張靜

(上海師范大學 信息與機電工程學院，上海 200234)

1 引言

在收發(fā)端配置多根天線的多天線系統(tǒng)即多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)可以有效地利用空間分集并改善鏈路的可靠性。利用分散在不同地點的無線終端構(gòu)成分布式MIMO系統(tǒng)在協(xié)同通信乃至多點協(xié)作重傳等技術中被廣泛采納。由于無線移動終端分布地點分散，組成虛擬MIMO系統(tǒng)時在接收端得到的是包含多個不同的信道狀態(tài)信息：衰落、時延和頻率偏置這3類特征參數(shù)的混疊信號。準確地獲取這些參數(shù)并進行有效的同步和均衡，可顯著地改善接收機性能。

在分布式MIMO系統(tǒng)中，當多個頻率偏置和平信道衰落在多個符號周期不變時，參數(shù)的聯(lián)合獲取可采用期望最大化方法，它避免了極大似然估計的求逆運算，可逼近參數(shù)的克拉默—拉奧下界[1]，還可運用最小二乘估計和最小均方誤差估計[1～3]；對時變特征參數(shù)的獲取有以下幾種方法：建立MIMO信道的狀態(tài)空間模型，用卡爾曼濾波來跟蹤參數(shù)[4]；用序列蒙特卡洛方法獲取在偽碼輔助下的信道衰落[5]。此外，將時變信道近似為在若干個符號周期不變，以及聯(lián)合估計MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道衰落和頻率偏置[6]及盲方法等[7]。

本文針對多天線無線信道隨機時變的特點，考慮分布式MIMO系統(tǒng)時變特征參數(shù)的聯(lián)合獲取。它包括多個復信道衰落和多個頻率偏置的聯(lián)合估計。依據(jù)無線信道的統(tǒng)計模型理論建立了參數(shù)的狀態(tài)空間模型，對強非線性觀測模型進行線性化處理，然后運用擴展卡爾曼濾波算法聯(lián)合獲取多個未知參數(shù)，同時將結(jié)果對照了參數(shù)估計的克拉默—拉奧下界。

2 接收信號模型及其線性化

一個具有NT根發(fā)送天線和NR根接收天線的分布式MIMO傳輸系統(tǒng)如圖1所示。對分布式的NT個發(fā)送天線上的發(fā)送符號{x1,x2,…,xNT}進行空時編碼得到在時刻k的發(fā)送符號{s1(k),s2(k),…,sNT(k)}，在發(fā)送符號中插入導頻序列，然后經(jīng)由無線信道傳輸。在第r個接收天線上的接收信號為

其中，Wp為第p個發(fā)送天線的發(fā)射功率，hrp(k)為第p個發(fā)送天線和第r個接收天線間在時刻k的復信道衰落，sp(k)為時刻k在第p個發(fā)送天線上的發(fā)送符號，ωrp(k)=2πfrp(k)Ts為歸一化后的載波頻率偏置，其中，frp(k)為時刻k的絕對實際頻偏，Ts為符號周期；0＜ωrp(k)＜π，ηr(k)為均值為0、實部和虛部的功率為N02/2的復高斯觀測噪聲。

圖1 分布式MIMO系統(tǒng)傳輸模型

因參數(shù)估計過程在所有的接收天線上相同，不失一般性，略去下標r。式(1)在導頻點處的接收信號為

設導頻序列每隔若干個由發(fā)送符號構(gòu)成的空時編碼塊后插入且接收端已知，此時式(2)包含和這些未知參數(shù)。由于該非線性觀測模型的未知參數(shù)為時變參數(shù)且混疊在接收信號中，獲得解析解較困難。當采用足夠小的采樣間隔時，可利用擴展卡爾曼濾波進行參數(shù)獲取。為此對式(2)進行線性化。記式(2)為yk=f(xk)+ηk，其中，將yk在狀態(tài)估計值附近展開成泰勒級數(shù)，并取其一次項，有

3 時變信道特征參數(shù)的狀態(tài)空間模型

上述分布式MIMO系統(tǒng)的發(fā)射天線共時共頻傳送信息對接收端信號造成了混疊。在發(fā)送天線不相關時，多根發(fā)送天線和某個接收天線間構(gòu)成了獨立的多徑信號。對于小尺度衰落，當接收機帶寬B和符號周期Ts一定時，每條主路徑可用信道衰落、頻偏、時延3類特征參數(shù){hp,fp,τp}的亞擴展函數(shù)來表征，其等同于若干個不可分辨的時延小于1/2B并且頻偏小于1/2Ts的路徑的和[8]。hp的幅值在無直射波時服從瑞利分布，相位服從(0,2π]間的均勻分布。更進一步地，可將時延和信道衰落用直角坐標方式表示為復信道衰落，時延等效為復信道衰落的相位。然后建立參數(shù)化的二階自回歸模型[4]

