蔣致遠(yuǎn)，張順明 ，李江峰

（1.廈門大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，福建 廈門 361005；2.中國人民大學(xué) 財經(jīng)學(xué)院，北京 100083；3.桂林電子科技大學(xué) 統(tǒng)計系，廣西 桂林 541004）

0 引言

債券中經(jīng)常會包含一種或數(shù)種內(nèi)嵌期權(quán)（Embedded Options），當(dāng)債券中包含的期權(quán)和債券無法分割時，稱為“內(nèi)嵌期權(quán)”?？商崆摆H回債券（Callable Bonds）就是屬于這種類型，這種債券允許發(fā)行人根據(jù)一組預(yù)先設(shè)定的贖回價格（Callable Price）來贖回債券，即內(nèi)嵌了一個贖回權(quán)?？苫厥蹅≒utable Bonds）也是如此，這種債券允許投資者根據(jù)一組預(yù)先設(shè)定的回售價格（Putable Price）把債券回售給發(fā)行人。

本文對付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價分析。利用對沖的方法建立其定價模型，并利用反應(yīng)擴(kuò)散方程導(dǎo)出其定價解析式。然后在此基礎(chǔ)上，本文得到了另外兩種常見的債券——零息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券以及付息的可贖回可轉(zhuǎn)換債券定價模型及其解析式。最后，本文對付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券的理論價值關(guān)于各參數(shù)進(jìn)行了彈性分析。

1 可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券分析

1.1 標(biāo)準(zhǔn)的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券分析

在實際的轉(zhuǎn)債市場中，有多種多樣的轉(zhuǎn)債，本文選擇較為復(fù)雜的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換的債券為研究對象，鑒于不同具體的條款對價值組成分析不一樣，本文采用比較標(biāo)準(zhǔn)的條款，具體為：（D1）回售條款：在其存續(xù)期內(nèi)，只有當(dāng)標(biāo)的股價下跌到預(yù)先設(shè)定的回售觸發(fā)價格以下時，債券持有者才有權(quán)按照預(yù)先約定的回售價格執(zhí)行回售權(quán)，回售價格恒定。（D2）贖回條款：在其存續(xù)期內(nèi)，只有當(dāng)標(biāo)的股價上漲到預(yù)先設(shè)定的贖回觸發(fā)價格以上時，債券發(fā)行者才有權(quán)按照預(yù)先約定的贖回價格執(zhí)行贖回權(quán)，贖回價格恒定，無贖回通知期。（D3）轉(zhuǎn)換條款：在其存續(xù)期內(nèi)，持有者有權(quán)在任意時刻按照預(yù)先設(shè)定的轉(zhuǎn)換價格執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán)，轉(zhuǎn)換價格恒定。（D4）債息條款：①發(fā)行者需要定期向持有者按票面利率支付利息；②若持有者執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán)，那么他將不再獲得當(dāng)時的累計債息（螺絲條款Screw Clause）。（D5）沒有鎖定、重置條款以及其他非標(biāo)準(zhǔn)化條款。

1.2 可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券投資分析

可贖回債券給予發(fā)行人以事先規(guī)定的價格提前買回債券的權(quán)力，這種情況一般出現(xiàn)在利率下降、債券價格上升的時候。由此可知，發(fā)行人持有的贖回權(quán)是一個在標(biāo)的價格上升的時候購買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)力，所以它是一個看漲期權(quán)。在發(fā)行人持有贖回權(quán)的情況下，會限制投資者因為債券價格上漲而獲得的利潤。在可贖回債券與對應(yīng)的普通債券之間，存在一種重要的關(guān)系。所謂“對應(yīng)”是指除了贖回條款之外，兩種債券的其他性質(zhì)完全相同。即發(fā)行人持有期權(quán)的多頭，投資者持有期權(quán)的空頭。可回售債券則給予投資人以事先規(guī)定的價格將債券提前賣還給發(fā)行人的權(quán)力，這種情況一般出現(xiàn)在利率上升、債券價格下降的時候。由此可知，投資者持有的回售權(quán)是一個在標(biāo)的價格下跌的時候出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)力，所以它是一個看跌期權(quán)。在存在回售條款的情況下，投資者人有權(quán)根據(jù)設(shè)定的價格出售債券，這將限制投資者因為利率上升而遭受的損失。此時在可回售債券與對應(yīng)的普通債券之間，也存在一種重要的關(guān)系。即發(fā)行人持有期權(quán)的空頭，投資者持有期權(quán)的多頭。

