李思奇，全厚德 ，崔佩璋,沈雅琴

(1.軍械工程學(xué)院，河北 石家莊050003;2.工業(yè)和信息化部電信研究院，北京100191)

跳頻通信技術(shù)因其抗干擾和抗衰落能力強(qiáng)等一系列優(yōu)點(diǎn)，在戰(zhàn)術(shù)無(wú)線通信中得到了廣泛應(yīng)用[1]。跳頻序列作為跳頻通信的重要組成部分，其性能的好壞直接影響著整個(gè)跳頻系統(tǒng)的抗干擾能力，特別是抗跟蹤干擾能力。

跳頻序列的性能主要涉及均勻性、隨機(jī)性、漢明相關(guān)性、復(fù)雜度和寬間隔特性等[2]。而復(fù)雜度直接決定了跳頻序列的抗破譯性能，進(jìn)而影響著整個(gè)跳頻系統(tǒng)的抗跟蹤干擾性能。

[3]基于跳頻圖案的產(chǎn)生方法，從非線性反饋移位產(chǎn)生偽隨機(jī)序列和偽隨機(jī)序列到跳頻序列之間的非線性變換分別定義了第1類和第2類非線性變換，最后用兩類非線性變換復(fù)雜度的乘積表征了跳頻序列的綜合復(fù)雜度。該計(jì)算方法僅適合于用移位寄存器產(chǎn)生的跳頻序列，在實(shí)際應(yīng)用中受到了限制。

已有研究結(jié)果表明，部分跳頻序列具有混沌特性[4-5]。本文基于實(shí)際觀測(cè)的跳頻序列，分析其混沌特性，提出了一種用關(guān)聯(lián)維數(shù)度量跳頻序列復(fù)雜度的方法。該計(jì)算方法適合于所有滿足混沌特性的跳頻序列，對(duì)于跳頻系統(tǒng)選擇跳頻序列對(duì)抗跟蹤干擾有實(shí)際意義。

1 混沌特性的復(fù)雜度計(jì)算

參考文獻(xiàn)[6]指出混沌是確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的類似隨機(jī)的現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為對(duì)初始值的敏感性，具有小數(shù)維的奇異吸引子，具有正的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)，具有短期可預(yù)測(cè)性和長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性[7]。表1反映了隨機(jī)過程、混沌系統(tǒng)、周期系統(tǒng)與定常系統(tǒng)的各種特征量之間的關(guān)系。

表1 各種系統(tǒng)的特征量

如果觀測(cè)到的跳頻序列滿足表1中混沌系統(tǒng)的特征量，則表明跳頻序列具有混沌特性。對(duì)觀測(cè)得到的跳頻序列進(jìn)行基于混沌特性的復(fù)雜度計(jì)算的流程如圖1所示。

圖1 跳頻序列復(fù)雜度計(jì)算流程圖

1.1 跳頻序列的相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是分析跳頻序列混沌特性的基礎(chǔ)，相空間重構(gòu)是從時(shí)間序列出發(fā)創(chuàng)建的一個(gè)多維狀態(tài)空間，它保持了不動(dòng)點(diǎn)特征值、吸引子維數(shù)和軌跡的Lyapunov指數(shù)等幾何不變量的不變[8]。

根據(jù)F.Takens的延遲嵌入定理[9]，設(shè)觀測(cè)到的跳頻序列為{x1,x2,…,xn}，對(duì)該跳頻序列進(jìn)行延遲采樣，設(shè)延遲時(shí)間間隔為τ，則可將跳頻序列延拓為一個(gè)m維的相空間：

其中相空間中的每一列向量為：

對(duì)跳頻序列進(jìn)行相空間重構(gòu)需確定延遲時(shí)間τ和重構(gòu)維數(shù)m，通常要求m≥2d+1，d為吸引子維數(shù)。計(jì)算延遲時(shí)間常用的方法有自相關(guān)函數(shù)法和平均互信息法，下面以自相關(guān)函數(shù)法計(jì)算延遲時(shí)間。

對(duì)于延遲時(shí)間為τ的跳頻序列,線性自相關(guān)函數(shù)為：

1.2 最大李雅普諾夫（Lyapunov）指數(shù)

最大Lyapunov指數(shù)是判斷跳頻序列是否為混沌系統(tǒng)的重要參數(shù)，如果最大Lyapunov指數(shù)為正，則意味著相鄰軌線按指數(shù)發(fā)散，即系統(tǒng)是混沌的。

