尹文亭， 徐昌榮

（江西理工大學建筑與測繪工程學院，江西贛州341000 ）

0 引 言

橢球面上點的大地經(jīng)度L、大地緯度B，兩點間大地線長度S 及其正、反大地方位角A12、A21，通稱為大地元素. 如果知道某些大地元素推求另一些大地元素[1-2]，這樣的計算叫大地主題解算. 大地主題解算被應用于空間技術(shù)、航空、航海、國防等很多方面， 但在實際使用時會遇到各種各樣的問題，為了使這些問題得以解決，長期以來，國內(nèi)外眾多學者一直關(guān)注該問題并提出多種解算方法[3]，大致歸納為五類[4]：①以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎(chǔ)，如史賴伯公式——該公式已被廣泛采用，被公認為解算短距離( 小于120 km) 大地主題的最好方法[5]，高斯平均引數(shù)法[1-2]等；②以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)，如陳俊勇公式[6]、張志新公式[7]，以及史國友研究的貝塞爾大地主題正解[8]和反解[9]的改進算法等； ③利用地圖投影理論解算大地問題，如博林公式、巴烏曼公式、許厚澤公式[10]等；④對大地線微分方程進行數(shù)值積分的解法[11]，如高斯法、龍格-庫塔法、牛頓法、嵌套系數(shù)法和切比雪夫法[1,2]等；⑤依據(jù)大地線以外其他線為基礎(chǔ)，如弦線、法截線[1-2]等. 有關(guān)大地主題解算方法雖然比較完善，但這些方法仍然存在一些缺陷，比如說奇異問題和繁瑣公式的計算，特別是應用范圍受到一定的限制[13].

電腦的廣泛應用，為改進大地主題的解算方法提供了新的條件. 在電算中進行迭代， 簡而易行.如今嵌套系數(shù)法[14-15]大地主題解算被認為能解決任意距離的大地主題解算問題，嵌套式的解算模型更宜編制電算程序， 但是在應用嵌套系數(shù)法進行C#程序設(shè)計解算大地主題計算時發(fā)現(xiàn)，當大地線的起終點在同一緯度時， 某些情況反解不能解算出結(jié)果. 由于嵌套系數(shù)法大地主題解算計算公式的復雜性和問題的隱秘性，使得它很難發(fā)現(xiàn).

針對上面的問題，文中提出了用倍角公式變換的方法對反解公式進行改進，改進后方法不但可以解決嵌套系數(shù)法反解的問題，而且滿足精度要求.

1 嵌套系數(shù)法大地主題解算的基本原理

2 嵌套系數(shù)法大地主題的反解公式及問題

如果已知兩點的大地坐標（L1,B1）和（L2,B2），計算兩點間的大地線長S 及其正、反方位角A12、A21，這類問題叫做大地主題反解. 嵌套系數(shù)法的大地主題反解公式[2]如下：

（1） tanu1=(1-α)tan B1, tanu2=(1-α)tan B2

（2） △ω=L2-L1+d△ω 首次取d△ω

（4） cosun=cosu1cosu2sin△ω/sin△σ

（5） cos2σm=cos△σ-2sinu1sinu2/sin2un

（8） △s=K1b(△σ-d△σ)

（10）檢驗差：H=cosu1sinA1-cosu2sinA2

當B1≠B2時， 公式有1≥cos2σm≥-1， 此時sin≥2σm和2σm可以求出，cos4σm和cos6σm也可以解出；但是當B1=B2時， 一些情況下cos2σm＜-1， 這樣就導致sin2σm和2σm解算不出來，從而導致cos4σm和cos6σm都不能解算，最終導致這時的反解計算不能解算出結(jié)果.

3 嵌套系數(shù)法反解公式的改進算法

鑒于嵌套系數(shù)法大地主題反解出現(xiàn)的問題，再次對公式進行數(shù)學分析，分析發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)該問題的主要原因是計算中公式迭代導致cos2σm＜-1 而無法求解cos4σm和cos6σm的值.為了解決這個問題，通過不斷地探索最后發(fā)現(xiàn)可以不求公式中的sin2σm和2σm，轉(zhuǎn)而通過用倍角公式變換對原公式進行改化來求cos4σm和cos6σm，具體如下：

4 算例和結(jié)果分析

為了驗證改進后方法是否真正解決了嵌套系數(shù)法反解中存在的問題，現(xiàn)以VS2010[16]為開發(fā)環(huán)境，用原嵌套系數(shù)法和改進后方法編制一套大地主題解算程序，在編寫程序中參考文獻[17]中注意的問題，驗證時加入了高斯平均引數(shù)法和白塞爾法進行對比. 反解計算的前四個例子選用克拉索夫斯基橢球， 橢球參數(shù)為：a =6378245.0 m，b =6356863.0188 m； 最后一個算例選用1975 年國際橢球， 橢球參數(shù)為：a =6378140.0 m，b =6356755.288158 m.例1 結(jié)果見表1， 例2～例5 的起算數(shù)據(jù)見表2，結(jié)果見表3.

