路翠華，李國(guó)林，謝 鑫，奚曉梁

(海軍航空工程學(xué)院7系，山東煙臺(tái) 264001)

1 引言

最小均方(LMS)算法計(jì)算復(fù)雜度低，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，得到了廣泛的應(yīng)用。但它的收斂速度慢，收斂速度與自適應(yīng)步長(zhǎng)和失調(diào)之間存在著矛盾。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，研究人員先后提出了變步長(zhǎng) LMS 算法［1－3］、LMS牛頓算法［4］、歸一化 LMS 算法［5］、變換域及分塊LMS 算法［6－8］、截?cái)鄶?shù)據(jù) LMS算法以及最小高階誤差(LMK)算法等［9－10］。目前，LMS 算法已比較成熟，但是結(jié)合實(shí)際應(yīng)用可以開(kāi)展提高其性能的改進(jìn)算法研究。G－SVSLMS算法是目前比較經(jīng)典的一種變步長(zhǎng)LMS算法，但其步長(zhǎng)更新公式易受噪聲干擾影響。文獻(xiàn)［11］提出基于零均值特性的改進(jìn)G－SVSLMS算法，提高了G－SVSLMS算法抗零均值白噪聲干擾的能力。但高斯白噪聲并不都是零均值的，而高斯白噪聲的相關(guān)性都比較差，本文根據(jù)這一特性，提出基于相關(guān)特性的改進(jìn)G－SVSLMS算法，提高了G－SVSLMS算法抗高斯白噪聲干擾的能力。

2 G－SVSLMS算法分析

文獻(xiàn)［1］提出的G－SVSLMS算法如下:

式(2)中，參數(shù)α＞0控制函數(shù)的形狀，參數(shù)β＞0控制函數(shù)的取值范圍，μ(n)與α、β和e( n)的關(guān)系如圖1所示。當(dāng)α、β選定時(shí)，μ(n)由e( n)唯一確定。

圖1 μ(n)與e(n)的關(guān)系曲線Fig.1 Curves of μ(n)vs e(n)

G－SVSLMS算法具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但在噪聲干擾比較嚴(yán)重的環(huán)境中，步長(zhǎng)更新公式中的e( n)受噪聲的影響，使μ(n)不能達(dá)到一個(gè)很小的值，從而使自適應(yīng)算法很難達(dá)到最優(yōu)解，只能在最優(yōu)解附近波動(dòng)。

3 基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法

高斯白噪聲 v的相關(guān)性比較差(即E[ v( n) v( n－1 )]=0)，根據(jù)這一特性提出基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法，其步長(zhǎng)更新公式為

基于相關(guān)特性G－SVSLMS算法的步長(zhǎng)更新公式相對(duì)于G－SVSLMS算法具有較強(qiáng)的抗噪聲干擾能力。若兩算法選取相同參數(shù)α、β，則基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法相對(duì)于G－SVSLMS算法具有小的穩(wěn)態(tài)誤差。

證明如下:

設(shè)誤差e( n)=s1(n)+v1(n)，其中s1(n)為誤差中的信號(hào)分量，v1(n)為誤差中的噪聲分量，則

若信號(hào)與噪聲不相關(guān)，則

所以基于相關(guān)特性G－SVSLMS算法中的步長(zhǎng)更新公式受噪聲影響很少，具有很強(qiáng)的抗噪聲干擾能力。

當(dāng)算法趨向收斂時(shí)，s1(n)→0，所以

則通常情況下，

設(shè)G－SVSLMS算法步長(zhǎng)為μ(n)，基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法步長(zhǎng)為μ1(n)，若兩算法選取相同參數(shù) α、β，由式(2)、(4)、(8)可得

所以此時(shí)基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法相對(duì)于G－SVSLMS算法具有小的穩(wěn)態(tài)誤差。

證畢。

在保證算法收斂的條件下，若基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法和G－SVSLMS算法參數(shù)α相同，基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法可以選取相對(duì)較大的參數(shù)β，從而使基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法相對(duì)G－SVSLMS算法具有較快的收斂速度。

證明如下:

設(shè)G－SVSLMS算法的參數(shù)為 α、β，步長(zhǎng)為μ(n)，基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法的參數(shù)為α1、β1，步長(zhǎng)為 μ1(n)，輸入信號(hào)矢量 u(n)相關(guān)矩陣為R=E[ u(n) uH(n )]，R的最大特征值為 λmax。

由LMS算法均值收斂條件可得，要使G－SVSLMS算法和基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法收斂，須使

