徐曉嶺，王蓉華，應(yīng)晶晶，顧蓓青

(1.上海對(duì)外貿(mào)易學(xué)院商務(wù)信息學(xué)院，上海 201620；2.上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

1 幾何分布冷貯備系統(tǒng)產(chǎn)品簡(jiǎn)介

設(shè)冷貯備系統(tǒng)產(chǎn)品由2個(gè)單元組成，產(chǎn)品在初始時(shí)刻，一個(gè)單元開始工作，另一個(gè)單元作冷貯備。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)單元失效時(shí)，貯備單元去替換，直到貯備單元失效時(shí)，產(chǎn)品就失效。所謂冷貯備是指貯備單元不失效也不劣化，貯備期的長(zhǎng)短對(duì)以后使用時(shí)的工作壽命沒有影響。此系統(tǒng)可以用圖1來表示。

圖1 冷貯備系統(tǒng)產(chǎn)品示意圖

在工程上，許多單元的壽命分布可用離散型分布來描述，譬如一些開關(guān)、插件以及以成功次數(shù)作為評(píng)價(jià)使用壽命的單元等，其壽命就可以用離散壽命分布中的幾何分布來描述。由于幾何分布無記憶性，使得它是離散壽命分布類中最為重要的，幾何分布已廣泛應(yīng)用于信息工程、電子工程、控制論以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。

設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1-q的幾何分布，X～G(1-q)，即X的概率分布為：

其中0＜q＜1,p=1-q

2 幾何分布冷貯備系統(tǒng)產(chǎn)品壽命分布及數(shù)字特征

設(shè)冷貯備系統(tǒng)產(chǎn)品由兩個(gè)單元構(gòu)成，假定產(chǎn)品的兩個(gè)單元的壽命Y1,Y2同服從參數(shù)為q1的幾何分布，Yi～G(1-q1)，i=1,2，開關(guān)壽命Yk服從參數(shù)為q2的幾何分布，Yk～G(1-q2)，且Y1,Y2,Yk相互獨(dú)立。

在初始時(shí)刻單元1進(jìn)入工作狀態(tài)，單元2工作冷貯備，當(dāng)單元1失效時(shí)，需要使用轉(zhuǎn)換開關(guān)，若此時(shí)開關(guān)已經(jīng)失效則產(chǎn)品失效。即產(chǎn)品的壽命就是單元1的壽命Y1；當(dāng)單元1失效時(shí)，若轉(zhuǎn)換開關(guān)正常則單元2替換單元1進(jìn)入狀態(tài)，直到單元2失效，產(chǎn)品就失效，此時(shí)產(chǎn)品的壽命是Y1+Y2，于是，產(chǎn)品的壽命X為：

對(duì)k≥1，X的分布律為：

對(duì)k≥1，X的可靠度函數(shù)為：

進(jìn)而，X的均值、二階矩及方差分別為：

特別地，當(dāng)q1=q2=q時(shí)，

3 幾何分布冷貯備系統(tǒng)產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)分析

3.1 參數(shù)的矩估計(jì)

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本觀察值記為：x1,x2,…,xn.由矩估計(jì)思想可列如下方程：

從中可解得參數(shù)的矩估計(jì)。

化簡(jiǎn)可得方程：

從中可解得參數(shù)q的矩估計(jì)

3.2 參數(shù)的極大似然估計(jì)

特別地，當(dāng)q1=q2=q時(shí)，

從中可解得參數(shù)的極大似然估計(jì)q?。

考察上述方程在q∈(0,1)上解的情況：給定q的真值為0.8，樣本容量為20，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生一組樣本，從而給出函數(shù)f(q)的圖像如下：

圖2 函數(shù)f(q)的圖像

3.3 參數(shù)估計(jì)的模擬比較

為比較上述點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)劣，采用Monte-Carlo模擬的方法。先固定樣本容量n=10(10)40，給定參數(shù)p的真值，q1=q2=0.5(0.1)0.9，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生樣本容量為n的一個(gè)隨機(jī)樣本，在全樣本情況下參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，如此重復(fù)1000次計(jì)算點(diǎn)估計(jì)的均值和均方差，模擬結(jié)果列于表1，從中可以看出：（1）對(duì)固定的q，q的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的均方差隨n的增大而減??；（2）比較矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的均方差，可得隨樣本容量的增大，極大似然估計(jì)較矩估計(jì)相對(duì)較小，均值也比較接近真值。因此可以認(rèn)為：極大似然估計(jì)優(yōu)于矩估計(jì)。

表1 矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的模擬結(jié)果

例1：取參數(shù)真值為q=0.8，樣本容量為n=30，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生30個(gè)隨機(jī)數(shù)如下：9，1，8，7，3，7，7，3，10，3，10，5，1，1，5，10，4，39，6，10，17，4，13，2，10，9，8，11，6，9，利用本文方法可得參數(shù)q的矩估計(jì)為：q?1=0.8173；極大似然估計(jì)為：=0.8162.

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