謝振中

（邵陽學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南邵陽 422000）

0 引言

單指數(shù)模型是著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家威廉.夏普于1963年提出的投資組合模型[1]，有關(guān)該投資組合模型的傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)研究和應(yīng)用取得了很多研究成果，許多國(guó)內(nèi)學(xué)者將國(guó)外已有的研究成果應(yīng)用于國(guó)內(nèi)市場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證分析，力求對(duì)最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇起到指導(dǎo)作用[2][3]。作為投資組合理論中經(jīng)典的投資組合模型，它是以證券收益率歷史數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)來度量它們的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)的。在現(xiàn)實(shí)中，歷史收益率數(shù)據(jù)中往往存在著一些因重大利好或重大利空消息導(dǎo)致的超高或超低收益率，所以當(dāng)我們用證券的收益率歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)它們的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建的投資組合在長(zhǎng)期中就會(huì)偏離其實(shí)際的投資價(jià)值，從而影響到投資組合的決策。具體來說，單指數(shù)投資組合模型在進(jìn)行回歸分析時(shí)，經(jīng)典普通的最小二乘法通過極小化殘差平方和求得各個(gè)回歸系數(shù)對(duì)殘差的大小非常敏感，而離群值的存在將直接導(dǎo)致回歸殘差的異常，進(jìn)而會(huì)影響到回歸系數(shù)的估計(jì)結(jié)果，并最終影響投資組合的選擇。為了得到單指數(shù)模型中長(zhǎng)期穩(wěn)定的關(guān)系結(jié)構(gòu)，本文將Huber的穩(wěn)健回歸方法[4]應(yīng)用到該投資組合模型，作為對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法的一種補(bǔ)充，并結(jié)合我國(guó)證券市場(chǎng)的特點(diǎn)，對(duì)A股市場(chǎng)進(jìn)行了實(shí)證分析，降低了收益率歷史數(shù)據(jù)中離群值等非正常因素對(duì)投資組合決策的影響，得到了證券投資組合的有效前沿。

1 單指數(shù)模型

考察一個(gè)含有n種資產(chǎn)的投資組合

將它的收益率記為Rp，第i種資產(chǎn)的收益率記為Ri，xi表示投資第i種資產(chǎn)所占總投資的比例，收益率Ri是一個(gè)隨機(jī)變量，它的期望收益率記作ui，σij表示資產(chǎn)i與資產(chǎn)j收益率的協(xié)方差，那么有

相應(yīng)地投資組合P的預(yù)期收益率up和方差σ2p就分別表示為

其中u為期望收益率向量，X為權(quán)重向量，∑為各資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣。

威廉.夏普認(rèn)為，當(dāng)市場(chǎng)股價(jià)指數(shù)上升時(shí)，市場(chǎng)中大量的股票價(jià)格隨之走高；相反當(dāng)市場(chǎng)指數(shù)下滑時(shí)，大量股票價(jià)格也趨于下跌。雖然某些股票較其它股票上升或下跌的幅度要大些，但總地來說都呈現(xiàn)同一趨勢(shì)的變動(dòng)。基于這一理論假設(shè)，任意證券的收益率與該證券所在市場(chǎng)的某種具有代表性的指數(shù)呈線性關(guān)系，即

這就是夏普單指數(shù)模型，其中Rm表示證券市場(chǎng)指數(shù)收益率，為一隨機(jī)變量，αi表示證券收益率中獨(dú)立于證券市場(chǎng)指數(shù)的部分，βi表示反映Rm的變化對(duì)Ri的影響，ei表示誤差項(xiàng)，均值為零，即E(ei)=0分別記市場(chǎng)指數(shù)收益率Rm和誤差項(xiàng)ei的標(biāo) 準(zhǔn)差σm,σei，則由基本假設(shè)有cov(ei,ej)=0，說明股票同時(shí)系統(tǒng)變動(dòng)的主要原因是隨市場(chǎng)共同變動(dòng)，不受市場(chǎng)之外的其它原因影響而協(xié)同變動(dòng)，這是單指數(shù)模型的核心假設(shè)。另外我們還能得到cov(ei,Rm)=0，這說明殘差是證券實(shí)際收益率與預(yù)期收益率的差額，是獨(dú)立于市場(chǎng)指數(shù)的隨機(jī)變量，與整個(gè)市場(chǎng)的運(yùn)行狀況無關(guān)。根據(jù)這些假設(shè)條件可推導(dǎo)出單指數(shù)模型下證券的期望收益、方差和協(xié)方差。證券的期望收益為E(Ri)=E(αi)+βiE(Rm)，方差為協(xié)方差為將證券的期望收益、方差和協(xié)方差代入（1）

