繆燁紅

（健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉 215400）

高職數(shù)學(xué)中微分的教學(xué)探究

繆燁紅

（健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉 215400）

微分的思想在高等數(shù)學(xué)中具有重要地位，而目前高職數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)微分的教學(xué)不夠重視，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)微分的概念和應(yīng)用不甚了解，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生較大阻礙.本文從教學(xué)設(shè)計(jì)的角度，探究了微分的教學(xué)課堂實(shí)施方案，將微分的兩定義相結(jié)合，旨在解決微分概念教學(xué)的抽象性，增強(qiáng)微分應(yīng)用性的教學(xué).

微分；微分教學(xué)；線性近似

1 微分的核心地位

微分在高等數(shù)學(xué)中處于核心地位，其思想貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué).現(xiàn)在教材采用的大都是先將導(dǎo)數(shù)，再講微分.導(dǎo)數(shù)與微分是從不同的側(cè)面處理函數(shù)的變化問題，導(dǎo)數(shù)是從變化率的角度處理函數(shù)的變化，而微分是從增量的線性主部的角度處理函數(shù)的變化.導(dǎo)數(shù)往往通過切線或變化速度來分析問題，而微分是通過微小量的近似處理，得到線性主部.高職數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“以應(yīng)用為目的，以必需和夠用為度”的原則，因此教學(xué)過程中應(yīng)強(qiáng)化微分教學(xué)，使學(xué)生掌握微積分的精髓-微元法，提高學(xué)生應(yīng)用微積分的能力.同時(shí)微分方法在工程上應(yīng)用廣泛，因此微分教學(xué)對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)非常重要.

2 微分教學(xué)目前的現(xiàn)狀

以健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院為例，我院目前開設(shè)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程課時(shí)64課時(shí)，微分的內(nèi)容涉及較少，只有兩個(gè)學(xué)時(shí)，由于微分的運(yùn)算可以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算直接得來，所以學(xué)生對(duì)微分的理解非常模糊，認(rèn)為是可有可無的概念，影響了后面對(duì)積分的理解.學(xué)生認(rèn)為只要掌握好導(dǎo)數(shù)的概念和算法，就可以進(jìn)行微分的運(yùn)算，從而忽視對(duì)微分概念的理解.很多學(xué)生不知道為什么要引入微分的概念，有何應(yīng)用更不清楚.另一方面，教師對(duì)于微分這部分內(nèi)容的考核，目前也是僅局限于微分的計(jì)算，對(duì)微分概念和應(yīng)用的考核很少.

目前處理微分的教學(xué)一般采用以下兩種方案：一、通過正方形面積的改變量這個(gè)經(jīng)典案例，導(dǎo)入概念（用增量的線性主部定義微分），推出可導(dǎo)和可微的等價(jià)關(guān)系，給出微分的運(yùn)算法則、基本公式等，讓學(xué)生能熟練計(jì)算微分，最后回歸實(shí)際，講解微分的應(yīng)用—近似計(jì)算；二、在教學(xué)過程中直接用導(dǎo)數(shù)定義微分，得出微分計(jì)算公式，最后講解微分的近似計(jì)算，該方案簡化了微分教學(xué)的諸多環(huán)節(jié).在兩個(gè)方案的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)前者微分的概念描述比較抽象，學(xué)生很難抓住微分的本質(zhì)，對(duì)概念是一知半解，教學(xué)內(nèi)容較多較抽象，諸多理論證明對(duì)于高職學(xué)生來講很難掌握.而在后者方案中，學(xué)生只學(xué)會(huì)了計(jì)算，對(duì)微分的理解和應(yīng)用僅僅停留在表面.在實(shí)際考核過程中，學(xué)生也只會(huì)微分的計(jì)算，機(jī)械地記住了微分的形式，記住了可導(dǎo)、可微、連續(xù)三者的關(guān)系，但是對(duì)微分的本質(zhì)和應(yīng)用不甚了解，不知道介紹微分究竟有何意義.

高職數(shù)學(xué)教學(xué)講究是必需、夠用，那么如何應(yīng)用微分是我們?cè)诮虒W(xué)過程中應(yīng)該處理的重點(diǎn)和關(guān)鍵，在教學(xué)過程中如何強(qiáng)化微分思想和應(yīng)用，是我們需要思考和探討的問題.

3 微分教學(xué)新的設(shè)計(jì)思路

根據(jù)高職學(xué)生的現(xiàn)狀，以及為后續(xù)知識(shí)（級(jí)數(shù)、多元函數(shù)微積分等內(nèi)容）的學(xué)習(xí)作鋪墊，我們?cè)O(shè)計(jì)了以下教學(xué)方案.

3.1 首先給出微分的簡單定義，讓學(xué)生先了解微分的形式

定義1 設(shè)y=f(x)是一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，則稱f'(x)dx為函數(shù)y=f(x)的微分，記作dy，即dy=f'(x)dx.

