趙 曜* 張冰塵 洪 文 吳一戎

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基于RIPless理論的稀疏微波成像波形分析方法

趙 曜張冰塵 洪 文 吳一戎

(中國科學(xué)院電子學(xué)研究所微波成像技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100190) (中國科學(xué)院電子學(xué)研究所 北京 100190)

稀疏微波成像回波數(shù)據(jù)可以建模為Toeplitz矩陣與地面場(chǎng)景的乘積，Toeplitz矩陣中的行向量為發(fā)射信號(hào)的時(shí)延。由于難于驗(yàn)證Toeplitz矩陣是否符合經(jīng)典的稀疏信號(hào)處理中RIP等重建條件，因而分析稀疏微波成像采樣數(shù)與發(fā)射波形的關(guān)系十分困難。近年提出的RIPless理論表明如果矩陣的行向量是對(duì)一個(gè)概率分布的隨機(jī)抽取，并且該概率分布滿足一定的條件，那么可以從少量的采樣數(shù)據(jù)中恢復(fù)稀疏信號(hào)。Toeplitz矩陣適用于RIPless理論。該文首先介紹稀疏微波成像中觀測(cè)矩陣的構(gòu)造，然后利用稀疏信號(hào)處理中的RIPless理論分析波形中信號(hào)脈寬、帶寬和信號(hào)形式與稀疏微波成像采樣數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而比較不同波形對(duì)稀疏微波成像中的性能，最后通過仿真驗(yàn)證了該方法的有效性。

稀疏微波成像；RIPless；壓縮感知；波形分析

1 引言

將稀疏信號(hào)處理引入微波成像技術(shù)，兩者有機(jī)結(jié)合形成的微波成像新理論、新體制和新方法稱為稀疏微波成像。稀疏微波成像利用場(chǎng)景的稀疏性先驗(yàn)知識(shí)，通過少量觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)場(chǎng)景進(jìn)行重建。相比于傳統(tǒng)微波成像，稀疏微波成像可以減少數(shù)據(jù)量和系統(tǒng)復(fù)雜度。

稀疏微波成像中的觀測(cè)矩陣是指將地面場(chǎng)景映射為回波數(shù)據(jù)的變化矩陣，它與雷達(dá)系統(tǒng)密切相關(guān)。觀測(cè)矩陣的性質(zhì)決定稀疏微波成像的性能。稀疏微波成像中條帶式合成孔徑雷達(dá)回波為地面場(chǎng)景和發(fā)射波形的卷積，觀測(cè)矩陣即是Toeplitz矩陣。矩陣的每一行是發(fā)射波形的時(shí)移。良好的發(fā)射波形設(shè)計(jì)可以提高觀測(cè)矩陣的性質(zhì)以減少采樣數(shù)。

在稀疏信號(hào)處理中，針對(duì)觀測(cè)矩陣已經(jīng)提出許多評(píng)判準(zhǔn)則，例如，限制等距條件(Restricted Isometry Property, RIP)，限制正交條件(Restricted Orthogonality Property, ROP)，精確重建條件(Exact Reconstruction Criteria, ERC)和互相關(guān)條件(Mutual Coherence, MC), RIP, ROP, ERC評(píng)判準(zhǔn)則都非常難于計(jì)算，而MC條件估計(jì)的結(jié)果并不精確，許多矩陣不滿足MC條件，實(shí)際上仍可以稀疏重建。稀疏信號(hào)處理中常用的觀測(cè)矩陣為傅里葉矩陣或者隨機(jī)矩陣，以上評(píng)判準(zhǔn)則都難以直接應(yīng)用于Toeplitz矩陣，進(jìn)而難以在稀疏微波成像條帶式合成孔徑雷達(dá)中發(fā)揮作用。

