黃智深，錢海忠，郭 敏，3，劉海龍，王 驍

1.信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州 450052；2.南疆測勤隊，新疆 喀什 844200；3.61175部隊，江蘇 南京 210049

1 引 言

各級應用部門經(jīng)常需要將多源空間數(shù)據(jù)進行集成與融合，增強其共享性，避免數(shù)據(jù)的重復采集，以節(jié)省人力物力。多源空間數(shù)據(jù)之間往往存在差異性［1］，空間數(shù)據(jù)匹配作為空間數(shù)據(jù)更新與融合的關鍵技術之一，越來越受到重視。

城市居民地是空間目標變化中最為活躍的要素之一，也是空間同名實體匹配中復雜性最強、最具挑戰(zhàn)性的內容之一。目前，針對大比例尺城市面狀居民地匹配的研究已有很多，例如基于面狀居民地重疊面積的匹配［2］、基于面實體幾何形狀相似性的匹配［3－4，19］、基于知識的非空間屬性數(shù)據(jù)通過計算屬性項的相似度值而進行的匹配［5］、基于面質心進行粗匹配并結合多種匹配檢驗規(guī)則（如面積、面密度等）進行最終匹配［6］、基于模糊拓撲關系分類的匹配［7］、利用面實體重心距離與重疊面積的基于概率的匹配［8］、利用多級弦長函數(shù)以及中心距離函數(shù)對要素幾何形狀進行多級描述并建立相似性度量模型進行匹配等［18］。居民地多為不規(guī)則圖形，形態(tài)復雜，主要依據(jù)其面積重疊率、大小、方向等進行匹配，不但算法復雜，且描述結果存在許多不確定性；同時，居民地作為大比例尺城市地圖的主要組成部分，其數(shù)據(jù)量大，直接對其進行匹配操作，將導致整個匹配過程計算量大，匹配效率低等問題。

為解決大比例尺面狀居民地匹配過程中數(shù)據(jù)量大、形態(tài)復雜、不確定性強等問題，首先對更新前面狀居民地和更新后面狀居民地分別提取能反映該居民地輪廓形態(tài)主要特征的骨架線；然后通過對雙方骨架線進行傅里葉變換與分析，來實現(xiàn)多源居民地之間的匹配。該方法的特點在于：①把面狀居民地轉化為能夠反映其輪廓主要形態(tài)特征的骨架線，一方面數(shù)據(jù)復雜性降低了，另一方面可以引入線要素的許多匹配算法，拓展了面要素匹配的技術途徑；② 傅里葉變換的變換系數(shù)可較好地描述線狀要素的形態(tài)特征，并將形態(tài)信息從空間域轉化到頻率域，特別對幾何形態(tài)相似性判斷具備較好的識別和區(qū)分能力，可很好地提高匹配的準確率。

同時，由于把面狀居民地轉化為骨架線進行匹配，研究對象作如下限定：① 匹配雙方為相同或相近比例尺面狀居民地；② 針對許多數(shù)據(jù)語義信息不完整的現(xiàn)實，主要研究幾何匹配，暫不考慮語義信息；③ 由于面狀居民地與其骨架線之間一一對應，因此本文只針對1∶1居民地匹配情形展開研究，而針對1∶n和m∶n（這實際上是跨比例尺之間匹配）等匹配情形暫不考慮，這是因為試驗表明目前對多個居民地骨架線進行合并，其結果難以反映這些居民地的形態(tài)分布與輪廓特征，后續(xù)擬在本文研究基礎上，通過空間拓撲關系約束展開進一步研究。

2 基于骨架線傅里葉變換的面狀居民地匹配算法

本算法主要由以下4個步驟組成：

（1）面狀居民地主骨架線提取。對匹配雙方的居民地集分別提取骨架線，將2維居民地轉化為1維骨架線，降低數(shù)據(jù)的復雜性，提高計算效率。

（2）骨架線插值計算。包括插值數(shù)據(jù)準備和插值計算實施。前者量化描述骨架線的幾何形態(tài)特征；后者對前者的量化描述進行插值計算，為傅里葉變換打下基礎。

（3）離散傅里葉變換。對插值計算后的骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)進行離散傅里葉變換，將骨架線形態(tài)信息從空間域轉到頻率域，更加充分地反映骨架線的幾何形態(tài)信息。