由于可轉(zhuǎn)債的債和權(quán)益的雙重性。對于投資者而言，首先通常債券支付的當(dāng)期利率一般高于股票的紅利率，因此與普通股相比有更高的收益；其次由于存在債券的特性，可轉(zhuǎn)換債券持有者的權(quán)益會明顯高于普通股的投資者，在股價下降到回售觸發(fā)價時，可以回售來保護(hù)投資者，即使在破產(chǎn)時，持有者的本金也會優(yōu)先得到支付，因而此類可轉(zhuǎn)換債券在享受企業(yè)業(yè)績成長帶來的收益是的同時還提供了經(jīng)濟(jì)形勢不好時的利益保護(hù)。對于發(fā)行公司而言，可轉(zhuǎn)換債券除了能以較普通債券較低的利率融資外，在二級市場和企業(yè)狀況不佳時，可以避免大量轉(zhuǎn)股造成的公司每股業(yè)績的稀疏，進(jìn)而引發(fā)的二級市場股票價格的大幅下跌，而利率在股票價格上揚(yáng)觸發(fā)贖回機(jī)制時，可以贖回轉(zhuǎn)債，保護(hù)公司利益。在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，參照Ingersoll(1997)，根據(jù)無套利機(jī)會原則可知，投資者最優(yōu)策略為：在到期之前的每一個時刻點，不會主動執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán)，除非發(fā)行者宣告執(zhí)行贖回權(quán)或到期時轉(zhuǎn)換價值大于債券的剩余價值，而當(dāng)標(biāo)的股票下跌到觸發(fā)回售價時，投資立刻回售；對于發(fā)行者而言，在剩余存續(xù)期內(nèi)只要標(biāo)的股票價格上漲到贖回觸發(fā)價，發(fā)行者立刻宣告執(zhí)行贖回權(quán)。另外值得注意的是由于轉(zhuǎn)債的權(quán)益性，其票面利率一般要低于相應(yīng)的普通債券的票面利率。

2 付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券定價分析

2.1 理論假設(shè)

考察一份上述可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券。以M,K1,K2,K3,P1,P2,T,r,rf,St分別表示其面值、回售觸發(fā)價格、贖回觸發(fā)價格、轉(zhuǎn)換價格、回售價、贖回價、剩余期限、票面利率、無風(fēng)險利率和t時期標(biāo)的股票的價格，顯然有關(guān)系式：K1＜K2＜K3，P1＜P2。為簡潔起見，不妨令M=1，當(dāng)前時刻為零時刻，并以S0,ST表示標(biāo)的在當(dāng)前和到期時刻的價格。V(S,t,r),B(S,t,r)分別表示可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券和對應(yīng)的普通債券的當(dāng)前理論價值。

基本假設(shè)：

（A1）資本市場市場無摩擦；存在連續(xù)無風(fēng)險利率rf，期限結(jié)構(gòu)是水平的不存在無風(fēng)險套利機(jī)會股價服從幾何布朗運(yùn)動：

其中Wt表示定義在完備概率空間的標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，μ,σ分別表示瞬時期望收益率和瞬時波動率。

由于本文將涉及到Black-Sholes期權(quán)模型框架，定價模型基于單因子無套利模型，在利率取值合理范圍內(nèi)，與多因子模型定價差異很小，也可以吻合本文無風(fēng)險利率期限結(jié)構(gòu)是水平的假設(shè)。

（A2）發(fā)行者和持有者都是理性的，而且總是偏好更多的財富；同時都具有對稱市場理性，也即都能理性的預(yù)期到對方的最優(yōu)決策。

（A3）潛在的稀疏效應(yīng)（dilution effect）已經(jīng)反映到當(dāng)前的標(biāo)的股價之中；也即當(dāng)持有者執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán)，不會導(dǎo)致標(biāo)的股價出現(xiàn)驟然下跌。

2.2 建立模型

為定價分析方便，用V表示該債券的內(nèi)在價值，構(gòu)造投資組合Π：購買一份可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券，同時賣出Δ份標(biāo)的股票。那么：

