崔 潔，楊 凱，肖雅靜，顏向乙

(中國電子科技集團公司第四十五研究所，北京 100176)

步進電機作為數(shù)字控制系統(tǒng)完成數(shù)模轉(zhuǎn)化的執(zhí)行元件，功能是把電脈沖信號變換為相應(yīng)角位移或直線位移。步進電機角位移量或線位移量與其接收電脈沖數(shù)成正比，轉(zhuǎn)速或線速度與脈沖頻率成正比。在負(fù)載能力范圍內(nèi)這些正比關(guān)系不會因電壓、環(huán)境條件等波動而變化，因此應(yīng)用步進電機的開環(huán)控制系統(tǒng)大大簡化。所以在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，步進電機因具有無需反饋就能對位置和速度進行控制，快速啟停和低成本等優(yōu)勢，在工業(yè)自動化控制系統(tǒng)中有極其廣泛應(yīng)用。

在步進電機實際應(yīng)用過程中，其良好動態(tài)運行性能是控制系統(tǒng)可靠穩(wěn)定工作的重要前提。尤其是在實時性、快速響應(yīng)要求高的自動化控制系統(tǒng)中，如何保證步進電機在高速運動過程中頻繁啟停、方向改變和頻率突變時不發(fā)生丟步、堵轉(zhuǎn)和過沖等現(xiàn)象成為關(guān)鍵。失步和過沖的發(fā)生與步進電機運行速度的變化規(guī)律，即步進電機的加減速控制曲線密切相關(guān)。因此，針對自動化控制系統(tǒng)步進電機的實際應(yīng)用，研究步進電機曲線控制的加減速算法具有重要意義。

1 步進電機的控制系統(tǒng)

圖1 步進電機控制系統(tǒng)

從步進電機的控制過程可以看出設(shè)計一個好的加減速控制曲線對規(guī)劃電機實時快速、準(zhǔn)確平穩(wěn)運動，充分發(fā)揮步進電機優(yōu)勢起到了重要作用。下面對常用的曲線加減速算法進行分析。

2 常用曲線加減速算法

步進電機的加減速過程一般分加速、勻速和減速三個階段，根據(jù)目標(biāo)位移的長度S不同，加減速規(guī)劃過程也會不同。假設(shè)加速到最大目標(biāo)速度Vmax的位移為Sacc，從目標(biāo)速度減速到停止的位移為Sdec，會有以下三種具體情況：

（1）Sacc+Sdec

（2）Sacc+Sdec>S時，加減速曲線僅有加速和減速兩段，電機運行速度小于Vmax。

（3）Sacc+Sdec=S時，加減速曲線也只有加速和減速兩段，但電機的運行速度能達(dá)到目標(biāo)速度Vmax，即電機加速到目標(biāo)速度后即刻進行減速運動，無勻速運動段。

品質(zhì)得分在54.70以上的為優(yōu)質(zhì)一級烤鴨，市售優(yōu)質(zhì)烤鴨中檢測到的9種雜環(huán)胺總含量水平為5 757.02～6 859.31ng·g-1。

根據(jù)步進電機的運動控制過程，目前常用的步進電機的加減速曲線算法主要有梯形曲線、指數(shù)曲線和S形曲線算法。

2.1 梯形曲線

梯形曲線算法的加減速過程分勻加速、勻速和勻減速三個階段。該算法的速度與時間曲線由于呈梯形狀，屬直線型，故名梯形曲線或直線曲線，如圖2所示，同時，圖中也給出了加速度時間關(guān)系。速度時間曲線的數(shù)學(xué)方程式為：

其中，v為t時刻的速度，Vs為起始速度，A為加速度。

圖2 梯形曲線關(guān)系圖

由圖2可知，曲線的速度變化不夠光滑，存在突變。在電機運行過程中會發(fā)現(xiàn)該算法存在噪聲較大，穩(wěn)定性不好等缺點，因此該算法不適用短距離、高精度、高速啟停的場合。但由于其算法控制簡單，易于計算實現(xiàn)，節(jié)省資源等優(yōu)點，該曲線算法廣泛應(yīng)用于長距離升降速要求不高的場合。

2.2 指數(shù)曲線

與梯形曲線類似，指數(shù)曲線是由于其加減速變化曲線按指數(shù)規(guī)律變化而得名，速度時間、加速度時間變化曲線如圖3所示。

圖3 指數(shù)曲線關(guān)系圖

與梯形曲線相比，指數(shù)曲線算法光滑性好，運行精度高，但仍然存在速度突變，因此對高速精準(zhǔn)要求場合不能很好滿足。另外，由于其在加減速控制過程中有大量指數(shù)運算，所以使得該算法計算實現(xiàn)復(fù)雜，對硬件的運行能力有較高要求。

2.3 S形曲線

從圖2、圖3可以看出，梯形和指數(shù)加速度曲線不連續(xù)，均有不同程度的加減速突變。而S形曲線克服了這方面的缺點，保證了加速度曲線的連續(xù)性。這樣，S曲線通過對加加速度的控制最大程度減少了速度的沖擊和抖動現(xiàn)象，實現(xiàn)了對電機的快速平穩(wěn)控制。一般，S曲線的加速度階段分為加加速、勻加速和減加速控制三個階段；減速階段分為減減速、勻減速和加減速三個階段。這樣，加上勻速階段，S曲線通常分為七個階段，如圖4所示。由圖可以看出速度曲線在加減速階段呈S形，因此得名S形加減速算法。