其中，其中，df是最大的多普勒頻移，dr是信道功率時延譜的衰減系數(shù)，

頻率偏置為慢變參數(shù)，可建立為一階自回歸模型

其中，pb為與移動速度有關的系數(shù)，

將式(7)、式(8)表示成狀態(tài)空間模型為

將所有發(fā)送天線對任一根接收天線間信道特征參數(shù)的狀態(tài)方程表示為

4 擴展卡爾曼濾波（EKF）算法

4.1 EKF算法

EKF算法在過程噪聲和觀測噪聲均為高斯白噪聲時具有最優(yōu)意義。當對過程模型和觀測模型線性化后，EKF公式與常規(guī)卡爾曼濾波公式一致。針對式(6)和式(10)的模型，在設定初始狀態(tài)x0、初始估計誤差方差P0以及過程噪聲方差1k-Q和觀測噪聲方差kR后，可進行如下計算獲得每步EKF估計值和估計誤差方差kP，即有

1) 一步預測

2) 一步修正因子

3) 一步修正估計誤差方差

4) 一步修正

4.2 時變特征參數(shù)估計的克拉默—拉奧下界

根據(jù)文獻[9]，該模型下參數(shù)估計的克拉默—拉奧下界為遞推費希爾矩陣kJ的逆。kJ為

5 仿真實例

本文仿真考察時變信道參數(shù)聯(lián)合估計性能。不失一般性，考慮2發(fā)1收分布式MIMO系統(tǒng)時變復信道衰落和時變頻率偏置的聯(lián)合估計，并設MIMO信道的各子信道為瑞利衰落信道。仿真參數(shù)的數(shù)值見表1。

本文進行了三方面的仿真，一是在給定的信噪比條件下考察聯(lián)合估計時參數(shù)的均方誤差(MSE)隨觀測值個數(shù)增加而變化的情況；二是當估計收斂后各參數(shù)的MSE隨信噪比的變化情況；三是考察過程噪聲對MSE的影響。通過與參數(shù)的克拉默—拉奧下界（CRLB）對比來進一步表明參數(shù)的估計性能。

表1 仿真參數(shù)數(shù)值

圖2是在設定信噪比（SNR）為0dB時，由EKF估計的信道衰落h1實部的MSE與CRLB隨觀測值個數(shù)增加而變化的曲線。其他信道衰落參數(shù)具有與該圖類似的估計情況，不再示出。圖3是由EKF估計的頻率偏置1ω的MSE與CRLB隨觀測值個數(shù)變化的曲線。這2幅仿真曲線表明，EKF估計的MSE和CRLB都隨觀測值個數(shù)的增加漸近收斂，在觀測值個數(shù)達到10時，EKF估計的MSE已可進入穩(wěn)態(tài)。同時，由于信道衰落模型被建立為二階AR正弦振蕩模型，導致CRLB和EKF估計值在穩(wěn)態(tài)時都具有類似正弦的振蕩形式，且EKF的MSE接近CRLB。

圖4和圖5是在EKF和CRLB均已進入穩(wěn)態(tài)后，在第40個觀測時刻EKF的MSE隨SNR的變化曲線。仿真結(jié)果表明，EKF的MSE隨SNR的增加逐漸減小，穩(wěn)態(tài)時與CRLB相當。

圖2 信道衰落估計的漸近收斂曲線與CRLB曲線

圖3 頻率偏置估計的漸近收斂曲線與CRLB曲線

圖4 信道衰落估計與CRLB曲線

圖5 頻率偏置估計與CRLB曲線

圖6和圖7是在SNR為0dB時，各參數(shù)估計值隨過程噪聲方差的數(shù)量級而變化的曲線。這些曲線表明，當過程噪聲方差小于10-6時，參數(shù)能良好地估計，但是隨著方差數(shù)量級的增加，各參數(shù)的MSE迅速增大。

