柳 萍 毛劍琴 張 偉 周克敏

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)(美國(guó)路易斯安那州立大學(xué)電氣工程與計(jì)算機(jī)系，巴屯魯日70803)

遲滯非線性系統(tǒng)是工程中廣泛存在的一類系統(tǒng).土木工程、電力工程和控制工程領(lǐng)域中都會(huì)遇到這類系統(tǒng).例如，當(dāng)系統(tǒng)中有彈塑性構(gòu)件或者存在干摩擦?xí)r，力與位移或者力與應(yīng)變的關(guān)系不再是可逆的，從而形成滯后回線.當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)的頻率發(fā)生變化時(shí)，滯后回線的形狀也隨之改變，即表現(xiàn)出率相關(guān)性，這樣的一類系統(tǒng)稱為率相關(guān)遲滯非線性系統(tǒng)［1］.

超磁致伸縮作動(dòng)器(GMA，Giant Magnetostrictive Actuator)是一類典型的率相關(guān)遲滯非線性系統(tǒng).盡管其以高能量密度、快響應(yīng)速度等優(yōu)勢(shì)在微位移與微定位系統(tǒng)控制中得到了廣泛關(guān)注，但其固有的率相關(guān)遲滯非線性較壓電等智能材料更為顯著，從而使得系統(tǒng)控制中會(huì)遇到難以獲得精確控制模型、系統(tǒng)穩(wěn)定性變差和需要增強(qiáng)抗干擾能力等難題.

目前率相關(guān)遲滯系統(tǒng)建模方法大致可分為3類:① 以改進(jìn)的 Preisach 模型［2］、改進(jìn)的 PI(Prandtl-Ishlinskii)模型［3］、廣義 PI模型［4］為代表的唯象模型，這類模型中參數(shù)沒有明確的物理意義，只是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行建模;②以J-A(Jile-Atherton)模型、Duhem 模型［5］為代表的物理建模方法，這類方法是基于不同遲滯對(duì)象的物理機(jī)制，采用連續(xù)系統(tǒng)力學(xué)等方法描述遲滯行為;③基于各種智能方法的使用，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［6］，模糊樹［7］等.有關(guān)遲滯非線性控制方法的研究也引起很多人的關(guān)注，一種比較有效的處理遲滯行為的方法就是先建立精確的非線性模型，再通過其逆模型進(jìn)而抵消遲滯環(huán)［8］，另外還有學(xué)者也進(jìn)行了反饋控制策略的研究，如自適應(yīng)控制［9］、魯棒控制［10］以及最優(yōu)控制［11］等.

本文針對(duì)具有率相關(guān)遲滯非線性特性的GMA，建立了一定頻率范圍內(nèi)的統(tǒng)一模型，設(shè)計(jì)了跟蹤控制策略且通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 率相關(guān)遲滯非線性模型

1.1 Hammerstein-like模型

通常實(shí)際工業(yè)過程都具有強(qiáng)烈的復(fù)雜非線性特征，找到一個(gè)能對(duì)非線性過程進(jìn)行準(zhǔn)確描述的模型不是很容易.在實(shí)際應(yīng)用中，許多非線性系統(tǒng)都可以用靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)與線性子系統(tǒng)內(nèi)連來模型化.因此文獻(xiàn)［12］提出了Hammerstein模型.

Hammerstein模型是一種模塊模型，由1個(gè)靜態(tài)無記憶非線性環(huán)節(jié)和1個(gè)動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成［12］.對(duì)于某些復(fù)雜的非線性，標(biāo)準(zhǔn)Hammerstein模型已不能夠描述其特征.基于此，就有了Hammerstein-like模型，它與Hammerstein模型有著相同的模塊結(jié)構(gòu)，其差別在于前面的非線性部分由原來的靜態(tài)變?yōu)榱藙?dòng)態(tài)，這樣的結(jié)構(gòu)能夠描述更為廣泛的復(fù)雜非線性行為［13］.

針對(duì)率相關(guān)遲滯非線性模型，如果非線性部分仍保持靜態(tài)，整個(gè)模型的特征就不能得到很好地描述，故本文采用Hammerstein-like模型，圖1給出了模型構(gòu)造.

圖1 率相關(guān)Hammerstein-like模型的結(jié)構(gòu)圖

Hammerstein-like模型的辨識(shí)可以把前后兩個(gè)部分分別進(jìn)行辨識(shí).本文非線性部分采用最小二乘支持向量機(jī)(LS-SVM，Least Square Support Vector Machines)方法辨識(shí)，線性部分采用ARX(AutoRegressive eXogenous)模型.

1.2 用于辨識(shí)的LS-SVM

LS-SVM是支持向量機(jī)(SVM，Support Vector Machines)的一種改進(jìn)算法.它使用二次損失函數(shù)代替SVM中的ε不敏感損失函數(shù)，并且將SVM算法中的不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，最終將凸二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組的問題，從而簡(jiǎn)化了算法，進(jìn)而加快了求解速度［14］.

