鄭均杰

（解放軍92785部隊(duì)，秦皇島066000）

0 引 言

波束形成是陣列信號(hào)處理的重要組成部分，在雷達(dá)、聲納、無線通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。其主要目的是有效地提取信號(hào)，同時(shí)可以最大限度地抑制干擾和噪聲。對(duì)于經(jīng)典理論而言，Capon波束形成在一定條件下有較好的性能，但在實(shí)際工程中，由于陣列天線并非理想化，陣元之間的誤差、互耦等影響都會(huì)導(dǎo)致模型失配，致使Capon波束形成的性能下降。為此，穩(wěn)健波束形成技術(shù)已逐漸成為理論和工程界關(guān)心的重要課題［1－4］。

1 Capon波束形成

對(duì)于一個(gè)具有M個(gè)陣元的陣列，R是陣列采樣協(xié)方差矩陣，設(shè)R＞0，且有：

式中：ak，k＝0，1，…K為第k個(gè)信號(hào)的方向向量；為第k個(gè)信號(hào)的功率；（·）＊為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算；Q為噪聲項(xiàng)。

假設(shè)式（1）中第1項(xiàng)為信號(hào)。對(duì)于經(jīng)典Capon波束形成算法就是期望信號(hào)的方差最小且無畸變。其可以描述為：

應(yīng)用Lagrange乘數(shù)法，很容易得到以上問題的解：

另外，Capon波束形成也可以表示為協(xié)方差擬合的形式，即：

可以驗(yàn)證2種Capon波束形成的等價(jià)性。

協(xié)方差擬合Capon波束形成算法可以描述為：給定R和信號(hào)方向a0，將最大的σ2作為信號(hào)功率的估計(jì)，且滿足協(xié)方差矩陣的殘差非負(fù)定，即R－

2 穩(wěn)健接收波束形成

穩(wěn)健接收波束形成方法主要由A.B Gershman，R.Lorenz等提出，其優(yōu)化目標(biāo)是最不利情況下的信干噪比。下面介紹在DOA失配情況下穩(wěn)健接收波束形成方法［2］。

設(shè)信號(hào)的真實(shí)方向?yàn)閍0，期望方向?yàn)?，失配向量δ為：

通常認(rèn)為失配向量δ是有界的，即：

式中：ε為一常數(shù)，它表示了DOA估計(jì)可能出現(xiàn)的最大失配。

把經(jīng)典Capon波束形成做一些推廣：

把不失真約束拓展到真實(shí)信號(hào)方向所在的集合A上等價(jià)于對(duì)A中最不利情況下的方向進(jìn)行無失真約束［4－6］。

對(duì)式（8）進(jìn)行等價(jià)變形：

可以證明以上問題（10）可以轉(zhuǎn)化為：

將式（10）做一等價(jià)轉(zhuǎn)化：

式（12）可以看成一個(gè)二次錐規(guī)劃的問題。首先，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，對(duì)R做Cholesky分解［6－7］：

利用上式，有：

優(yōu)化問題（12）可以改寫為：

為了方便運(yùn)算，需要把以上問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)形式，令：

式（15）可以表示為實(shí)值向量和矩陣形式：

顯然，上式是一個(gè)二次錐規(guī)劃，可以直接用凸優(yōu)化工具求解，則最優(yōu)權(quán)值可以由下式計(jì)算得到：

為了更加深入地分析問題的本質(zhì)，現(xiàn)在考慮等價(jià)的等式約束問題：

借助Lagrange方法，構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

式中：v為Lagrange乘子。

可以得到：

由：

式中：Rs為信號(hào)協(xié)方差矩陣；Ri＋n為干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

由于信號(hào)干擾加噪聲比（SINR）是權(quán)向量的任意尺度變換的不變量，因此，上式可以轉(zhuǎn)化為：

從而有：

從式（24）可以看到，對(duì)于穩(wěn)健Capon波束形成問題可以歸結(jié)為對(duì)角加載問題。但與傳統(tǒng)的固定系數(shù)對(duì)角加載不同，穩(wěn)健Capon波束形成問題的加載系數(shù)是ε／‖w‖，其直接與ε相關(guān)，可以認(rèn)為，這樣的對(duì)角加載是與信號(hào)的DOA失配相匹配的。因此，穩(wěn)健Capon波束形成就成了如何求得加載系數(shù)，即歸結(jié)到如何求得‖w‖，則：