圖4 S曲線關(guān)系圖

雖然相比梯形和指數(shù)加減速，S形加減速在減少速度沖擊方面有了很大進步，適用于較高要求的加減速過程。但由于其涉及階段較多，實現(xiàn)較復(fù)雜，另外其加加速度的不連續(xù)性限制了柔性進一步控制。因此本文介紹一種三角曲線加減速算法，該算法既有計算簡單，實現(xiàn)方便等優(yōu)點，又能提高系統(tǒng)加減速柔性，滿足更高設(shè)備系統(tǒng)的應(yīng)用需求。

3 三角曲線加減速算法設(shè)計

3.1 數(shù)學(xué)函數(shù)的構(gòu)造

由S曲線的缺點可知，設(shè)計三角曲線加減速算法最重要的一點是變速過程中要滿足加加速度曲線連續(xù)。綜上可知，構(gòu)造的三角曲線必須滿足以下幾個基本條件：

（1）速度變化曲線變化平穩(wěn)，不存在速度突變沖擊；

（2）加速度變化曲線連續(xù)；

（3）加加速度變化曲線連續(xù)；

（4）速度曲線加速變化段的起始和終止、勻速整段、減速變化段的起始和終止加速度均為0，并滿足邊界速度要求。

結(jié)合以上要求，現(xiàn)構(gòu)造三角曲線的加減速數(shù)學(xué)函數(shù)。設(shè)速度從Vs經(jīng)時間Tm變化（加速或減速）到Ve，則根據(jù)三角函數(shù)的移動變換關(guān)系，可以構(gòu)造變速階段三角曲線數(shù)學(xué)函數(shù)如式(2)：可簡化為：

其中，t∈[0，Tm]。當(dāng) t=0 時，V(t)=Vs；當(dāng) t=Tm時，V(t)=Ve，滿足速度邊界條件。對公式(3)求導(dǎo)，可得加速度數(shù)學(xué)函數(shù)為：

顯然A(0)=0，A(Tm)=0，滿足加速度邊界條件。對公式(4)求導(dǎo)，易得加加速度數(shù)學(xué)函數(shù)為：

另外，正、余弦三角函數(shù)具有平滑連續(xù)可導(dǎo)特性。因此綜上分析，構(gòu)造的數(shù)學(xué)函數(shù)滿足三角曲線加減速算法設(shè)計的基本條件。

3.2 算法加減速過程分析

根據(jù)加減速運動控制過程可知，加減速產(chǎn)生的位移對規(guī)劃運動過程起決定性作用。對公式(3)積分可得算法位移時間關(guān)系式：

在三角曲線加減速控制整個過程中，假設(shè)能達(dá)到的最大速度為Vm，加速起始速度Vs，減速終止速度Ve，總加速時間Tma，總減速時間Tmd，則加、減速的位移公式分別為：

目標(biāo)位移S與Sa(Tma)、Sd(Tmd)間的關(guān)系，決定電機如何根據(jù)三角加減速算法規(guī)劃運動。為了方便研究，我們設(shè)加速初始速度與減速終止速度相等，加速時間與減速時間相同，即Ve=Vs，Tma=Tmd=Tm。這樣，由式(4)易得加速最大加速度Ama與減速最大減速度Amd大小相等，即Ama=Amd=Am。同時，加速與減速兩個過程發(fā)生的總位移SAD=Sa(Tma)+Sd(Tmd)可簡化為：易知 A(t)≤Am，另外，結(jié)合式(4)可得如下關(guān)系式：

解(10)得

從系統(tǒng)運行時間最短考慮，可用式(11)來保證運行時間最短。并且加速階段加速度時間關(guān)系圖關(guān)于時間軸對稱。

結(jié)合公式(11)、(3)和(6)可得速度變化關(guān)系式(12)和位移時間關(guān)系式(13)，根據(jù)式(9)和式(11)可以推得式(14)。

綜上可知，由于Vs為已知值，所以只要給定最大加速度Am、目標(biāo)速度Vm與目標(biāo)位移S就可得到三角曲線加減速算法具體規(guī)劃運動。當(dāng) S>SAD，即。電機有加速、勻速和減速三階段運動；同理當(dāng)，電機僅有加速和減速兩階段運動。

4 結(jié) 論

加減速控制算法在步進電機運動過程控制中起著不可替代作用，在工業(yè)控制系統(tǒng)中有著廣泛應(yīng)用。不同的加減速控制算法有不同的控制要求和特點，本文主要對梯形曲線、指數(shù)曲線和S形曲線等常用控制算法進行了分析研究，并針對以上算法的不足介紹了一種速度柔性更強的三角曲線算法，表1為上述幾種加減速算法在速度、加速度、加加速度、計算量及實現(xiàn)復(fù)雜度上的具體情況。

表1 步進電機加減速算法對比表

根據(jù)表1所述加減速算法的不同特點，為了更好地發(fā)揮各算法的控制優(yōu)勢，不同的應(yīng)用場合可以使用不同的算法。在半導(dǎo)體設(shè)備控制系統(tǒng)中，以物料系統(tǒng)的步進電機控制為例。

對運動精度與平穩(wěn)性要求不高的場合，如長距離送料等輔助控制中，我們可以選用梯形曲線加減速算法控制；而對于精度、平滑性要求較高場合，如上下料步進定位，S曲線加減速算法控制可以滿足要求；而對于速度平穩(wěn)性，精度要求更高場合，如搜索料過程，則三角曲線算法控制為最好選擇。

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