最近Candes提出的RIPless理論，將壓縮感知理論推廣到更平凡的條件，如果觀測(cè)矩陣中的行向量是對(duì)一個(gè)概率分布的隨機(jī)獨(dú)立抽取，并且該概率分布滿足完備性條件和不相干條件，則可以利用少量觀測(cè)數(shù)據(jù)恢復(fù)稀疏信號(hào)。與RIP相比，RIPless所要求的重建條件易于驗(yàn)證并且理論界更優(yōu)。例如對(duì)于傅里葉矩陣，RIP要求采樣數(shù)為，而RIPless所要求的采樣數(shù)為，其中為被觀測(cè)信號(hào)非零元素個(gè)數(shù)，為被觀測(cè)信號(hào)長度。RIPless理論可以保證隨機(jī)矩陣、正交矩陣等符合稀疏重建的要求，并且該理論還可對(duì)Toeplitz矩陣形式的觀測(cè)矩陣恢復(fù)性能進(jìn)行分析。由于條帶成像雷達(dá)的觀測(cè)矩陣通常為Toeplitz矩陣，可以利用RIPless理論分析不同波形構(gòu)成的觀測(cè)矩陣性質(zhì)。本文基于RIPless理論分析發(fā)射信號(hào)脈寬、帶寬和信號(hào)形式對(duì)觀測(cè)矩陣的影響，進(jìn)而比較不同波形對(duì)稀疏微波成像中的性能。

現(xiàn)在出現(xiàn)了許多稀疏信號(hào)處理與雷達(dá)相結(jié)合的應(yīng)用。正交頻分復(fù)用(OFDM)信號(hào)、隨機(jī)噪聲信號(hào)、Alltop波形都可以應(yīng)用于稀疏微波成像中。目前這些應(yīng)用大多基于實(shí)驗(yàn)方法分析其性能，例如相變圖方法，在理論方面尚缺乏全面的分析。文獻(xiàn)[9]利用MC比較了Alltop波形和Chirp信號(hào)在稀疏微波成像中的性能。文獻(xiàn)[14]利用RIP分析了偽隨機(jī)信號(hào)在探地雷達(dá)中的應(yīng)用。由于聚束式SAR和ISAR中的觀測(cè)矩陣為傅里葉矩陣，傅里葉矩陣滿足RIP條件，因而稀疏信號(hào)處理可以應(yīng)用于聚束式SAR和ISAR。目前難以從理論分析波形對(duì)稀疏微波成像條帶式合成孔徑雷達(dá)模式中的影響。

本文的結(jié)構(gòu)如下。第2節(jié)介紹壓縮感知中的RIPless理論，第3節(jié)介紹稀疏微波成像中觀測(cè)矩陣的構(gòu)造。第4節(jié)利用RIPless進(jìn)行了波形分析和仿真。第5節(jié)給出了結(jié)論。

2 RIPless理論[7,8]

(1)

其中是一個(gè)常數(shù)，則最優(yōu)化式(1)的解具有唯一性，并且以的概率等于。

3 稀疏微波成像模型[2]

合成孔徑雷達(dá)是遙感中微波成像的重要技術(shù)。本文考慮條帶式SAR成像模式，飛機(jī)沿直線飛行(方位向)，天線以垂直于飛行方向(距離向)發(fā)射脈沖。對(duì)于觀測(cè)場(chǎng)景，回波數(shù)據(jù)可以表示為：

(4)

其中

4 仿真和分析

發(fā)射波形是雷達(dá)中的關(guān)鍵問題，影響波形的主要因素有脈寬、帶寬和信號(hào)形式等。設(shè)計(jì)良好的波形可以提高觀測(cè)矩陣的性質(zhì)，進(jìn)而提高稀疏微波成像的性能。本節(jié)由RIPless理論計(jì)算觀測(cè)矩陣的條件數(shù)和不相干參數(shù)的乘積，比較不同波形在稀疏微波成像中的性能。

一般來說，SAR成像算法包括兩個(gè)部分：距離壓縮和方位壓縮。因?yàn)閮蓚€(gè)方向的處理方法類似，所以這里只分析1維信號(hào)形式。以下將逐一分析脈寬，帶寬和信號(hào)形式所產(chǎn)生的影響。