例1（B1=40°02′35.6784″，L1=130°10′12.2627″，B2=40°02′35.6784″，L2=128°59′53.8816″）

表1 例1 大地主題反解算例驗證結(jié)果

表2 例2～例5 起算數(shù)據(jù)

表3 例2～例5 大地主題反解算例驗證結(jié)果

以上所有例子都是大地線的起終點位于同一緯度時的情況，上面例子中大地線長度計算包括了從短距離到長距離， 以及大地線在赤道的情況，由于高斯平均引數(shù)法不適于計算大地線長度大于200 公里的主題解算問題，所以將例1 和其他例子分開驗證，表2 中例5 采用的是文獻[14]數(shù)據(jù).

通過對上面例子數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，當原嵌套系數(shù)法不能解算出大地線起終點在同一緯度的反解情況時，改進后方法能夠解算出結(jié)果，和其他兩種方法比較，結(jié)果滿足要求. 因此改進后方法解決了原嵌套系數(shù)法反解中出現(xiàn)的問題，適用于任意距離的大地主題反解計算.

5 結(jié)束語

本文通過對嵌套系數(shù)法大地主題反解的研究，分析了嵌套系數(shù)法反解中當大地線起終點在同一緯度時出現(xiàn)的問題，并針對該問題提出了一種改進的算法，通過算例的證明，得出改進后的方法解決了該問題，結(jié)果是正確而且可靠的，同時對于大地線在赤道時的情況解算和判斷更加簡單. 嵌套系數(shù)法的改進使得有關(guān)大地主題方面的解算更加的完善，這將為洲際聯(lián)測、導彈火箭和衛(wèi)星發(fā)射等方面發(fā)揮重要的作用.

[1] 孔祥元，郭際明，劉宗泉. 大地測量學基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學出版社，2010.

[2] 陳 健，晁定波.橢球大地測量學[M].北京：測繪出版社，1989.

[3] 徐曉晗，謝云開，李亞軍. 大地主題解算實用算法[J]. 科學技術(shù)與工程，2012，12(9)：2062-2068.

[4] 周振宇，郭廣禮，賈新果. 大地主題解算方法綜述[J]. 測繪科學，2007，32(4):190-191.

[5] 周江華，苗育紅，成文生，等. 貝塞爾大地反解問題的高效率算法[J]. 測繪學報，2002，31(2) : 108-111.

[6] 陳俊勇.長距離大地主題反算的直接解法[C]//國家測繪總局測繪研究所. 大地測量研究專輯：第一輯，北京：測繪出版社，1979 .

[7] 張志新.大地主題反解公式[C]// 國家測繪總局測繪研究所. 大地測量研究專輯：第二輯，北京：測繪出版社，1980.

[8] 史國友，周曉明，賈傳熒. 貝塞爾大地主題正解的改進算法[J].大連海事大學學報，2008，34(1) : 15-19.

[9] 史國友，趙慶濤，王玉梅，等.貝賽爾大地主題反解的改進算法[J] . 交通運輸工程學報，2009，9(1) : 77-82.

[10] 黃繼文.按巴烏曼投影公式反解大地主題的新算法[J].解放軍測繪學院學報，1994，11(2)：94-100.

[11] 范業(yè)明，王解先，劉慧芹.大地主題的數(shù)值解法[J].工程勘察，2007 (1) : 61-63

[12] 徐紹銓.弦線法解算大地測量主題精密公式[J].武漢測繪科技大學學報，1990，15(1)：19-27.

[13] 施一民，范業(yè)明.一種子午線正反解算的新方法[J].同濟大學學報: 自然科學版，2005，33(7) : 964-966.

[14] 何 菊，胡 鵬，胡 海. 一種適用于任意距離的大地主題計算方法的研究和試驗[J].測繪科學，2006，31(2)：29-31.

[15] 張學廉. 嵌套系數(shù)法--精密解算任何距離大地主題[J]. 武漢測繪學院學報，1985(1): 78-91.

[16] （美）索利斯（Solis，D.）.C# 圖解教程[M]. 蘇林，譯. 北京：人民郵電出版社，2011.

[17] 黃建生，羊遠新，王樹東.大地主題解算電算化時應注意的問題[J]. 工程勘察，2006 (8):47-49.