（4）計算匹配雙方的相關系數(shù)，并據(jù)此進行匹配。根據(jù)傅里葉變換結果，計算更新前數(shù)據(jù)骨架線和更新后數(shù)據(jù)骨架線之間的相關系數(shù)，據(jù)此來確定面狀居民地之間的匹配關系。下文將詳細闡述。

2.1 居民地骨架線提取

目前提取骨架線的常見算法有：平行線切割中點連線法、內側緩沖區(qū)法以及Delaunay三角網(wǎng)法［9－10］。平行線切割中點連線法簡單、直觀，但對復雜多邊形（如含島），往往得不到理想結果。內測緩沖區(qū)法原理為：對多邊形內側迭代做緩沖區(qū)，直至獲取小于面積要求的內側緩沖區(qū)，將該緩沖區(qū)形心連線作為骨架線［12］，該方法與第一種方法存在相似的問題。Delaunay三角網(wǎng)法具有很好的幾何特性，能夠方便建立起不同空間目標的空間鄰近關系［11］，并能較為詳細地反映面要素的幾何形態(tài)特征。

綜合考慮，本文選擇Delaunay方法來提取面要素骨架線。圖1是采用Delaunay方法提取面要素骨架線的原理圖，圖2是一個提取居民地主骨架線的例子。可以看出該方法能很好地反映居民地輪廓的主要形態(tài)特征，同時以主骨架線來代替居民地進行匹配，可有效降低居民地匹配的復雜度。

圖1 采用Delaunay方法提取面要素骨架線原理圖Fig.1 Pick up skeleton－line with Delaunay technique

圖2 面狀居民地輪廓及其主骨架線提取例子Fig.2 Example of a polygon habitation and its main skeleton line

2.2 骨架線插值計算

為描述骨架線的幾何形態(tài)，把骨架線的每個直線段轉換為長度和角度信息，即骨架線每個直線段都轉化為一對坐標值（長度，角度），這種坐標點稱為幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點。同時，原有骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點的數(shù)量往往不能滿足匹配分析需求，需要對其進行插值計算。詳細方法如下。

2.2.1 骨架線幾何形態(tài)描述

骨架線幾何形態(tài)描述主要包括骨架線起始點選擇、骨架線長度特征描述、骨架線角度特征描述以及幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點生成4個部分。

2.2.1.1 骨架線起始點選取

進行骨架線長度指標和角度指標描述之前，需首先確定骨架線上的某一頂點為起始點P0，選擇不同起始點P0，將會得到不同的幾何形態(tài)描述數(shù)據(jù)。本文對起始點P0選取的依據(jù)為

即選擇橫坐標最小的節(jié)點為起始點，且設定角度特征描述中以順時針方向為正。其優(yōu)點在于：可以確保骨架線的長度特征和角度特征均為正，且分析結果可視化圖形位于坐標系的第一象限內。

2.2.1.2 骨架線長度特征描述

對于骨架線長度特征，采用骨架線上各相鄰節(jié)點之間的長度在骨架線全長中所占比率的形式進行描述。因為所有節(jié)點距之和與骨架線全長比值為1，所以該比率值又稱為歸一化距離［3］。其描述步驟為：① 從骨架線起始點開始，計算骨架線的全長及其任意兩個相鄰節(jié)點（設起點、終點也為節(jié)點）之間的長度；② 計算相鄰節(jié)點距離在骨架線全長中所占比率，用長度比率值代替相鄰節(jié)點間的實際長度值。具體實現(xiàn)公式骨架線全長

相鄰節(jié)點距離所占比率

這里需注意兩個方面：① 為方便后續(xù)數(shù)據(jù)的運算及可視化，需將長度比率數(shù)組的第一個數(shù)據(jù)賦0；②前面各段的長度比率值需在后面的比率數(shù)據(jù)中累加，最后一個線段的長度比率值應為1。

2.2.1.3 骨架線角度特征描述

對于骨架線角度特征，采用骨架線上各線段的實際坐標方位角進行描述。具體步驟為：① 從骨架線起始點出發(fā)，求得各線段的轉角φk（以順時針方向為正）；② 根據(jù)所求的轉角φk，計算骨架線上各線段的坐標方位角θk（以順時針方向為正）。轉角φk計算公式