式，得到投資組合的期望收益和方差：

這樣，單指數(shù)模型（2）的投資組合問題可以通過下述規(guī)劃模型（3）求解：

其中X為權(quán)重向量，r為投資組合P的預(yù)期收益率。并且有

規(guī)劃模型（3）的經(jīng)濟(jì)意義是在市場(chǎng)存在賣空限制條件下，投資者通過一次性滿倉操作，使得所構(gòu)建的投資組合確保收益達(dá)到或超過投資者的預(yù)期時(shí)，所面臨的風(fēng)險(xiǎn)最小。如果一個(gè)投資組合能在保證一定收益下追求風(fēng)險(xiǎn)的最小化，那么該投資組合被認(rèn)為是有效的，一個(gè)理性的投資者會(huì)在投資組合的有效前沿上構(gòu)建投資組合。

2 穩(wěn)健回歸M估計(jì)

傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法對(duì)所研究問題的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布的假定有較強(qiáng)的依賴性，當(dāng)真正的數(shù)據(jù)并不是或并不完全是服從正態(tài)分布時(shí)，如果還按照傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法來描述我們所研究的問題，就必定會(huì)產(chǎn)生偏差，甚至有時(shí)這種偏差非常大。研究者對(duì)很多數(shù)據(jù)分布形態(tài)的研究表明，正態(tài)分布只是一種理論上的分布，實(shí)際數(shù)據(jù)的分布形式偏離正態(tài)分布的假定是經(jīng)常和普遍的，而這種偏離可能會(huì)對(duì)傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法的穩(wěn)健性產(chǎn)生致命的影響，甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤的結(jié)論，減輕或是避免這種情況的發(fā)生就要用到穩(wěn)健的統(tǒng)計(jì)方法。

在建立單指數(shù)模型時(shí)，如果誤差項(xiàng)不服從正態(tài)分布，最小二乘法估計(jì)的結(jié)果就會(huì)嚴(yán)重脫離事實(shí)，估計(jì)的精度也很差，而當(dāng)樣本數(shù)據(jù)含有離群值數(shù)據(jù)時(shí)，OLS估計(jì)（即普通最小二乘法估計(jì)）出的殘差就不會(huì)是正態(tài)分布，而往往是偏尾的，其修補(bǔ)的措施并不應(yīng)該是草率地剔除掉，因?yàn)檫@些離群值數(shù)據(jù)并不是任何執(zhí)行錯(cuò)誤所致，而是固有的數(shù)據(jù)變異性的結(jié)果，簡(jiǎn)單地剔除它們，會(huì)導(dǎo)致重要的隱藏信息的丟失。當(dāng)然在回歸分析中也不應(yīng)該與正常數(shù)據(jù)一樣對(duì)待，它們出現(xiàn)的概率或頻率畢竟很小，合理的做法是采用穩(wěn)健回歸，以消除OLS估計(jì)對(duì)異常數(shù)據(jù)的易受影響性，去穩(wěn)健估計(jì)回歸模型中的參數(shù)。

最常見的穩(wěn)健回歸方法是由Huber在1964年提出的M估計(jì)，對(duì)于線性模型：

對(duì)應(yīng)的樣本模型為：

當(dāng)ρ(ei)=e2i時(shí)，則M估計(jì)就是OLS估計(jì)，即M估計(jì)可以看成是OLS估計(jì)的擴(kuò)展。

記ψ=ρ′為函數(shù)ρ(t)的導(dǎo)數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)對(duì)參數(shù)β求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，就會(huì)得到關(guān)于參數(shù)的k個(gè)方程：

定義權(quán)重函數(shù)w(e)=ψ(e)/e，記wi=w(ei)，這時(shí)上述方程可以寫為：

(1)選擇初始估計(jì)值β(0)，例如將LS估計(jì)的結(jié)果作為初始值；

(2)按此初始值進(jìn)行迭代，在迭代的第t步，都計(jì)算一下上次迭代的殘差和相應(yīng)的權(quán)重

(4)重復(fù)第2步和第3步，直到估計(jì)的參數(shù)趨于一致，迭代結(jié)束。

選擇適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)ρ和權(quán)重函數(shù)w(e)，讓導(dǎo)致殘差異常的離群值點(diǎn)的權(quán)重變小，殘差小的樣本數(shù)據(jù)權(quán)重增大，從而減少離群值點(diǎn)對(duì)回歸分析的影響，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健回歸的目的。

