王建鵬

（1．中國礦業(yè)大學(xué) （北京），北京 100083；2．山西焦煤集團(tuán)杜兒坪礦，山西 太原 030026）

GPS/INS組合導(dǎo)航中，噪聲的存在是制約導(dǎo)航精度提高的重要原因。從頻域角度，可以將組合導(dǎo)航的噪聲分為高頻噪聲和低頻噪聲。在高頻噪聲的消除方面，低通濾波器和小波等基于頻率域的消噪方法體現(xiàn)了一定的優(yōu)勢，但對于低頻噪聲（偏心誤差、尺度誤差），由于運動體自身的運動信息也屬于低頻部分，所以很難將有用的信息和低頻噪聲分離開來，增加了噪聲消除的難度。

考慮以上因素，本文首先對靜態(tài)數(shù)據(jù)（不含運動信息）建模，以確定出誤差模型參數(shù)，再將此模型運用到動態(tài)數(shù)據(jù)中進(jìn)行消噪。針對于噪聲分為高頻噪聲和低頻噪聲兩部分，而且是在靜態(tài)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建模，所以首先采用小波理論消除高頻噪聲，再運用基于AR模型的KALMAN濾波對低頻噪聲建立合適的模型，通過實驗選取最佳的模型參數(shù)。

1 濾波方法的簡要比較

目前，有效的濾波方法主要有公式解析濾波、均值濾波、小波去噪等［1］，先將這些方法的優(yōu)缺點比較如下：①公式解析濾波。消除高頻噪聲效果好，但是濾波結(jié)果的誤差較大、穩(wěn)定性差；②中值濾波。能有效保持邊沿頻帶信息，但消噪能力不強(qiáng)；③小波濾波。小波濾波介于公式解析和中值濾波之間，但是應(yīng)用條件狹窄、濾波結(jié)果存在頻率偏斜；④K alman濾波。自適應(yīng)能力強(qiáng)，可與AR模型算法相結(jié)合實現(xiàn)良好的濾波消噪效果，本文基于AR模型，應(yīng)用KALMN濾波算法對GPS/INS組合定位中INS進(jìn)行消噪處理。

2 基于AR模型的KALMN濾波

平穩(wěn)隨機(jī)序列表示序列的統(tǒng)計特性不隨時間的平移而變化，即均值和協(xié)方差不隨時間的平移而變化。平穩(wěn)白噪聲序列是一種最基本的平穩(wěn)序列。

下面介紹一種重要的平穩(wěn)時間序列—ARMA時間序列［2-3］，ARMA時間序列分為三種類型：①AR模型，即AR（p）自回歸序列；②MA序列，即MA（q）滑動平均序列；③ARMA序列，即ARMA（p，q）自回歸滑動平均序列。

2．1 ARMA時間序列的定義

ARMA（p，q）序列

設(shè)｛Xt，t＝0，±1，±2，…｝是零均值平穩(wěn)序列，滿足式（1）。

式中，Xt是零均值、方差是的平穩(wěn)白噪聲，則稱Xt是階數(shù)為p，q的自回歸滑動平均序列，簡記為ARMA（p，q）序列。當(dāng)q＝0時，它是AR（p）序列；當(dāng)p＝0時，它為MA（q）序列。

2．2 KALMAN 濾波

卡爾曼濾波器卡用于估計離散時間控制過程的狀態(tài)變量x∈。離散時間過程的描述見參考文獻(xiàn)［4-5］?？柭鼮V波器可分為時間更新方程和測量更新方程兩個部分。時間更新方程也可視為預(yù)估方程，測量更新方程可視為校正方程。時間更新方程和測量更新方程的具體形式如下［6］式（2）～（6）所示。

測量更新方程首先做的是計算卡爾曼增益Kk。其次，便測量輸出以獲得zk，然后按式（5）產(chǎn)生狀態(tài)的后驗估計。最后按式（6）估計狀態(tài)的后驗協(xié)方差。計算完時間更新方程和測量更新方程，整個過程再次重復(fù)［7］。上一次計算得到的后驗估計被作為下一次計算的先驗估計。

3 小波消噪及尺度選取

影響IMU精度的噪聲來源包括兩部分：低頻噪聲和高頻噪聲。兩種噪聲存在一定的重疊共同影響著導(dǎo)航系統(tǒng)精度。高頻噪聲部分具有白噪聲的特性，低頻噪聲具有一定的自相關(guān)性。

具有自相關(guān)性的低頻噪聲可以運用各種模型進(jìn)行模型化，但是高頻白噪聲不具有此種特性，所以可以運用基于頻率域的小波消噪消除一定頻率范圍的白噪聲，為AR模型的建立提供良好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)［8］。

一個合適的小波尺度選取是基于信號的特征及濾波的具體要求。在對靜態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波消噪中，根據(jù)消除高頻噪聲，保留有用信息來確定小波分解尺度。

從圖1可以看出，靜態(tài)IMU數(shù)據(jù)的頻率分布較均勻，在11Hz和14Hz出有兩個峰值，根據(jù)經(jīng)驗，截止頻率定為3Hz，即對大于3Hz的白噪聲進(jìn)行消除。