4.1 脈寬

本小節(jié)分析不同發(fā)射信號(hào)脈寬對(duì)于稀疏微波成像性能的影響。本小節(jié)仿真參數(shù)如下：觀測(cè)距離為100 km，載頻為1 GHz，信號(hào)形式為線性調(diào)頻信號(hào)，帶寬為100 MHz。本仿真改變脈寬大小，比較觀測(cè)矩陣條件數(shù)和不相干參數(shù)的變化。圖1給出了觀測(cè)矩陣條件數(shù)和不相干參數(shù)及兩者乘積隨脈寬變化的曲線?？梢钥闯霾幌喔蓞?shù)隨著脈寬的增大而逐漸減小(如圖1(a))，而條件數(shù)基本保持不變(如圖1(b))。在觀測(cè)矩陣中，發(fā)射信號(hào)的脈寬越大，行向量中的非零元素個(gè)數(shù)越多，所以非相干參數(shù)就越小，而條件數(shù)與雷達(dá)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)密切相關(guān)，帶寬不變所以條件數(shù)基本相等。脈寬為0.5 μs和1.1 μs的仿真結(jié)果如圖2所示。仿真中對(duì)兩組數(shù)據(jù)同時(shí)進(jìn)行25%降采樣，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)脈寬為0.5 μs時(shí)成像失敗，成像結(jié)果中出現(xiàn)了許多虛假目標(biāo)，而當(dāng)脈寬為1.1 μs時(shí)成像成功，每個(gè)目標(biāo)都得到正確重建。該仿真沒有考慮噪聲的影響。綜上，如圖1(c)所示隨脈寬增大而減少，即隨脈寬增大稀疏微波成像所需的采樣數(shù)減少。

4.2 帶寬

本節(jié)中分析不同帶寬對(duì)觀測(cè)數(shù)量的影響。本小節(jié)仿真參數(shù)如下：觀測(cè)距離為100 km，載頻為1 GHz，信號(hào)形式為線性調(diào)頻信號(hào)，脈寬為1 μs。

圖1 及-脈寬曲線

圖2 不同脈寬下仿真結(jié)果

圖3 -帶寬曲線

圖4 -帶寬曲線

圖5 -帶寬曲線

圖6 不同帶寬下仿真結(jié)果

4.3 信號(hào)形式

本節(jié)分析信號(hào)形式對(duì)觀測(cè)數(shù)量的影響。本小節(jié)仿真參數(shù)如下：觀測(cè)距離為100 km，載頻為1 GHz，帶寬為100 MHz，脈寬為1 μs。這里考慮3種信號(hào)形式線性調(diào)頻信號(hào)、隨機(jī)噪聲信號(hào)和正交頻分復(fù)用(OFDM)信號(hào)。線性調(diào)頻信號(hào)具有良好的匹配濾波性質(zhì)和抗多普勒偏移性質(zhì)，在雷達(dá)中有廣泛應(yīng)用。由于隨機(jī)噪聲信號(hào)構(gòu)建的觀測(cè)矩陣具有良好的列不相關(guān)性，非常適宜稀疏微波成像應(yīng)用。OFDM信號(hào)的頻譜與隨機(jī)噪聲信號(hào)類似，也可以應(yīng)用于稀疏微波成像。表1給出了3種波形所構(gòu)建的觀測(cè)矩陣的條件數(shù)、非相干參數(shù)及兩者乘積?？梢钥闯鲇^測(cè)矩陣的條件數(shù)和非相干參數(shù)3種發(fā)射信號(hào)基本相等，相比而言，隨機(jī)噪聲信號(hào)最優(yōu)，OFDM次之，線性調(diào)頻信號(hào)再次之。綜上，在稀疏微波成像中隨機(jī)噪聲信號(hào)和OFDM信號(hào)的性質(zhì)略優(yōu)于線性調(diào)頻信號(hào)，不過它們?nèi)咧g的差異并不大。該結(jié)果與文獻(xiàn)[13]中相變圖分析結(jié)果一致。