方位角計算公式：Δy＝y(tǒng)i＋1－yi，Δx＝xi＋1－xi

上述計算保證了θk均為正數(shù)。由于角度特征數(shù)據(jù)與骨架線上線段一一對應，即使在一條骨架線的角度特征描述過程中出現(xiàn)多次θk值相同的情況，但該值的計算存在先后關系，可以避免一對多情形的出現(xiàn)。另外，在角度特征數(shù)據(jù)存儲時，從骨架線起始點出發(fā)，骨架線第一個線段的角度特征描述數(shù)據(jù)需進行兩次記錄，即將其同時存儲在角度特征數(shù)組的第1位和第2位。這是因為，對于骨架線為直線這種特殊情況，其只有首端點和末端點，首端點和末端點之間只能計算一個方位角，該方位角與長度之間只能構成一個幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點，不能滿足對直線骨架線的表達。因此需要將骨架線角度特征數(shù)組的第2個數(shù)據(jù)賦予與第1個數(shù)據(jù)相同的值。

2.2.1.4 骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點的生成

骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點由長度特征數(shù)據(jù)和角度特征數(shù)據(jù)共同組成。由于這兩組數(shù)據(jù)數(shù)量相同，且生成時的起始點相同，因此可按照先后順序，以長度特征為橫軸，以角度特征為縱軸，一一對應，得到一系列有序的坐標對，這些坐標對即為骨架線的幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點。例如，圖3中骨架線A的幾何形態(tài)描述數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 骨架線A幾何形態(tài)描述數(shù)據(jù)結果表Tab.1 The data describing the geometry of skeleton line Ashowing

圖3 骨架線A示意圖Fig.3 The diagram of skeleton line A

2.2.2 幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點插值計算

如果幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點數(shù)量過少，則不能滿足相似性分析需求，這就需要對其插值，進一步突出骨架線主要幾何形態(tài)特征，特別是整體形態(tài)特征。為避免出現(xiàn)新的誤差，對待匹配雙方骨架線必須采用相同插值方法進行插值。常用插值方法有拉格朗日插值、厄爾米特插值法以及樣條插值法等［13］。

拉格朗日插值法是高次多項式插值，插值結果光滑，但不能保證插值收斂性，容易引起新的誤差或不確定性；厄爾米特插值法屬于低次多項式插值，使用簡單，但是插值后曲線過于粗糙；三次樣條插值法也屬于低次多項式插值，但較厄爾米特插值法有較大改進，可有效確保插值后骨架線的準確性［14］。本文采用三次樣條插值法，方法如下［15］。

由于長度特征數(shù)據(jù)采用歸一化距離，其值域為x∈［0，1］，插值時首先將［0，1］區(qū)間進行等分，然后以區(qū)間等分點處的坐標值為插值點，以骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點為樣條節(jié)點，進行插值運算。

在每個［xi－1，xi］區(qū)間上，三次樣條函數(shù)可以表示為以下形式

式中，hi－1＝xi－xi－1；Mi＝Sn（xi）。

Mi所滿足的方程

式中

邊界條件有如下兩種：

第一型插值條件

由此導出

自然樣條

由此得出M1＝0、Mn＝0，從而得出Mi滿足三對角方程。

以圖4中所示的待匹配骨架線為例，其幾何形態(tài)特征數(shù)據(jù)點的正切空間圖形如圖5所示，對圖5中的兩條待匹配骨架線的幾何形態(tài)特征圖形進行三次樣條插值分析，將（0，1）區(qū)間等分成50份，如圖6所示。對比圖5和圖6可知，三次樣條插值后，骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)由直方圖轉化為曲線，不但豐富了幾何形態(tài)數(shù)據(jù)點，而且骨架線幾何特征的整體趨勢以及局部差別也更為直觀。

圖4 某更新前及更新后居民地骨架線ig.4 The skeleton lines’before and after updating

圖5 骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)的可視化結果Fig.5 Visualization of skeleton lines geometry data

圖6 對圖5進行三次樣條插值后的結果Fig.6 The result of cubic spline interpolation to fig.5

2.3 離散傅里葉變換

對經(jīng)過三次樣條插值的骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)進行離散傅里葉變換，其主要變換過程［15］如下。

令ωn＝e－i2π／n，對于N個離散數(shù)據(jù)點xk（k＝0，1，…，N－1），進行如下變換

經(jīng)過離散傅里葉變換，將各個離散數(shù)據(jù)點xk分解為它的基本頻率的組合，也就是變換之后y的各個分量。為提高算法效率，采取離散傅里葉變換中的快速傅里葉變換，其變換過程如下

骨架線幾何形態(tài)數(shù)據(jù)經(jīng)過離散傅里葉變換，其結果由實數(shù)和虛數(shù)兩部分組成。圖6的插值結果經(jīng)離散傅里葉變換，其實數(shù)和虛數(shù)部分如圖7所示。