穩(wěn)健回歸主要有Huber估計(jì)和Bisquare估計(jì)兩種方法，本文選擇Huber估計(jì)方法進(jìn)行實(shí)證分析，其目標(biāo)函數(shù)和權(quán)重函數(shù)如表1：

表1

在Huber估計(jì)中，k稱為閥值，k值越小，消弱離群值的影響范圍越廣，離群值的權(quán)重越小，這種穩(wěn)健估計(jì)量都對(duì)服從正態(tài)分布的誤差影響小，對(duì)不服從正態(tài)分布的誤差影響大。當(dāng)k值確定以后，估計(jì)的殘差越大，它的權(quán)重就越小，適當(dāng)?shù)倪x擇k值，就能保證對(duì)離群值影響的處理，例如，在Huber估計(jì)中k=1.345。通過比較可以看出，最小二乘法對(duì)所有樣本的權(quán)重都是1；Huber估計(jì)對(duì)殘差接近0的樣本權(quán)重是1，殘差絕對(duì)值大于k值的樣本，離k值越遠(yuǎn)，權(quán)重越小。它們的權(quán)重函數(shù)圖像如圖1所示：

圖1 權(quán)重函數(shù)圖像的比較

3 穩(wěn)健投資組合的實(shí)證分析

3.1 穩(wěn)健投資組合的提出

單指數(shù)模型在求解過程中需要進(jìn)行回歸分析，而經(jīng)典普通的最小二乘法回歸時(shí)通過極小化殘差平方和求得各個(gè)回歸系數(shù)，而這個(gè)過程本身就使得回歸系數(shù)的大小對(duì)殘差的大小非常敏感，而離群值的存在將直接導(dǎo)致回歸殘差的異常，進(jìn)而會(huì)影響到回歸系數(shù)的估計(jì)結(jié)果，并最終影響投資組合的選擇。因此必須將穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)的思想和方法融入到該投資組合模型中，利用穩(wěn)健回歸的方法進(jìn)行穩(wěn)健回歸分析[5]，根據(jù)歷史收益率數(shù)據(jù)來估計(jì)模型中參數(shù)αi、βi和σei的值，并在此基礎(chǔ)上求解投資組合規(guī)劃模型。

3.2 樣本股票和樣本區(qū)間的選取

3.2.1 樣本股票的選取

在選取樣本股票時(shí)，為了使樣本股票具有代表性，盡量從不同行業(yè)和不同地區(qū)進(jìn)行選取。相對(duì)于大盤股而言，小盤股更容易受政策消息面等因素的影響，從而使股價(jià)在短期內(nèi)呈現(xiàn)大起大落的態(tài)勢(shì)，具體表現(xiàn)為收益率序列中存在一些異常數(shù)據(jù)。從長(zhǎng)期來看，在一定程度上會(huì)對(duì)投資者投資組合的選擇產(chǎn)生誤導(dǎo)。基于以上考慮，從滬市中小盤板塊中選取10只股票作為投資組合的研究對(duì)象，詳見表2?？紤]到配股、送紅股等因素對(duì)股票價(jià)格的影響，我們利用大智慧軟件的自動(dòng)復(fù)權(quán)功能，下載這10只股票復(fù)權(quán)后的周收盤價(jià)，計(jì)算出它們的周收益率，得到十只股票的歷史收益率序列（表略）。

表2 樣本股票

3.2.2 樣本區(qū)間的選取

樣本區(qū)間選擇2010年1月1日年至2011年12月31日，之所以把樣本區(qū)間定義兩年，主要考慮到期間人民幣存款利率、存款準(zhǔn)備金等進(jìn)行了多次調(diào)整、通貨膨脹以及國(guó)際局勢(shì)如美債危機(jī)、歐債危機(jī)等因素的影響，使得歷史收益率數(shù)據(jù)中存在一些離群值，利用這期間的歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)參數(shù)并構(gòu)建投資組合模型對(duì)現(xiàn)實(shí)操作具有一定的指導(dǎo)意義。