給定一組數(shù)據(jù)集{xk，yk}Nk=1，其中輸入數(shù)據(jù)xk∈Rn，輸出數(shù)據(jù)yk∈R.在原始空間中模型為

其中，非線性映射φ(·):Rn→Rnh將訓(xùn)練數(shù)據(jù)集映射到高維特征空間中，這樣原空間中的非線性回歸問題就可以轉(zhuǎn)化為特征空間中的線性回歸問題.ω∈Rnh為權(quán)重向量，b∈R為偏差.在特征空間中得到下面的最優(yōu)問題:

其中，γ∈R+為模型泛化能力和精度之間的一個(gè)折中參數(shù).

構(gòu)建上述優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù):

其中，αk為拉格朗日因子.根據(jù)最優(yōu)性條件，分別求取偏微分，可得

整理方程組，消去變量ω和e，可得到以下矩陣:

其中，α=［α ，α ，…，α ］T為支持向量;1=［1，

12NN1，…，1］T;y=［y1，y2，…，yN］T.核之積可以寫為

其中，K為核函數(shù).引入核函數(shù)的目的是為了避免非線性映射φ(·)的大量乘積運(yùn)算.在核函數(shù)的選擇上，徑向基核函數(shù)因其有很好的性能而被大多數(shù)人采用:

其中，σ為核寬度;‖·‖為歐氏距離.這樣整個(gè)LS-SVM模型就可以寫成如下形式:

其中，αk和b為線性系統(tǒng)(5)的解.另外，在以上過程中并沒有給出參數(shù)γ和σ的求解過程，這兩個(gè)參數(shù)是需要人為確定的.

1.3 LS-SVM參數(shù)辨識(shí)

微粒群算法(PSO，Particle Swarm Optimization)是1995年開發(fā)的一種演化計(jì)算技術(shù)，其基本思想是利用群體中的個(gè)體對(duì)信息的共享，使整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)在問題解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優(yōu)解［15］.

由于PSO具有概念簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易等優(yōu)點(diǎn)，因此，本文就采用此算法來確定LS-SVM中的兩個(gè)參數(shù)γ和σ.在PSO算法中，LS-SVM的兩個(gè)參數(shù)就變成了兩個(gè)微粒，其尋優(yōu)過程可見圖2.

1.4 建 模

本文所建立的Hammerstein-like模型不僅對(duì)單頻輸入信號(hào)遲滯環(huán)適用，也對(duì)復(fù)合頻率輸入信號(hào)的遲滯環(huán)適用.因?yàn)閺?fù)合頻率更能夠激發(fā)作動(dòng)器的頻率特性，所以復(fù)合頻率輸入信號(hào)所激勵(lì)的遲滯環(huán)會(huì)更復(fù)雜，這對(duì)建模要求更高.

圖2 應(yīng)用PSO調(diào)節(jié)LS-SVM參數(shù)的流程圖

遲滯非線性的典型特征是其具有非局部記憶性和多值映射性.因?yàn)長(zhǎng)S-SVM方法不能直接對(duì)多值映射進(jìn)行建模，所以需要把多值映射轉(zhuǎn)化成單值映射，同時(shí)為了體現(xiàn)遲滯非線性的非局部記憶性，引入了一個(gè)動(dòng)態(tài)離散的非線性模型［16］:

其中，x(k)和y(k)分別為系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸入輸出;y^(k+1)為模型在k+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)輸出;m和n為輸入輸出的動(dòng)態(tài)階數(shù).式(9)表示的動(dòng)態(tài)模型的輸入向量由于包含了歷史時(shí)刻的輸入輸出，實(shí)際上隱含了作動(dòng)器從一個(gè)狀態(tài)到達(dá)另一個(gè)狀態(tài)的過程信息，因而可以唯一地確定當(dāng)前時(shí)刻的輸出.

Hammerstein-like模型線性部分L可以寫為

其中，A(z)與 B(z)為滯后算子 z－1的多項(xiàng)式，z－1y(t)=y(t－1):

其中，q和p分別為多項(xiàng)式A(z)和B(z)的階數(shù).而q和p的值是基于一種實(shí)用的判定模型階次的AIC(Akaike Information Criterion)準(zhǔn)則確定的.

應(yīng)用以上模型參數(shù)辨識(shí)方法，可以得到整個(gè)Hammerstein-like模型的幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，σ=632.41，γ=3278612.52，m=4，n=4，p=2，q=2.

式(9)描述的是GMA遲滯曲線的非線性部分，式(10)描述的是曲線的動(dòng)態(tài)頻率變化信息.本文基于LS-SVM應(yīng)用1Hz變幅值單頻輸入信號(hào)的數(shù)據(jù)去建Hammerstein-like模型的前面非線性部分;基于ARX用1 Hz到100 Hz的掃描信號(hào)數(shù)據(jù)去建后面線性動(dòng)態(tài)部分的模型;使用1 Hz到100 Hz的單頻信號(hào)和復(fù)合頻率信號(hào)的遲滯環(huán)去檢驗(yàn)Hammerstein-like模型的建模效果.