注：微分dx是一獨(dú)立變量，即可以是任意一個(gè)數(shù).若給定dx一個(gè)特殊值，x是f的定義域中的特殊點(diǎn)，那么dy即可確定，也就是說變量dy是因變量，它既依賴于x，又依賴于dx.

3.2 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式讓學(xué)生推導(dǎo)得出相應(yīng)的微分公式如

其中u和v都是關(guān)于x的函數(shù).

注：這部分內(nèi)容可以將側(cè)重點(diǎn)放在微分的逆運(yùn)算上，為后面積分的計(jì)算打下基礎(chǔ).

3.3 用微分討論函數(shù)的改變量，讓學(xué)生參與討論、思考

問題引入：假設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，a是定義區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)處a+dx，函數(shù)值的改變會(huì)有多大？

特殊情況：對(duì)于函數(shù)y=f(x)=x，將a移動(dòng)到a+dx，函數(shù)值的改變量為Vy=Vx=dx，這說明自變量的微分就是自變量的改變量.

圖1

如圖1，曲線y=f(x)上點(diǎn)a，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，y=f(x)在x=0處的切線為L，則直線L的方程是L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).易見直線L在點(diǎn)a的附近與f的圖形很接近，L(x)給出了f(x)很好的近似，也就是L(x)是f(x)在a處的線性化，是f(x)在a處的線性近似.

注：如果函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，那么近似函數(shù)

就是f(x)在x=a處的線性化.

從而得出微分的幾何意義：當(dāng)dx(Vx)很小時(shí)，df就是f線性化的變化，即Vf≈df.因此從幾何角度來講，在點(diǎn)a的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段，這是高等數(shù)學(xué)中非常重要的以直代曲的思想.

3.4 現(xiàn)考查微分近似中的誤差

對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)x從a變化到a+dx時(shí)會(huì)有兩個(gè)量描述變化：

精確的改變量：Vf=f(a+dx)-f(a)，近似變化：df=f'(a)dx，那么df近似Vf究竟有多好？也就是兩者的誤差有多少？

3.5 最后結(jié)合教材中給出微分的定義，兩定義實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一

定義2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，a及a+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的改變量Δy=f(a+Δx)-f(a)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴于Vx的常數(shù)，而o(Δx)是比Vx高階的無窮小，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)a可微，而AVx稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)a相應(yīng)于自變量改變量Vx的微分，記作dy，即dy=AVx

注：當(dāng)A≠0，且|Vx|很小時(shí)，dy稱為Vy的線性主部，即Δy≈dy

而由前面分析得Vf=df+εVx，εVx是一個(gè)高階無窮小量，定義2中的A就是f'(a)，這樣微分的兩個(gè)定義就實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一.

3.6 新的設(shè)計(jì)方案的特點(diǎn)

在整個(gè)教學(xué)過程中鼓勵(lì)學(xué)生直觀形象、解析和數(shù)值地思考和討論問題，按照循序漸進(jìn)的原則，從形象到抽象，將微分的兩種定義相結(jié)合，解決了之前的矛盾，讓學(xué)生更深刻地理解微分的概念和以直代曲的數(shù)學(xué)思想，并能充分了解微分的應(yīng)用，將應(yīng)用蘊(yùn)含整個(gè)教學(xué)過程中，同時(shí)數(shù)值計(jì)算的思想為后面級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)，線性近似的思想為二元函數(shù)微積分中全微分的學(xué)習(xí)、概念的理解及其應(yīng)用作了很好的鋪墊.

在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，目前還是側(cè)重于介紹一些解題技巧和解題訓(xùn)練，比如極限計(jì)算、導(dǎo)數(shù)計(jì)算、積分計(jì)算，教學(xué)中比較重視形式化與程序化的知識(shí)，對(duì)概念的圖像和數(shù)值的表征方式重視不夠，學(xué)生的計(jì)算能力在中學(xué)中已經(jīng)有了比較多的訓(xùn)練，因此在高職教學(xué)中應(yīng)側(cè)重核心概念的教學(xué)和加強(qiáng)應(yīng)用方面能力的培養(yǎng)，更深刻地理解某些重要的概念，從而讓學(xué)生能利用微積分的思想去解決一些實(shí)際問題.

〔1〕陸宗斌.高職應(yīng)用數(shù)學(xué)（第二版）[M].大連理工大學(xué)出版社，2010.

〔2〕芬尼，韋爾，焦?fàn)柈?dāng)諾.托馬斯微積分[M].葉其孝等譯.高等教育出版社，2003.

〔3〕黃非難，王巧云.高職高等數(shù)學(xué)中的微分教學(xué)探討[J].中國西部科技，2009，8（35）.

〔4〕高雪芬，鮑建生.大學(xué)生對(duì)微分概念的理解及認(rèn)知方式分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）.

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