圖7 骨架線離散傅里葉變換后數(shù)據(jù)圖像Fig.7 The graphies of the skeleton line discreted with Fourier transform

2.4 相關系數(shù)計算

傅里葉變換后的骨架線幾何形態(tài)特征數(shù)據(jù)，只是將骨架線信息從空間域轉到頻率域，還不能反映骨架線之間的差異。為量化描述骨架線之間在頻率域的相似性，進一步采用相關系數(shù)進行描述。因為幾何形態(tài)特征數(shù)據(jù)為離散數(shù)據(jù)，因此采用離散相關系數(shù)進行表達。離散相關系數(shù)的一般定義如下。

設｛gk｝和｛hk｝為兩個未經(jīng)傅里葉變換的離散數(shù)組，k＝1，2，…，n，則｛gk｝與｛hk｝的離散相關系數(shù)Cgh的一般計算公式如下［17］

在離散傅里葉變換的基礎上求取相關系數(shù)，根據(jù)相關離散定理［15］，如果｛gk｝和｛hk｝經(jīng)過離散傅里葉變換后分別為｛Gk｝、｛Hk｝，則Cgh等于｛Gk｝·｛Hk｝＊的逆離散傅里葉變換，其中星號表示復共軛。其中，逆離散傅里葉變換的一般過程如下

根據(jù)上述分析結果，設未經(jīng)傅里葉變換之前的待匹配雙方骨架線的幾何形態(tài)描述數(shù)據(jù)分別為｛gk｝和｛hk｝，對其進行離散傅里葉變換的結果分別為｛Gk｝、｛Hk｝。令DFT和DFT－1分別代表離散傅里葉變換和逆離散傅里葉變換，則

令Z＝｛G｝·｛H｝＊，其中｛H｝＊為表示｛H｝的復共軛。對Z進行逆傅里葉變換，其結果即為離散相關系數(shù)，相關公式如下

相關系數(shù)的值域為［－1，1］區(qū)間，當Cgh＞0時，表示兩要素同向相關，否則表示異向相關，Cgh的絕對值越接近1，表示兩數(shù)組的相似性越高；越接近0，表示兩數(shù)組的相似性越低。由于在進行骨架線幾何形態(tài)描述時統(tǒng)一了骨架線描述的起始點，從而保證了待匹配雙方骨架線幾何形態(tài)描述數(shù)據(jù)的同向性，所以離散相關系數(shù)的取值區(qū)間為［0，1］。

3 試驗驗證及分析

3.1 試驗驗證

以某城市同一區(qū)域1∶1萬的更新前面狀居民地和更新后面狀居民地作為試驗數(shù)據(jù)，進行算法驗證。詳細匹配流程如圖8所示。

圖8 基于骨架線傅里葉變換的居民地匹配流程圖Fig.8 The flowchart of habitation matching based on their skeleton lines by the Fourier transform

（1）面狀居民地骨架線提取：提取居民地骨架線［16］，圖9為更新前居民地及其骨架線，圖10為更新后居民地及其骨架線。

（2）插值計算：分別對圖9和圖10中的骨架線進行幾何形態(tài)描述，把幾何坐標轉化為“長度－角度”坐標系下的幾何形態(tài)數(shù)據(jù)，然后對其采用三次樣條插值法進行插值計算。

圖9 更新前居民地及對其提取骨架線的結果Fig.9 Block data before the update，and the result of getting their sketch lines

圖10 更新后居民地及對其提取骨架線的結果Fig.10 Updated block data，and the result of getting their sketch lines

（3）傅里葉變換及相關系數(shù)計算：根據(jù)插值結果，分別對更新前居民地骨架線和更新后居民地骨架線的幾何形態(tài)數(shù)據(jù)進行離散傅里葉變換，并計算相關系數(shù)。將相關系數(shù)與指定閾值比較，若相關系數(shù)大于指定閾值，則認為雙方骨架線之間幾何形態(tài)吻合，滿足匹配條件，進而認定骨架線所對應的居民地之間匹配成功；反之，匹配失敗。

這里，相關系數(shù)閾值的設定對匹配結果有直接影響。相關系數(shù)取值區(qū)間為［0，1］，相關系數(shù)越接近1，表明待匹配雙方骨架線的幾何形態(tài)差異越?。环粗浇咏?，說明待匹配雙方骨架線的幾何形態(tài)差異越大。相關系數(shù)閾值是待匹配雙方骨架線基于傅里葉變換的幾何形態(tài)相似程度標準。例如設置閾值為0.9時，本算法的各類匹配信息如表2所示（該閾值大小的設置可根據(jù)實際情況有所不同）。