表1 3種信號(hào)形式的條件數(shù)、非相干參數(shù)及兩者乘積

5 結(jié)論

RIPless理論適用于稀疏微波成像觀測(cè)矩陣的分析，通過RIPless理論可以比較稀疏微波成像發(fā)射波形對(duì)成像性能的影響。目前采用仿真方法分析了發(fā)射信號(hào)脈寬、帶寬和信號(hào)形式、采樣數(shù)對(duì)圖像重建效果的影響。如何直接建立發(fā)射信號(hào)與RIPless理論中條件數(shù)與非相干參數(shù)之間的理論關(guān)系需要進(jìn)一步研究。

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RIPless Based Radar Waveform Analysis in Sparse Microwave Imaging

Zhao Yao Zhang Bing-chen Hong Wen Wu Yi-rong

(National Key Laboratory of Science and Technology on Microwave Imaging, Beijing 100190, China) (Institute of Electronics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Echo data can be modeled as the product of the Toeplitz matrix and reflectivity of the observed scene. The row of the Toeplitz matrix is the time shift of the transmitted signal. Because it is difficult to verify whether the Toeplitz matrix satisfies the reconstruction condition (such as restricted isometry property) of sparse microwave imaging, analyzing the performance of the transmitted signal in sparse microwave imaging is a problem. RIPless, a new progress in sparse signal processing, shows that if the row of the matrix is an independent and identically distributed (i.i.d.) random vector drawn from a distribution, and this distribution satisfies certain conditions, then one can faithfully recover approximately sparse signals from a minimal number of measurements. The Toeplitz matrix satisfies RIPless. In this paper, we introduce the construction of the measurement matrix in sparse microwave imaging. Further, the relationship between pulse duration, bandwidth and waveform type, and the number of measurements in sparse microwave imaging are analyzed. The simulation results show the effectiveness of the proposed method.

Sparse microwave imaging; RIPless; Compressed sensing; Waveform analysis

TN958

A

2095-283X(2013)03-0265-06

10.3724/SP.J.1300.2013.13032

2013-03-29收到，2013-07-04改回；2013-07-10網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

國家“973”計(jì)劃項(xiàng)目(2010CB731900)資助課題

趙曜 yaozhao@mail.ie.ac.cn

趙 曜(1984-)，男，籍貫江西，北京航空航天大學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)在中國科學(xué)院電子學(xué)研究所工作，研究方向?yàn)樾〔ǚ治?、壓縮感知、稀疏信號(hào)處理、稀疏微波成像。

E-mail: yaozhao@mail.ie.ac.cn

張冰塵(1973-)，男，籍貫浙江，1996年獲得中國科技大學(xué)學(xué)士學(xué)位，1999年獲得中國科學(xué)院電子學(xué)研究所碩士學(xué)位，現(xiàn)任中國科學(xué)院電子學(xué)研究所研究員。研究方向?yàn)槲⒉ㄟb感與雷達(dá)技術(shù)、稀疏信號(hào)處理。

E-mail: bczhang@mail.ie.ac.cn

洪 文(1968-)，女，籍貫上海，北京航空航天大學(xué)博士學(xué)位，中國科學(xué)院電子學(xué)研究所研究員。主要研究方向?yàn)楹铣煽讖嚼走_(dá)成像與系統(tǒng)及其應(yīng)用、極化/極化干涉合成孔徑雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用、3維微波成像新概念新體制新方法等。E-mail: whong@mail.ie.ac.cn

吳一戎(1963-)，男，籍貫安徽，中國科學(xué)院院士，研究員，博士生導(dǎo)師，中國科學(xué)院電子學(xué)研究所所長，中國科技大學(xué)信息學(xué)院名譽(yù)院長。主要研究方向?yàn)槲⒉ǔ上窭碚撗芯?、微波成像技術(shù)、雷達(dá)信號(hào)處理、高分辨率和干涉SAR系統(tǒng)技術(shù)、遙感衛(wèi)星地面處理與應(yīng)用系統(tǒng)技術(shù)等。

E-mail: wyr@mail.ie.ac.cn