即須使

式中，emax(n)為濾波過(guò)程中絕對(duì)值最大的誤差值。顯然

若 α=α1，由式(14)可得，滿足式(13)的 β1可大于滿足式(12)的β，即若基于相關(guān)特性的GSVSLMS算法和G－SVSLMS算法參數(shù)α相同，基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法可以選取相對(duì)較大的參數(shù)β1，所以基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法相對(duì)G－SVSLMS算法具有較快的收斂速度。

證畢。

4 仿真分析

下面將基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法和G－SVSLMS算法應(yīng)用到窄帶信號(hào)的噪聲抑制中，通過(guò)仿真驗(yàn)證基于相關(guān)特性G－SVSLMS算法的濾波性能。噪聲抑制原理如圖2所示。

圖2 噪聲抑制原理Fig.2 Principle of noise suppression

當(dāng)窄帶信號(hào)中含有噪聲時(shí)，由于窄帶信號(hào)是可預(yù)測(cè)的，而高斯白噪聲的可預(yù)測(cè)性比較差，可利用其預(yù)測(cè)性的差異進(jìn)行噪聲抑制。設(shè)含有噪聲的信號(hào)為x，x=s+v，其中s為有用信號(hào)，v為噪聲。因?yàn)閟為窄帶信號(hào)，利用預(yù)測(cè)濾波器可得到信號(hào)s的預(yù)測(cè)信號(hào)^s。誤差e=s+v－^s，根據(jù)誤差e調(diào)整濾波器的權(quán)值，使^s→s，從而使e→v，達(dá)到噪聲干擾抑制的目的。

仿真中選取窄帶信號(hào)為彈目距離大于3倍脫靶量時(shí)連續(xù)波多普勒無(wú)線電引信回波信號(hào)。因仿真中只選取了一小段回波信號(hào)，可假設(shè)在這一小段時(shí)間內(nèi)回波信號(hào)的幅度是不變的。在仿真中，信號(hào)s是已知的，用平方誤差來(lái)衡量濾波性能。為有效評(píng)價(jià)算法性能，選取近似于真實(shí)環(huán)境的仿真環(huán)境，具體如下:設(shè)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為1 000 m/s，脫靶量為20 m，引信在彈目距離300 m時(shí)開(kāi)始工作。引信回波信號(hào)SNR=10 dB時(shí)，基于相關(guān)特性的GSVSLMS算法和G－SVSLMS算法中參數(shù)α=10、β=0.1時(shí)，其平方誤差曲線如圖3所示，收斂曲線如圖4所示。

圖3 SNR=10 dB、參數(shù)相等時(shí)平方誤差曲線Fig.3 Square error curve when SNR=10 dB and the parameters of two algorithms are equal

圖4 SNR=10 dB、參數(shù)相等時(shí)收斂曲線Fig.4 Convergent curve when SNR=10 dB and the parameters of two algorithms are equal

由圖3和圖4可以看出，基于相關(guān)特性的改進(jìn)G－SVSLMS算法和G－SVSLMS算法參數(shù)相同時(shí)，基于相關(guān)特性的改進(jìn)G－SVSLMS算法收斂速度略慢于G－SVSLMS算法，但其收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差明顯小于G－SVSLMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差，與理論分析一致。

G－SVSLMS算法中參數(shù) α=10、β=0.01時(shí)與基于相關(guān)特性的G－SVSLMS算法參數(shù)α=10、β=0.1時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差基本相等，其平方誤差曲線如圖5所示。

圖5 SNR=10 dB、穩(wěn)態(tài)誤差相等時(shí)平方誤差曲線Fig.5 Square error curve when SNR=10 dB and the steady－state errors of two algorithms are equal

由圖5可以看出，在保證兩種算法收斂后穩(wěn)態(tài)誤差基本相等條件下，因基于相關(guān)特性的改進(jìn)GSVSLMS算法可選用較大的參數(shù)β，其收斂速度明顯快于G－SVSLMS算法，與理論分析一致。

5 結(jié)束語(yǔ)

G－SVSLMS算法步長(zhǎng)更新公式易受噪聲干擾，導(dǎo)致自適應(yīng)濾波器權(quán)值在最優(yōu)權(quán)值附近波動(dòng)比較大。本文針對(duì)這一問(wèn)題，根據(jù)高斯白噪聲相關(guān)性比較差的特性，對(duì)G－SVSLMS算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于相關(guān)特性的改進(jìn)G－SVSLMS算法，使算法抗噪聲干擾能力增強(qiáng)。文獻(xiàn)［11］提出的基于零均值的改進(jìn)G－SVSLMS算法只能抵抗零均值高斯白噪聲的干擾，而本文提出的算法能抵抗所有高斯白噪聲的干擾，但算法抗噪聲調(diào)幅和噪聲調(diào)頻干擾的性能有待于進(jìn)一步分析。

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