3.3 實(shí)證檢驗(yàn)及結(jié)果分析

基于以上穩(wěn)健回歸方法，根據(jù)歷史收益率數(shù)據(jù)，估計(jì)出單指數(shù)模型中的參數(shù)，進(jìn)而求解其投資組合模型，得到它的有效前沿，對(duì)比分析OLS、Huber兩種不同估計(jì)方法對(duì)最終結(jié)果的影響。首先以樣本期間中上證綜指周收益率為解釋變量，依次以10只樣本股票的周收益率為被解釋變量，對(duì)單指數(shù)模型中參數(shù)αi、βi分別通過OLS估計(jì)方法和Huber穩(wěn)健估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，并估計(jì)出相應(yīng)的誤差項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)差σei，本步驟必須使用迭代法對(duì)方法求解，其計(jì)算過程通過迭代軟件V1.0實(shí)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果如表3所示：

從表3可以看出，Huber估計(jì)方法得出的σei都要明顯小于OLS方法估計(jì)得出的σei，因而可以認(rèn)為穩(wěn)健回歸方法的擬合效果要明顯好于OLS方法。這是由于穩(wěn)健回歸方法在估計(jì)過程中對(duì)數(shù)據(jù)中離群值賦予較小的權(quán)重，從而減少了離群值對(duì)回歸結(jié)果的影響。

表5 OLS方法得到的協(xié)方差矩陣∑

下面根據(jù)估計(jì)出來的參數(shù)αi、βi和σei的值以及通過上證綜指收益率數(shù)據(jù)計(jì)算出E(Rm)=0.005243和σ2m=0.002325來構(gòu)建投資組合模型中的期望收益率向量u和各資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣∑，相應(yīng)結(jié)果見表4—表6：

表6 Huber方法得到的協(xié)方差矩陣∑

將上述計(jì)算結(jié)果帶入到單指數(shù)投資組合規(guī)劃模型（3）中，通過非線性規(guī)劃求解得到投資組合的有效前沿，其規(guī)劃求解通過Matlab6.5軟件來實(shí)現(xiàn)，見圖2，圖中縱軸表示投資組合的預(yù)期收益率，橫軸表示投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，它衡量著投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。虛線表示用OLS方法估計(jì)得到的投資組合的有效前沿，實(shí)線表示用Huber方法估計(jì)得到的投資組合的有效前沿。

圖2 投資組合有效前沿

從圖2可以發(fā)現(xiàn)，利用Huber方法最終得到的投資組合有效前沿比用OLS方法得到的投資組合有效前沿向左上方移動(dòng)了一定的幅度，這一結(jié)果正好與穩(wěn)健回歸方法中Huber估計(jì)的權(quán)重函數(shù)是一致的，相比較而言，Huber方法的權(quán)重隨殘差ei絕對(duì)值的不斷增加，權(quán)重函數(shù)不斷趨于0，因此，當(dāng)數(shù)據(jù)中存在一些離群值的時(shí)候，Huber方法對(duì)于離群值的修正作用得到了有效的體現(xiàn)，即在相同的預(yù)期收益率下，由Huber穩(wěn)健估計(jì)方法得到的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)要小于傳統(tǒng)OLS統(tǒng)計(jì)方法得到的最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié)論

從實(shí)證分析我們可以看到，將穩(wěn)健回歸方法引入到夏普單指數(shù)投資組合模型，通過穩(wěn)健回歸先估計(jì)出單指數(shù)模型中的參數(shù)αi、βi的值，再構(gòu)建期望收益向量和協(xié)方差矩陣，建立規(guī)劃模型，能從一定程度上降低由于短期行情帶來的超高或超低收益率歷史數(shù)據(jù)等離群值對(duì)投資組合有效前沿帶來的影響，從而使我們構(gòu)建的投資組合在長(zhǎng)期中能體現(xiàn)其真正的投資價(jià)值，達(dá)到預(yù)期收益相同而風(fēng)險(xiǎn)最小的目的，說明穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法與投資組合理論相結(jié)合的可行性，這對(duì)長(zhǎng)期投資者的股票組合投資決策具有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

[1]威廉，夏普.資產(chǎn)組合理論與資本市場(chǎng)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001.

[2]熊和平.投資組合協(xié)方差矩陣的性質(zhì)與最優(yōu)組合的選擇[J].中國(guó)管理科學(xué)，2002,(10).

[3]田兵，陳曉紅.基金投資中的單指數(shù)模型[J].中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001,(4).

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