對(duì)式（25）兩邊取范數(shù)平方，可以得到：

令τ＝‖w‖＞0，式（26）可以轉(zhuǎn)化為：

為了簡化上式，對(duì)R做特征分解R＝UΓU＊，代入到以上等式中，可得：

考慮到τ＞0，這樣τ的求解問題就轉(zhuǎn)化為：

方程f（τ）＝0的根就在上，其中：

應(yīng)用牛頓迭代算法，可以直接求得‖w‖，根據(jù)式（25）可以求得信號(hào)DOA失配與干擾加噪聲的權(quán)值。

3 仿真

以均勻線陣進(jìn)行仿真。信號(hào)和噪聲設(shè)為零均值復(fù)高斯過程，對(duì)于第k個(gè)信號(hào)，其信噪比為：

最優(yōu)信噪比由下式給出：

仿真中對(duì)比的算法如下：經(jīng)典Capon波束形成算法，縮寫為 “Standard CB”；穩(wěn)健接收波束形成算法［8－9］，縮寫為 “Ellip－Uncertainty RCB”。

采用10陣元線性陣列，陣元間距為半波長。期望信號(hào)（SOI）位于0°，信噪比10dB；2個(gè)干擾位于25°和50°，信噪比為20dB，噪聲方差為1。

（1）無角度失配

信號(hào)DOA精確已知情況下各波束形成器的接收方向圖（N＝1 000）如圖1所示，各波束形成器輸出的SINR與數(shù)據(jù)長度之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真的結(jié)果）如圖2所示，各波束形成器輸出的SINR與期望信號(hào)信噪比（SNR）之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真的結(jié)果，N＝200）如圖3所示。

圖1 信號(hào)DOA精確已知情況下各波束形成器的接收方向圖

圖2 信號(hào)DOA精確已知情況下各波束形成器輸出的SINR與數(shù)據(jù)長度之間的關(guān)系

圖3 信號(hào)DOA精確已知情況下各波束形成器輸出的SINR與期望信號(hào)SNR之間的關(guān)系

（2）存在1°角度失配

信號(hào)DOA失配1°情況下各波束形成器的接收方向圖（N＝1 000）如圖4所示，各波束形成器輸出的SINR與數(shù)據(jù)長度之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真）如圖5所示，各波束形成器輸出的SINR與期望信號(hào)SNR之間的關(guān)系（100次獨(dú)立仿真，N＝200）如圖6所示。

圖4 信號(hào)DOA失配1°情況下各波束形成器的接收方向圖

圖6 信號(hào)DOA失配1°情況下各波束形成器輸出的SINR與期望信號(hào)SNR之間的關(guān)系

從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)信號(hào)DOA精確已知時(shí)，經(jīng)典Capon算法和圓約束下的穩(wěn)健波束形成算法均具有良好的波束，即在0°方向上形成主峰，在25°和50°方向上形成凹陷；當(dāng)信號(hào)DOA出現(xiàn)1°角失配時(shí)，經(jīng)典Capon算法在0°方向形成凹陷，這可能會(huì)造成信號(hào)的漏檢，而圓約束下的穩(wěn)健波束形成算法在失配情況下，依舊在0°信號(hào)方向形成主峰。另外，圓約束下的穩(wěn)健波束形成算法的各波束形成器輸出信噪比接近于理想情況，且隨觀測數(shù)據(jù)和輸入信噪比變化明顯優(yōu)于經(jīng)典Capon算法。

4 結(jié)束語

仿真驗(yàn)證了空域?yàn)V波穩(wěn)健Capon波束形成算法的性能。在實(shí)際環(huán)境中，精確測得期望信號(hào)DOA通常是不可能的，當(dāng)信號(hào)DOA出現(xiàn)失配、局部相干和非相干散射等情況時(shí)，穩(wěn)健接收波束形成算法的顯著優(yōu)于經(jīng)典的Capon波束形成算法。仿真說明，穩(wěn)健波束形成方法在陣列流型失配和少觀察數(shù)據(jù)量下具有穩(wěn)健的性能。

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