圖1 原始數(shù)據(jù)的頻譜分析

比較圖2，可以看出5層小波分解消噪可以較好得消除大于3 Hz的噪聲，3層和4層小波分解中，高于3Hz的白噪聲有較多殘留，6層小波分解中，將大于2～3 Hz的噪聲都消除了，由于在這部分頻率域中含有較多的有用信息，所以選用5層小波分解消噪較合適。

4 AR模型參數(shù)確定

建立AR模型的關(guān)鍵在于階數(shù)的選取，一般來講，階數(shù)越多，模型的精確度越高，但是計算量會大幅度增加，在運用KALMAN濾波時，計算量以幾何級數(shù)增長；而且，經(jīng)過實驗驗證，并不是所有情況下，增加模型階數(shù)就會提高精確度，當(dāng)兩者不存在相關(guān)性時，增加階數(shù)反而會導(dǎo)致建模誤差增大。

分別選取3階、4階、5階的AR模型建模，并運用KALMAN濾波進(jìn)行濾波。AR模型建立的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

式中：bk為低頻誤差（偏心）；p為AR模型的階數(shù)。

觀測方程

式中：H為單位陣；B＝（bk－p＋1bk－p…bk－2bk－1bk）T。

圖2 小波分解消噪的頻譜分析

比較圖3，可以看出，用4階AR模型的濾波效果要比用3階和5階的濾波效果要好，從160s開始，濾波值穩(wěn)定于－0．0117，這就是靜態(tài)數(shù)據(jù)的低頻噪聲（偏心值）；3階和5階的AR模型濾波從100s后也趨于穩(wěn)定，但是穩(wěn)定值要比靜態(tài)數(shù)據(jù)的觀測值要大，主要是由于模型誤差造成的［9-10］。

圖3 AR模型的KALMAN濾波

5 結(jié)論

從IMU數(shù)據(jù)誤差模型入手，分高頻噪聲和低頻噪聲兩方面對IMU噪聲進(jìn)行消除，介紹了小波理論、低通濾波器和AR模型在IMU數(shù)據(jù)降噪方面的應(yīng)用，并將其進(jìn)行了對比，可得出以下結(jié)論。

1）在運用低通濾波器進(jìn)行濾波時，關(guān)鍵點在于低通濾波器的設(shè)計，設(shè)計匹配性較高的低通濾波器可以提高消噪效果，低通濾波器要根據(jù)IMU自身數(shù)據(jù)特點及噪聲頻譜特性進(jìn)行設(shè)計。

2）建立的基于AR模型的低頻噪聲模型，通過AR模型建立IMU靜態(tài)數(shù)據(jù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，運用KALMAN濾波求出低頻噪聲（偏心）。

3）運用IMU靜態(tài)數(shù)據(jù)建立AR模型之前，可以借助小波，選擇合適的分解層數(shù)去除高頻噪聲，對過濾后數(shù)據(jù)分析，找到合適的AR模型階數(shù)及系數(shù)，為動態(tài)數(shù)據(jù)模型的建立提供一定的依據(jù)。

［1］王立琦，王銘義，張禮勇，等．譜估計中解析公式與卡爾曼濾波比較研究［J］．哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2010，31（1）：115-119．

［2］張樹京，齊立新．時間序列分析簡明教程［M］．北京：清華大學(xué)出版社，北方交通大學(xué)出版社，2003．

［3］練軍想，湯勇剛，等．捷聯(lián)慣導(dǎo)慣性系動基座對準(zhǔn)算法研究［J］．國防科技大學(xué)學(xué)報，2007，29（5）：95-99．

［4］張顯云，張勤，王利，等．基于卡爾曼濾波的AR模型及應(yīng)用［J］．測繪通報，2009（11）：41-43．

［5］焉建國，陳正松，羅志才等．基于AR模型的上海地區(qū)地面沉降預(yù)測分析［J］．大地測量與地球動力學(xué)，2009，29（5）：121-124．

［6］吳富梅，楊元喜．基于高階AR模型的陀螺隨機(jī)漂移模型［J］．測繪學(xué)報，2007，36（4）：389-394．

［7］楊元喜，崔先強(qiáng)．動態(tài)定位有色噪聲影響函數(shù)—以一階AR模型為例［J］．測繪學(xué)報，2003，32（1）：6-10．

［8］金光明，張國良，陳林鵬，等．MEMS陀螺儀靜態(tài)漂移模型與濾波方法研究［J］．傳感器與微系統(tǒng)，2007，26（11）：48-50．

［9］沈曉蓉，張海，范耀祖，等．微捷聯(lián)姿態(tài)系統(tǒng)的一種擴(kuò)展卡爾曼濾波方法［J］．北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2007，33（8）：933-935．

［10］秦慶強(qiáng)，張曉安，李艾華．基于自適應(yīng)Kalman濾波的加速度計動態(tài)數(shù)據(jù)處理［J］．計算機(jī)工程與設(shè)計，2009，30（17）：3943-3945．