由觀測(cè)時(shí)間序列計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的方法主要有WOLF A等提出的軌線法[10]和Rosenstein等提出的小數(shù)據(jù)法[11]等。由于Wolf法需要較大的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，計(jì)算結(jié)果受各種參數(shù)影響，因此實(shí)現(xiàn)較困難。本文采取參考文獻(xiàn)[12]提出的基于Rosenstein改進(jìn)的小數(shù)據(jù)量Kantz法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

記重構(gòu)相空間中一對(duì)向量為：

則它們之間的歐式距離為‖Xi-Xj‖，記Xi′為相空間n-(m-1)τ個(gè)列向量中與Xi最近的點(diǎn),記 di=‖Xi-Xi′‖。 取一適當(dāng)?shù)臅r(shí)間步長(zhǎng)或演化時(shí)間k，則di經(jīng)過k個(gè)離散時(shí)間步長(zhǎng)后的距離記為di(k)。最大Lyapunov指數(shù)可表示為：

其中 Δt為樣本周期，通常取 1，M=n-(m-1)τ。通常取不同的離散時(shí)間步長(zhǎng) k，求出不同的 lndi(k)的平均值＜lndi(k)＞，通過作圖的方法求出最大Lyapunov指數(shù)。

1.3 關(guān)聯(lián)維數(shù)

關(guān)聯(lián)維數(shù)是系統(tǒng)復(fù)雜程度的一種很好的度量，它刻畫了相空間中點(diǎn)的分布。于是可通過計(jì)算重構(gòu)相空間的關(guān)聯(lián)維數(shù)來(lái)度量跳頻序列的復(fù)雜度。

根據(jù)觀測(cè)得到的跳頻序列，可由GRASSBERGER P和 PROCACCIA I給出的 G-P算法直接計(jì)算[13-14]。設(shè)在m維的重構(gòu)空間中，W表示除Xi本身外到Xi的距離小于r(r為一個(gè)小的正數(shù))的Xj的點(diǎn)數(shù)。

其中 H(·)為 Heavside 函數(shù)，滿足：

則定義重構(gòu)的跳頻序列的關(guān)聯(lián)積分為：

其中 N0=(m-1)τ+1，CM(r,τ,m)描述了距離小于 r 的對(duì)點(diǎn)數(shù)的分布情況，如果在r的某一區(qū)間段內(nèi)有：

則稱d是關(guān)聯(lián)維數(shù)，它近似刻畫了產(chǎn)生跳頻序列的系統(tǒng)復(fù)雜程度的某種維數(shù)。對(duì)觀測(cè)得到的跳頻序列,可在r的某一區(qū)間段內(nèi)通過對(duì)數(shù)lnCM(r,τ,m)-lnr圖觀測(cè)的辦法求出關(guān)聯(lián)維數(shù)d。

2 跳頻序列構(gòu)造

本文基于L-G模型和Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造了32個(gè)頻隙的跳頻序列,對(duì)該兩跳頻序列進(jìn)行了復(fù)雜度分析。

2.1 基于L-G模型構(gòu)造跳頻序列

L-G模型是基于m跳頻序列構(gòu)造跳頻序列的常用方法，通常有非連續(xù)抽頭模型[15]、時(shí)鐘采樣模型和一般模型[16]。本文采用非連續(xù)抽頭模型構(gòu)造跳頻序列,原理如圖2所示。

圖2 L-G模型

取r個(gè)非相鄰級(jí)控制跳頻，即可產(chǎn)生2r個(gè)頻隙的跳頻序列，關(guān)系運(yùn)算式為：

本文基于17階的m跳頻序列構(gòu)造了32個(gè)頻隙的跳頻序列(序列長(zhǎng)度為217-1)。

2.2 基于Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造跳頻序列

本文采用參考文獻(xiàn)[17]提出的 Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造混沌跳頻序列。

Logistic映射定義為：

其中 3.75＜R≤4，0＜xn＜1。

Kent映射定義為：

其中 0＜R＜1，0≤xn≤1。

構(gòu)造準(zhǔn)則如圖3所示。本文中取 R=4，a=0.21，x1=0.3，N1=100，N2=1 000，M=32,則可構(gòu)造序列長(zhǎng)度為100×1 000的32個(gè)頻隙的混沌跳頻序列。

