型

簡單雙足行走機器人模型由髖關節(jié)鉸接2個剛性直腿構(gòu)成，在腿擺動階段，支撐腿與地面接觸點簡化為旋轉(zhuǎn)鉸.假設所有質(zhì)量集中在髖關節(jié)和兩腳，系統(tǒng)模型如圖1所示.采用拉格朗日方法可以得到腿擺動階段動力學方程，即

圖1 雙足機器人示意圖

式中，m為腳質(zhì)量;M為髖關節(jié)集中質(zhì)量;g為重力加速度;l是腿的長度;θ是支撐腿與地面法線的夾角;φ是擺動腿與支撐腿之間的夾角.

1.2 地面沖擊模型

當擺動腿運動到支撐腿前方，而且滿足下面的幾何條件，將發(fā)生腳與地面的沖擊:

式中，τ是腿開始擺動到?jīng)_擊發(fā)生的時間，一般把τ稱為行走周期［13］.采用限位裝置保持沖擊時兩腿間夾角為常數(shù)，假設髖關節(jié)質(zhì)量遠遠大于腳質(zhì)量(M?m)，沿支撐腿方向的脈沖推力作用完成后馬上發(fā)生擺動腳與地面沖擊.采用瞬時非彈性碰撞假設，根據(jù)擺動腿關于髖關節(jié)的動量矩守恒和髖關節(jié)關于沖擊點的動量矩方程可以得到?jīng)_擊前后關節(jié)速度的變換關系(見圖2).

式中，上標“+”表示沖擊后，“－”表示沖擊前;α為沖擊發(fā)生時兩腿之間夾角φ的值.圖2中速度

圖2 地面沖擊模型

2 固定點的全局穩(wěn)定性

雙足機器人行走過程的每一步由腿擺動階段、支撐腿脈沖推力作用和擺動腿與地面沖擊同時完成支撐腿與擺動腿角色轉(zhuǎn)換階段組成，完成角色轉(zhuǎn)換后馬上開始新的一步.因此，雙足機器人的行走過程由腿擺動階段的光滑動力學微分方程(1)、(2)和沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)換代數(shù)方程(4)、(5)描述.可以采用龐加萊映射方法分析雙足機器人行走穩(wěn)定性，取擺動腿與地面沖擊事件為龐加萊截面，采用限位裝置每次沖擊時的兩腿間角度恒定.所以位于截面上機器人狀態(tài)可以用一維狀態(tài)向量表示為

式中，k表示機器人行走的步數(shù).相鄰兩步狀態(tài)間的關系可以用龐加萊映射表示為

龐加萊映射(7)表示了相鄰兩步行走初始狀態(tài)間的關系.如果2個狀態(tài)相同，xk+1=xk=ξ，則雙足機器人進行周期行走，ξ稱為龐加萊映射的固定點.因此，雙足機器人行走穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換為固定點的穩(wěn)定性問題.

2.1 固定點的存在性

根據(jù)能量守恒定律可以得到?jīng)_擊前支撐腿角速度與該步支撐腿初始角速度間的關系為

因為沖擊時兩腿間夾角恒定，能量關系(8)中勢能變化為零.結(jié)合沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)換關系(4)可以得到如下方程:

假設脈沖推力保持為常數(shù)，采用狀態(tài)變量表示，式(9)可以表示為

雙足機器人正常行走過程中兩腿之間的夾角一定滿足0＜α＜π/2，所以0＜cosα＜1，即系統(tǒng)固定點總是存在的.

2.2 固定點的穩(wěn)定性

下面分析固定點的穩(wěn)定性.根據(jù)固定點定義得

因此，固定點ξ全局漸進穩(wěn)定.

2.3 脈沖推力作用分析

前面分析均假設脈沖推力作用在腳跟上且沿著支撐腿的方向，而人在行走工程中使用腳掌蹬地，方向也不會恰好沿著支撐腿的方向.實際機器人控制中脈沖推力作用方向的偏差是不可避免的，下面分析脈沖推力作用方向變化對雙足機器人半被動行走的影響.假設脈沖推力作用方向與支撐腿之間的夾角為β，圖3給出了脈沖推力作用方向存在偏差時沖擊轉(zhuǎn)換過程的示意圖.

圖3 沖擊模型

根據(jù)沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)換關系(4)可以得到脈沖推力作用方向存在偏差時的狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程，即

由固定點條件(7)可得此時系統(tǒng)的固定點為

假設脈沖推力作用方向與支撐腿之間的夾角β保持常數(shù)，且脈沖推力P也為常數(shù)，根據(jù)前面的分析可知系統(tǒng)的固定點是全局漸進穩(wěn)定的.