這些仿真結(jié)果表明，當分布式多天線信道隨機時變特征參數(shù)的方差較小即過程噪聲方差較小時，EKF聯(lián)合估計到達穩(wěn)態(tài)所需的導頻數(shù)目以及穩(wěn)態(tài)估計精度與參數(shù)時不變時極大似然估計的情況相當[1]，MSE收斂速度較快，估計精度可逼近CRLB。但是，當特征參數(shù)的方差較大時，由于各特征參數(shù)耦合在觀測模型中，聯(lián)合估計時各參數(shù)的估計過程有較大程度的互相影響，加上頻率偏置的觀測模型呈現(xiàn)較強的非線性，EKF聯(lián)合估計還存在MSE較大的不足。此外，由于分布式多天線信道是典型的隨機時變信道，其時不變參數(shù)可視作方差為零的隨機參數(shù)的特例，因此，可運用EKF聯(lián)合估計既包括靜止終端也包括移動終端之間信道的特征參數(shù)，適用性較為廣泛。

圖6 信道衰落估計的MSE隨過程噪聲階次的變化曲線

圖7 頻率偏置估計的MSE隨過程噪聲階次的變化曲線

對比仿真結(jié)果中頻率偏置和復信道衰落的估計性能曲線還可以看出，頻率偏置的MSE收斂曲線為線性，穩(wěn)態(tài)時的MSE很小；而復信道衰落的MSE收斂曲線為振蕩形式，穩(wěn)態(tài)時的MSE較大。這一方面是由于頻率偏置是一階慢變參數(shù)而復信道衰落是二階快變參數(shù)，另一方面是由于頻率偏置和復信道衰落對觀測信號的影響情況不同。時變的頻率偏置使觀測信號產(chǎn)生時變相移，該相移基本不受復信道衰落及其時變性的影響，在SNR較低時就可使頻率偏置估計的MSE很小，但該相移會改變復信道衰落在2個正交支路上的觀測信號，從而導致復信道衰落估計的MSE較大。

6 結(jié)束語

本文考慮分布式多天線信道的特征參數(shù)：復衰落和頻率偏置為隨機時變參數(shù)，運用了擴展卡爾曼濾波來聯(lián)合估計。它建立各參數(shù)的自回歸及狀態(tài)空間模型，求解觀測方程的雅可比矩陣進而線性化觀測方程，再通過序貫的觀測值估計參數(shù)。這種聯(lián)合獲取方法在特征參數(shù)的方差較小時，估計跟蹤精度可逼近克拉默—拉奧下界，到達穩(wěn)態(tài)時所需的導頻數(shù)目與對時不變特征參數(shù)做聯(lián)合最優(yōu)估計時所需的導頻數(shù)目相當，具有較廣泛的適用性。

[1] PHAM T H, NALLANATHAN A, LIANG Y C. Joint channel and frequency offset estimation in distributed MIMO flat-fading channels[J]. IEEE Trans Wireless Communication, 2008, 7(2):648-656.

[2] NOORALIZADEH H, MOGHADDAM S S. A novel shifted type of SLS estimator for estimation of Rician flat fading MIMO channels[J].2010, 90(6):1886-1893.

[3] ROSSI P S, MULLER R R. EDFORS O. Linear MMSE estimation of time–frequency variant channels for MIMO-OFDM systems[J]. Signal Processing, 2011, 91(5):1157-1167.

[4] ENESCU M, ROMAN T, KOIVUNEN V. State-space approach to spatially correlated MIMO OFDM channel estimation[J]. Signal Processing, 2007, 87(9): 2272-2279.

[5] VAZQUEZ M A, BUGALLO M F, MIGUEZ J. Sequential monte carlo methods for complexity-constrained MAP equalization of dispersive MIMO channels[J]. Signal Processing, 2008, 88(4):1017-1034.

[6] AMO C P D, JIMéNEZ V P G, GARCíA M J F G. Joint channel and frequency offset estimation in MIMO-OFDM systems with insufficient cyclic prefix[J]. Physical Communication, 2011, 6(22): 254-265.

[7] PALAMIDES A, MARAS A, VELONI A, etal. Blind tracking of channel state and multiple frequency offsets in MIMO–OFDM systems[J]. Physical Communication, 2011, 4(2):123-126.

[8] GIANNAKIS G B, HUA Y B, STOICA P, etal. Signal Processing Advances in Wireless and Mobile Communications, volume 2: Trends in Single-and Multi-User Systems[M]. Beijing: Post and Telecom Press, 2002. 403-433.

[9] LEI M, VAN WYK B J, QI Y. Online estimation of the approximate posterior Cramer-Rao lower bound for discrete-time nonlinear filtering[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011,47(1):37-57.