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        走進(jìn)勾股定理知識(shí)長(zhǎng)廊

        2014-12-29 10:22:48王璐
        初中生世界·八年級(jí) 2014年12期
        關(guān)鍵詞:股數(shù)逆定理三邊

        王璐

        一、 追溯勾股定理的歷史

        勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理,傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明.據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后,即殺了百頭牛來(lái)慶祝,因此又稱(chēng)“百牛定理”.在中國(guó),《周髀算經(jīng)》也記載了勾股定理,相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn),故又稱(chēng)之為商高定理.

        二、 勾股定理知識(shí)概要

        “直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”,這就是大名鼎鼎的勾股定理,它描述了直角三角形三邊的關(guān)系.而勾股定理的逆定理是:“若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.”它的作用是用來(lái)判斷一個(gè)三角形是否直角三角形.無(wú)論是勾股定理還是它的逆定理,都為我們更深刻地研究直角三角形作出了很大的貢獻(xiàn).

        此外,掌握常用的勾股數(shù)也可以給我們的計(jì)算帶來(lái)方便.我們把滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a,b,c稱(chēng)為勾股數(shù),常見(jiàn)的有:3,4,5;

        6,8,10;5,12,13;8,15,17;7,24,25. 當(dāng)然我們還可以證明勾股數(shù)的整數(shù)倍數(shù)仍然是勾股數(shù).

        三、 學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用勾股定理

        在使用勾股定理時(shí),首先要判斷三角形是否直角三角形,然后找出直角邊和斜邊,最后運(yùn)用勾股定理.若圖形缺少直角條件,則可以通過(guò)作垂線的方法構(gòu)造直角三角形.若不能直接運(yùn)用勾股定理求出直角三角形的邊,則可以引入未知數(shù),建立方程求解.勾股定理主要有以下應(yīng)用:

        1. 已知直角三角形兩邊,求第三邊.

        2. 已知直角三角形一邊,求另兩邊的關(guān)系.

        3. 探索三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系.

        如圖1分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形,半圓,等邊三角形,我們可以利用勾股定理以及面積公式證明每幅圖中三個(gè)圖形的面積之間存在著同樣的關(guān)系.

        5. 求直角三角形斜邊上的高.

        例 若三角形三邊長(zhǎng)分別是6,8,10,則它最長(zhǎng)邊上的高為多少?

        【分析】本題首先要借助勾股定理的逆定理判斷出這是一個(gè)直角三角形,且長(zhǎng)為10的那條邊為斜邊.所以三角形的面積可以用直角邊乘積的一半求解,即面積為24. 又直角三角形還可以用一般的三角形面積公式,即邊長(zhǎng)與這條邊上的高所得積的一半.所以用斜邊乘斜邊上的高的一半也等于24,解出高的長(zhǎng)度即可.

        四、 勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用

        在四邊形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,且AB⊥BC.試求整個(gè)圖形的面積.

        【分析】本題根據(jù)條件是可以判斷三角形ABC為直角三角形的,所以可以根據(jù)勾股定理求出AC邊的長(zhǎng)度.同時(shí)也可以求出三角形ABC的面積,但是在沒(méi)有判斷三角形ACD為直角三角形的情況下,不能直接用兩直角邊乘積的一半求其面積.

        思路:根據(jù)勾股定理求出AC=5,并且求出三角形ABC面積為6,又因?yàn)槿切蜛CD中三邊長(zhǎng)為5,12,13,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形ACD為直角三角形,面積為AC與CD乘積的一半,即30,所以整個(gè)圖形的面積為36.

        要想學(xué)好勾股定理,同學(xué)們一定要多總結(jié)不同題型的解法,在做題中去體會(huì)老師說(shuō)到的一些解題方法.如巧妙地設(shè)未知數(shù)可以解決一些折疊問(wèn)題或是其他無(wú)法直接求出邊長(zhǎng)的題目,方程也可以幫我們解決一些圖形問(wèn)題.

        最后給同學(xué)們出一道難題:

        在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載.如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的,可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理. 圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D,E,F(xiàn),G,H,I都在矩形KLMJ的邊上,則矩形KLMJ的面積為_(kāi)_____.

        答案:440.

        (作者單位:江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

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