圖3 混沌跳頻序列構(gòu)造流程圖

3 仿真及結(jié)果分析

按照?qǐng)D1的計(jì)算流程，對(duì)采用上述兩模型構(gòu)造的32個(gè)頻隙的跳頻序列進(jìn)行了復(fù)雜度計(jì)算。

分別從兩跳頻序列中選取1 000個(gè)跳頻碼進(jìn)行歸一化處理，形成[0-1]區(qū)間的時(shí)間序列。下面以m跳頻序列和混沌跳頻序列分別代表基于L-G非連續(xù)抽頭模型和基于Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造的跳頻序列。首先對(duì)兩序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，由式(3)可得出兩序列的自相關(guān)函數(shù)CL(τ)與延遲時(shí)間 τ的關(guān)系如圖4和圖5所示。

圖4 m跳頻序列的延遲時(shí)間計(jì)算

圖5 混沌跳頻序列的延遲時(shí)間計(jì)算

取 CL(τ)從起始到第一個(gè)斜率由負(fù)轉(zhuǎn)正的 τ為延遲時(shí)間間隔，則由圖4和圖5可知，m跳頻序列的延遲時(shí)間 τ=2，混沌跳頻序列的延遲時(shí)間 τ=3。

對(duì)跳頻序列進(jìn)行相空間重構(gòu)后，由式(5)可求取兩序列的最大Lyapunov指數(shù)。取不同的演化時(shí)間k可求出不同的 lndi(k)的平均值＜lndi(k)＞。 對(duì)于混沌系統(tǒng)，其＜lndi(k)＞-kΔt曲線有一段比較平直的區(qū)域，該段區(qū)域的斜率就是最大Lyapunov指數(shù)λ。本文取重構(gòu)維數(shù)m=7,8,9,Δt=1，圖6和圖7反映了兩跳頻序列的＜lndi(k)＞-kΔt曲線。

圖6 m跳頻序列的最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算

圖7 混沌跳頻序列最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算

當(dāng)重構(gòu)維數(shù)增加到一定程度后，不同重構(gòu)維數(shù)對(duì)應(yīng)的平直區(qū)域大致相同,圖6和圖7中的虛線表示＜lndi(k)＞-kΔt曲線的平直區(qū)域。求出兩平直區(qū)域的斜率可近似地表示兩序列的最大 Lyapunov指數(shù),經(jīng)計(jì)算,λ1=0.113 3，λ2=0.068 6。

由式(8)可作出對(duì)數(shù)lnCM(r,τ,m)-lnr圖,如圖8和圖9所示，進(jìn)而計(jì)算其關(guān)聯(lián)維數(shù)。

圖8 m跳頻序列關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算

圖9 混沌跳頻序列關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算

由圖8和圖9可知，當(dāng)重構(gòu)維數(shù)增加到一定程度后，lnCM(r,τ,m)-lnr的斜率會(huì)趨于穩(wěn)定值，該穩(wěn)定值就是關(guān)聯(lián)維數(shù) d。 經(jīng)計(jì)算，d1=6.653，d2=5.278。

對(duì)基于L-G模型和Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造的同族的其他跳頻序列進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)聯(lián)維數(shù)也在6.653和5.278左右，說明基于同種模型構(gòu)造的跳頻序列族具有相同的復(fù)雜度。

由以上的仿真計(jì)算可知，兩跳頻序列均具有正的最大Lyapunov指數(shù)，其關(guān)聯(lián)維數(shù)都是有限的正數(shù)，則說明兩跳頻序列具有混沌特性,且由d1＞d2可知，基于 L-G非連續(xù)抽頭模型構(gòu)造的跳頻序列復(fù)雜度大于基于Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造的跳頻序列。

本文基于時(shí)間序列的混沌特性，提出了一種計(jì)算跳頻序列復(fù)雜度的方法。按照相空間重構(gòu)并求取最大Lyapunov指數(shù)和計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的順序?qū)贚-G模型和Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造的32個(gè)頻隙的跳頻序列進(jìn)行了復(fù)雜度分析，通過對(duì)兩者關(guān)聯(lián)維數(shù)的比較，得出了L-G非連續(xù)抽頭模型構(gòu)造的跳頻序列復(fù)雜度大于Logistic-Kent級(jí)聯(lián)映射構(gòu)造的跳頻序列的結(jié)論。

該計(jì)算方法相對(duì)于已有的跳頻序列復(fù)雜度分析方法更具有普遍適用性，能對(duì)實(shí)際觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)得到的具有混沌特性的跳頻序列進(jìn)行復(fù)雜度計(jì)算，對(duì)于分析跳頻序列的抗破譯性能具有實(shí)際意義，在軍事通信對(duì)抗中有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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