實(shí)驗(yàn)中使用的GMA是由北京航空航天大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院研制的［17］.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采樣頻率是10 kHz.每組頻率都取500組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，(xi，yi)，i=1，2，…，500.檢驗(yàn)效果可以通過均方根誤差(RMSE，Root Mean Square Error)和相對(duì)誤差(RE，Relative Error)進(jìn)行評(píng)價(jià)，定義為

其中，N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù);yi為實(shí)驗(yàn)采集的GMA的實(shí)際輸出;y'i為模型計(jì)算的輸出.圖3中給出了兩組單頻和復(fù)合頻率的實(shí)驗(yàn)采集的遲滯環(huán)和通過Hammerstein-like模型計(jì)算出的遲滯環(huán)的對(duì)比情況.表1給出了Hammerstein-like模型在不同輸入信號(hào)頻率下建模的均方根誤差和相對(duì)誤差.

圖3 Hammerstein-like建模結(jié)果與實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)對(duì)比

表1 Hammerstein-like建模誤差

通過圖3和表1看出，所建Hammerstein-like模型不僅對(duì)單頻遲滯環(huán)的檢驗(yàn)效果好，而且還能夠適用于復(fù)合頻率的遲滯環(huán).此種建模方法只需要建立一個(gè)頻率的遲滯非線性模型，即基于LSSVM所建立的1 Hz遲滯非線性模型，而率相關(guān)性是通過Hammerstein-like模型后面的線性部分來實(shí)現(xiàn).這種建模方法為一定頻率范圍的遲滯環(huán)建模提供了一種新的思路.

2 跟蹤控制

2.1 控制器設(shè)計(jì)

為了提高跟蹤控制精度，文中采用了前饋逆補(bǔ)償與PID(Proportional-Integral-Derivative)反饋控制相結(jié)合的二自由度控制策略(圖4)，這樣既可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性又可以提高對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤性能.

圖4 跟蹤控制框圖

在所建的Hammerstein-like模型中，有

因?yàn)長(zhǎng)為嚴(yán)格正則的，故不能直接求逆，取一個(gè)近似逆:

Hammerstein-like模型中的非線性部分是基于式(9)建立的，要求取它的逆模型，首先要考慮它的可逆性.對(duì)于式(9)所示的非線性系統(tǒng)，若存在一個(gè) Rm+n+1的子集 A，當(dāng)［x(k－1)，…，x(k－m);y(k)…，y(k－n)］T∈A時(shí)，如果對(duì)于任意兩個(gè)不同輸入x1(k)和x2(k)，都有

成立，則系統(tǒng)在［x(k－1)，…，x(k－m);y(k)，…，y(k－n)］T處是可逆的［18］.從遲滯環(huán)曲線中很明顯看出，可逆性的條件是成立的，所以可建立非線性部分的逆模型為

本文所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)單頻和復(fù)合頻率輸入信號(hào)具有通用性.

2.2 跟蹤控制實(shí)驗(yàn)

圖5中給出了做控制實(shí)驗(yàn)時(shí)的設(shè)備圖.其中，GMA的外形規(guī)格為φ50 mm×200 mm，GF-20型功率放大器用來為GMA提供放大能源，控制程序下載于dSPACE(DS1103)控制卡中，并同時(shí)實(shí)現(xiàn)輸入輸出信號(hào)的采集功能，GMA的輸出位移由電渦流傳感器測(cè)出的.

圖5 實(shí)驗(yàn)設(shè)備圖

在實(shí)驗(yàn)過程中有兩點(diǎn)需要注意:①由于GMA的輸出受到功放的限制，所以導(dǎo)致輸入?yún)⒖夹盘?hào)的幅值也有限制，而這個(gè)限制范圍就需要在建模時(shí)測(cè)出;②所設(shè)計(jì)的控制器的PID反饋部分的參數(shù)是通過仿真先獲得的，然后再把仿真所得到的PID控制器參數(shù)應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)中.

圖6 實(shí)時(shí)跟蹤控制結(jié)果

圖6中給出了兩組單頻和復(fù)合頻率的跟蹤效果對(duì)比圖.跟蹤控制的采樣頻率和建模采樣頻率是一致的.表2詳細(xì)地給出了多種頻率輸入信號(hào)跟蹤控制的均方根誤差和相對(duì)誤差.

表2 跟蹤控制誤差

從圖6和表2的數(shù)據(jù)可以看出，所涉及的復(fù)合控制器的控制效果是很好的，控制器對(duì)單頻和復(fù)合頻率的輸入信號(hào)均有效，保證了相對(duì)誤差都在12%以內(nèi)，達(dá)到了工程上的要求.

3 結(jié)論

本文針對(duì)具有率相關(guān)遲滯非線性的GMA建立了一定頻率范圍內(nèi)的統(tǒng)一模型，并基于此模型設(shè)計(jì)了跟蹤控制器，模型和控制器對(duì)單頻和復(fù)合頻率的輸入信號(hào)都具有適用性，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所建模型和所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

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