比較式(11)和(16)可知，當β=0時，式(16)變?yōu)槭?11).在其他條件不變的條件下，當α+β=π/2，固定點的值最大，即脈沖推力作用的效率最高.觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)，此時脈沖推力方向與沖擊結(jié)束后的速度V－1方向相同，即脈沖推力方向與前腿垂直.若發(fā)生地面沖擊時，限定兩腿間夾角α=π/4，則脈沖推力作用的效率最高時(α+β=π/2)穩(wěn)定行走速度與常規(guī)沿支撐腿脈沖推力作用穩(wěn)定行走速度的比值為

即當脈沖推力方向與前腿垂直時，穩(wěn)定行走的速度是脈沖推力沿著后腿方向穩(wěn)定行走的速度的1.4倍.

3 雙足機器人行走控制

采用限位裝置的雙足機器人半被動行走過程步長將保持常數(shù)，在給定的脈沖推力作用下機器人將以固定的速度穩(wěn)定行走.因此，雙足機器人半被動行走控制的任務就是設計脈沖推力作用律，使機器人按期望的速度行走.

3.1 模型已知條件下的控制器設計

根據(jù)式(15)，采用狀態(tài)空間模型表示雙足機器人系統(tǒng)，即

式中，a=cosα，b=sinα/(Ml)，u=P 為脈沖推力控制.定義誤差ek=xd－xk，其中xd為期望速度.

將設計系統(tǒng)控制律

代入到式(18)，得系統(tǒng)閉環(huán)誤差方程

當－1＜k＜1時，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定.

3.2 模型未知條件下的控制器設計

當參數(shù)a或b未知時，不能采用控制律式(19).根據(jù)式(11)可以得到下面等式:

當0＜k＜2/L時，迭代學習控制收斂.

由式(21)和式(22)得

因此迭代學習過程收斂.

4 仿真結(jié)果

采用前面介紹的控制方法，對半被動雙足機器人行走進行仿真，假設機器人在腿擺動階段沒有能量損失，機器人在與地面沖擊時兩腿間的夾角保持恒定α=π/4，髖關節(jié)集中質(zhì)量M=10 kg，腿長度為l=1 m，脈沖推力P=8 N·s，重力加速度 g=9.8 m/s2.

1)常脈沖推力作用

保持脈沖推力恒定，取支撐腿初始角速度為2 rad/s，脈沖推力作用方向與支撐腿之間的夾角取為β=0和π/4，仿真結(jié)果如圖4所示.

從圖4可以看出，經(jīng)過15步左右行走，沖擊后機器人支撐腿的角速度都穩(wěn)定為恒定值.根據(jù)式(11)和式(16)可以計算角速度值分別為1.93和2.73 rad/s.因此，在同樣脈沖推力作用下，機器人穩(wěn)定行走速度大小與脈沖推力作用方向有關.

圖4 沖擊后支撐腿角速度圖

2)已知模型控制

采用迭代學習控制律式(19)控制雙足機器人行走，取k=0.1，角速度期望值為2.0 rad/s，其余參數(shù)與1)相同.脈沖推力作用方向與支撐腿之間的夾角取為β=0和π/4，仿真結(jié)果如圖5所示，經(jīng)過行走4步，沖擊后機器人支撐腿的角速度都穩(wěn)定到設定值.不同脈沖推力方向下，2種方法的控制結(jié)果完全相同.圖6給出了不同脈沖推力方向下，脈沖推力隨時間變化曲線.從圖6可以發(fā)現(xiàn)，β=π/4時的穩(wěn)態(tài)脈沖推力比通常的沿后腿方向穩(wěn)態(tài)脈沖推力低2Νσ以上.

圖5 沖擊后支撐腿角速度圖

圖6 脈沖推力作用曲線圖

3)未知模型控制

采用迭代學習控制律式(23)控制雙足機器人行走，取k=1.5，角速度期望值仍為2.0 rad/s，其余參數(shù)同1).脈沖推力作用方向與支撐腿之間的夾角取為β=0和 π/4，仿真結(jié)果如圖7所示，經(jīng)過30步左右行走，沖擊后機器人支撐腿的角速度都穩(wěn)定到設定值.與β=0時的系統(tǒng)響應相比，β=π/4時的系統(tǒng)響應速度較快，但超調(diào)量較大.