相關系數(shù)閾值為0.9時，匹配結果如下：共有81塊更新前居民地參與匹配，成功匹配71塊，無法匹配10塊（其中已拆除居民地8塊）。共有77塊更新后居民地參與匹配，成功匹配71塊，無法匹配6塊（其中新增居民地4塊）。更新前居民地匹配總成功率為：87.7%（71／81），實際參與匹配成功率為：97.3%（71／（81－8））；更新后居民地匹配總成功率為：92.2%（71／77），實際參與匹配成功率為：97.26%（71／（77－4））。試驗表明本方法具有較高的匹配正確率。

表2 更新前居民地和更新后居民地匹配的各類信息計算結果（局部）Tab.2 Statistic matching information of block data before update and updated habitation（part）

3.2 試驗對比分析

面要素匹配方法大致可分為兩類［21］，一類是簡單形狀描述法，如包圍盒法、弦長面積描述法、面積周長比法等；另一類是詳細輪廓描述法，如矩描述子、小波變換法等。前一類方法借助面要素輪廓的某些特征進行概略描述，沒有區(qū)分出主要形態(tài)信息和次要形態(tài)信息；后一類方法可非常詳細地反映居民地輪廓信息，但對細節(jié)信息過于敏感，不但匹配時計算量較大、匹配過程復雜，而且存在不確定性。相對已有算法而言，本方法的優(yōu)勢在于：重點對居民地的主要形態(tài)信息進行分析，有效降低了匹配過程中的不確定性，提高了匹配準確率。

為進一步驗證本方法科學性，采用同一數(shù)據(jù)、不同方法的匹配結果進行比較（仍以圖9、10為例）。圖11是本方法匹配結果，圖12是骨架線緩沖區(qū)法匹配結果；圖13是矩描述子法匹配結果，圖14是弦長面積法匹配結果。圖11至圖14中，高亮色顯示的居民地為未匹配成功的居民地。圖11和圖12中居民地內的折線為提取的骨架線。

圖11 采用本方法進行居民地匹配結果Fig.11 Matching result of habitations using the method termed in this paper

圖12 采用骨架線緩沖區(qū)法進行居民地匹配結果Fig.12 Matching result of habitations by the method of skeleton lines′buffers

圖13 采用矩描述子法進行居民地匹配結果Fig.13 Matching result of habitations with moment describe method

圖14 采用弦長面積法進行居民地匹配結果Fig.14 Matching result of habitations by chord length and area method

不同匹配結果對比如表3所示。從表3可知，本方法匹配成功率優(yōu)于另外3種匹配算法，進一步證明了本方法的科學性和優(yōu)越性。同時，圖12采用的方法為骨架線緩沖區(qū)匹配方法，該方法實際上是本文方法的前期研究成果，即對面狀居民主骨架線進行緩沖區(qū)分析，并依據(jù)骨架線緩沖區(qū)之間的面積疊置率來判斷是否匹配成功；其缺陷在于把骨架線還原為緩沖區(qū)后，骨架線的形態(tài)特征被弱化，不確定性增強了，影響了匹配正確率。而本方法對居民地主骨架線采用傅里葉變換的變換系數(shù)來表達，并將形態(tài)信息從空間域轉化到頻率域，特別對幾何形態(tài)相似性判斷具備較好的識別和區(qū)分能力，從而有效提高了匹配準確率。

4 結 論

本文提出了一種大比例尺城市面狀居民地匹配方法，對同一區(qū)域大比例尺異源居民地進行等級化處理，得到能夠反映面狀居民地主要形態(tài)特征的骨架線，然后對骨架線進行幾何形態(tài)描述、插值計算、傅里葉變換以及相關系數(shù)計算等操作，并依據(jù)相關系數(shù)的大小對骨架線進行匹配判斷，最終根據(jù)骨架線的匹配完成面狀居民地的匹配。該方法有效降低匹配數(shù)據(jù)的復雜性和可能產(chǎn)生的不確定性因素，提高幾何形態(tài)相似性的識別與區(qū)分能力，同時匹配速度、正確率也得到提高。

表3 采用不同方法居民地匹配情況對比表Tab.3 Comparing results of matching habitations with different matching methods

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