并適當(dāng)選取Δ，使得投資組合Π在時間段(t,t+dt)是無風(fēng)險的，投資組合Π的回報率為：

進(jìn)而有：

dVt=[rf(Vt-ΔSt)+μΔSt]dt+σΔStdWt另一方面，由Ito公式可得：

結(jié)合上述兩式，在風(fēng)險中性世界可得dWt前面的系數(shù)必須為零，從而從而可得可轉(zhuǎn)換債券的價值V滿足的擴(kuò)散方程為

由于可轉(zhuǎn)債的價值有強(qiáng)烈的路徑依賴性，那么針對各個條款所對應(yīng)的是方程的邊界條件：

（1）當(dāng)在 (0,T)任意時刻t(tn≤t＜tn+1)，n=0,1,2,…,N,tN=T,t0=0，標(biāo)的股價上漲到贖回觸發(fā)價K3時（其中tn為第n個利息支付日），發(fā)行者將立即宣布贖回，從而導(dǎo)致投資者行使轉(zhuǎn)換權(quán)并套現(xiàn)，于是得邊界條件：

（2）當(dāng)在 (0,T)任意時刻t(tn≤t＜tn+1)，標(biāo)的股價下跌到觸發(fā)價K1時，投資者立即回售，于是得到邊界條件：

（3）到期日t=T，當(dāng)可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價值大于債券的剩余價值時投資者就轉(zhuǎn)換，否則不轉(zhuǎn)換，于是得到邊界條件：

其中K*3=K2(1+r)，于是可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券的價值應(yīng)滿足反應(yīng)擴(kuò)散方程定解模型：

2.3 模型求解

對方程（2）作變量代換x=ln(S/K1),u=K1V，再作函數(shù)變換u=eαx+β(T-t)w，其中，在此變換下，可得到w適合的定解問題：

這是一個混合熱傳導(dǎo)方程，為便于求解，需要先將邊值化為零，為此令其中，于是通過對初始條件和f(x,t)作奇延拓，方程（3）的解為：

再把上述的變換都替代回來，可得：

其中

定理1若標(biāo)的股票服從幾何布朗運(yùn)動，在債券上述條款下，則付息可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券在當(dāng)前0時刻的理論價值為(4)式。

3 付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券定價模型衍化

3.1 零息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券定價分析

如果可轉(zhuǎn)債是零息債券，只要修改模型中的初邊值條件。

（1）當(dāng)在(0,T)任意時刻標(biāo)的股價上漲到贖回觸發(fā)價K3時,發(fā)行者立即宣布贖回，從而導(dǎo)致投資者行使轉(zhuǎn)換權(quán)并套現(xiàn)，于是得邊條件：

（2）當(dāng)在(0,T)任意時刻標(biāo)的股價下跌到觸發(fā)價K1時，投資者立即回售，邊界條件：

V(K1,t)=p1

中國石油和化學(xué)工業(yè)聯(lián)合會副秘書長龐廣廉在會上作了題為貿(mào)易摩擦下的石化行業(yè)國際產(chǎn)能合作及國際合作創(chuàng)新的演講，約30家出口基地成員出席授牌儀式和培訓(xùn)。

（3）到期日t=T，當(dāng)轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換價值大于債券的剩余價值時投資者就轉(zhuǎn)換，否則不轉(zhuǎn)換，于是得到邊界條件：

從而滿足的系統(tǒng)為：

于是可求出其解為：

其中

推論1若標(biāo)的股票服從幾何布朗運(yùn)動，在債券上述條款下，零息可贖回可回售轉(zhuǎn)債的理論價值為（6）式。

3.2 付息的可贖回可轉(zhuǎn)換債券定價分析

若上述轉(zhuǎn)債沒有可回售條款的付息債券，那么沿用前面的記法和分析，可以導(dǎo)出付息可贖回可轉(zhuǎn)換債券的定價模型為：

類似的方法可以得到轉(zhuǎn)債的理論價值的解析式：

其中

定理2若標(biāo)的股票服從幾何布朗運(yùn)動，在債券上述條款下，付息可贖回可轉(zhuǎn)換債券在當(dāng)前時刻0的理論價值為（7）式。

4 彈性系數(shù)分析

值得注意的是，付息可回售可贖回的轉(zhuǎn)債的理論價值關(guān)于參數(shù)理論價值對各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的符號為：