圖7 沖擊后支撐腿角速度圖(學習控制)

5 結(jié)語

本文研究了半被動雙足機器人行走控制問題，在沖擊時刻雙足機器人兩腿夾角保持恒定和以沿支撐腿脈沖推力為動力源的條件下，分析了行走過程固定點的存在性和全局穩(wěn)定性.對脈沖推力作用方向的分析表明，當脈沖推力方向與前腿垂直時，脈沖推力作用的效果最佳.理論分析和仿真實驗結(jié)果驗證了理論結(jié)果的正確性.在本文理論研究和仿真實驗基礎上，構(gòu)建物理實物系統(tǒng)開展實驗研究將是進一步研究的課題.

References)

［1］McGeer T.Passive dynamic walking［J］.International Journal of Robotics Research，1990，9(2):62-82.

［2］Hobbelen D G，Wisse M.Ankle actuation for limit cycle walkers［J］.International Journal of Robotics Research，2008，27(6):709-735.

［3］Collins S，Ruina A，Tedrake R，et al.Efficient bipedal robots based on passive-dynamic walkers［J］.Science，2005，307(5712):1082-1085.

［4］劉振澤，田彥濤，張佩杰，等.無動力雙足步行機器人控制策略與算法［J］.控制理論與應用，2009，26(2):113-121.Liu Zhenze，Tian Yantao，Zhang Peijie，et al.Control strategies and algorithms for passive compass-like biped robot［J］.Control Theory ＆ Applications，2009，26(2):113-121.(in Chinese)

［5］蘇學敏，趙明國，張楫，等.被動行走周期性步態(tài)不動點搜索的新算法［J］.清華大學學報，2009，49(8):1109-1112.Su Xuemin，Zhao Mingguo，Zhang Ji，et al.Identifying fixed points in periodic gaits during passive walking［J］.Journal of Tsinghua University，2009，49(8):1109-1112.(in Chinese)

［6］趙明國，董浩，張乃堯.雙足機器人虛擬斜坡行走的抗擾能力研究［J］.機器人，2010，32(6):773-786.Zhao Mingguo，Dong Hao，Zhang Naiyao.On disturbance rejection of the bipedal robots in virtual slope walking ［J］.Robot，2010，32(6):773-786.(in Chinese)

［7］倪修華，陳維山，劉軍考，等.彈簧剛度對被動步行的穩(wěn)定性影響［J］.力學學報，2010，42(3):541-547.Ni Xiuhua，Chen Weishan，Liu Junkao，et al.The effect of spring stiffness on the stability of passive dynamic walking［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2010，42(3):541-547.(in Chinese)

［8］柳寧，李俊峰，王天舒.用胞胞映射計算被動行走模型不動點的吸引盆［J］.工程力學，2008，25(10):218-223.Liu Ning，Li Junfeng，Wang Tianshu.Study of the basin of attraction of passive models by the aid of cell-tocell mapping method ［J］.Engineering Mechanics，2008，25(10):218-223.(in Chinese)

［9］趙秋玲，周亞麗，張奇志.雙足機器人無源動態(tài)行走步態(tài)設計的粒子群優(yōu)化算法［J］.中南工業(yè)大學學報，2007，38(S1):570-573.Zhao Qiuling，Zhou Yali，Zhang Qizhi.PSO algorithm for biped gait of passive dynamic walking robot［J］.Journal of Central South University of Technology，2007，38(S1):570-573.(in Chinese)

［10］Hang Qizhi，Chew Cheemeng，Zhou Yali，et al.Iterative learning control for biped walking［C］//Proceedings of the 2010 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation.Xi'an，China，2010:237-241.

［11］Wang Qining，Huang Yan，Wang Long.Passive dynamic walking with flat feet and ankle compliance［J］.Robotica，2010，28(3):413-425.

［12］付成龍，黃元林，王健美，等.半被動雙足機器人的準開環(huán)控制［J］.機器人，2009，31(2):110-117.Fu Chenglong，Huang Yuanlin，Wang Jianmei，et al.Quasi open-loop control for semi-passive biped robots［J］.Robot，2009，31(2):110-117.(in Chinese)

［13］Kuo A D.Energetics of actively powered locomotion using the simplest walking model［J］.Journal of Biomechanical Engineering，2002，123(1):264-269.

［14］Ikemata Y，Sano A，F(xiàn)ujimoto H.A physical principle of gait generation and its stabilization derived from mechanism of fixed point［C］//Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Orlando，F(xiàn)lorida，2006:836-841.