從經(jīng)濟(jì)意義上說明：轉(zhuǎn)債券的理論價值在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)換率越高其理論價值越高，從而定價越高；而同時對贖回觸發(fā)機(jī)制而言，贖回觸發(fā)價越高，轉(zhuǎn)債的理論價值越高；對于標(biāo)的股價而言在其他條件一樣時，當(dāng)前股價越低，轉(zhuǎn)債的理論價值越高，這就有異于普通債券和普通股票的理論定價分析了；對于轉(zhuǎn)債的票面利率來說，票面利率越高，轉(zhuǎn)債的理論價值越高；無風(fēng)險利率越高，轉(zhuǎn)債的價值越低；而回售價越低，轉(zhuǎn)債的價值越低；轉(zhuǎn)債關(guān)于標(biāo)的股票的年波動率的變化趨勢關(guān)系不明晰，或者說不一定。

對于付息可贖回轉(zhuǎn)債而言，

從經(jīng)濟(jì)意義上說明：付息可贖回可轉(zhuǎn)換債券的理論價值在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)換率越高其理論價值越高，從而定價越高；而同時對贖回觸發(fā)機(jī)制而言，贖回觸發(fā)價越高，轉(zhuǎn)債的理論價值越高；對于標(biāo)的股價而言在其他條件一樣時，當(dāng)前股價越低，轉(zhuǎn)債的理論價值越高，這就有異于普通債券和普通股票的理論定價分析了；對于轉(zhuǎn)債的票面利率來說，票面利率越高，轉(zhuǎn)債的理論價值越高；無風(fēng)險利率越高，轉(zhuǎn)債的價值越低；轉(zhuǎn)債關(guān)于標(biāo)的股票的年波動率的變化趨勢關(guān)系不明晰，或者說不一定。

由前述的最優(yōu)策略分析發(fā)現(xiàn)，在贖回價處于合理的范圍之內(nèi)，不會對轉(zhuǎn)債有影響，因為在贖回觸發(fā)時，投資者就會行權(quán)轉(zhuǎn)換，從理性的角度來說，債券不可能把贖回價設(shè)置為對投資者而言贖回價值高于轉(zhuǎn)換價值之處。

5 結(jié)論

本文利用對沖的方法對付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)債券進(jìn)行了定價分析。首先，對付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)債券的進(jìn)行投資分析；然后，在合理理論假設(shè)的基礎(chǔ)上，本文建立了付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)債券的理論模型，并求解得到其解析式；在此基礎(chǔ)上，本文根據(jù)類似的方法，對另外兩種常見的可轉(zhuǎn)債——零息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券和付息的可贖回可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行了定價分析；最后，本文對付息的可回售可贖回可轉(zhuǎn)換債券的理論價值關(guān)于各參數(shù)進(jìn)行了彈性分析。分析結(jié)果表明：可回售可贖回的轉(zhuǎn)債可以拆解為普通轉(zhuǎn)債、以贖回價為執(zhí)行價格的上升敲入看漲期權(quán)和以回售價為執(zhí)行價格的下降敲入看跌期權(quán)的組合；而付息可贖回轉(zhuǎn)債可拆解為普通轉(zhuǎn)債和以贖回價為執(zhí)行價格的上升敲入看漲期權(quán)的組合。

[1]Kimura T,Shinohara T.Monte Carlo Analysis of Convertible Bonds with Reset Clauses[J].European Joural of Operational Research,2006,168.

[2]Broadie M,Detemple J.American Capped Call Options on Divi?dend-Paying Assets[J].The Review of Financial Studies,1995,8(1).

[3]Jonathan E,Ingersoll Jr.A Continent Claim Valuation of Convertible Securities[J].Journal of Financal Economics,1977,4.

[4]Yagi K,Sawaki.The Valuation and Optimal Strategies of Callable Con?vertible Bonds[C].Technical Report of the Nanzan Academic Society of Mathematical Science and Information Engineering,2004.

[5]鄭曉陽，官暢.隨機(jī)參數(shù)股價波動源模型下可贖回可轉(zhuǎn)債定價[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2011,(1).

[6]周其源，吳沖鋒，陳湘鵬.付息可贖回可轉(zhuǎn)換債券定價解析式：完全拆分法[J].中國管理科學(xué),2007,15（2）.