趙金輝

（曲阜師范大學 圖書館，山東 曲阜 273165）

隨機算子存在隨機不動點的充分條件

趙金輝

（曲阜師范大學 圖書館，山東 曲阜 273165）

本文利用隨機拓撲度理論研究隨機凝聚算子，在某些邊界條件下得到隨機凝聚算子的隨機不動點存在性.作為特例，得到確定性凝聚算子的不動點，減弱了已知文獻中相關定理的條件.

隨機凝聚算子；隨機拓撲度；隨機不動點

1 引言與主要結(jié)果

隨機不動點問題是隨機泛函分析的重要研究方向，而隨機拓撲度是研究隨機不動點問題的基本方法.關于隨機不動點的存在性近期有很多研究，見[1-5]及其參考文獻.因為隨機凝聚算子包含了隨機全連續(xù)算子為其特殊情形，所以本文僅對于隨機凝聚算子給出存在隨機不動點的充分條件.作為特例，得到相應邊界條件下的確定性算子不動點定理，這個特例是已知文獻結(jié)果的改進.

定理1.1 關于確定性凝聚算子的推論2.1減弱了[6]中主要定理的條件.已知文獻中有關邊界值條件下算子不動點問題，多數(shù)都是假定其范數(shù)的指數(shù)α≥1或者α＞1，文獻[2]中定理4、定理5是邊界條件中范數(shù)指數(shù)α∈(0,1)的情況，本文定理1.2中假定α∈(0,1)本文內(nèi)容豐富了隨機算子不動點的內(nèi)容.

假定 (Ω,Σ,μ)為完全的概率測度空間，(E,||·||)為可分Banach空間(即Polish空間)，(E,B)為可測空間，其中B為E的一切Borel子集的σ-代數(shù).稱映象x∶Ω→E為E-值隨機變量，若對任意S∈B，集合{ω∈Ω|x(ω)∈S}∈Σ.算子A∶Ω× E→E稱為隨機算子，若對任意的x∈E,A(ω,x)為E-值隨機變量.

定義1.1 設A∶Ω×E→E是隨機凝聚算子，f=I-A，對幾乎所有的ω∈Ω,p∈Ef(ω,?D)滿足τ(ω)=d(p,f(ω,?D))=infx∈?D||f (ω,x)-p||＞0,則對于幾乎所有的ω∈Ω，degLS(f(ω,·),D,p)有意義，用下列概整值函數(shù)定義隨機凝聚算子的隨機拓撲度：

DegR(f(ω,x),D,p)=degLS(f(ω,x))|Ω0,a,s,on,Ω.

其中Ω0={ω|A(ω,·)是凝聚算子,p∈Ef(ω,?D)},μ(Ω0)=1,f (ω,x)|Ω0表示f(ω,x)在Ω0上的限制.

隨機拓撲度DegR(f(ω,x),D,p)具有L--S拓撲度的基本性質(zhì)，如正規(guī)性、同倫不變性、可解性、邊界值性質(zhì)等.參見文獻[7,8].

下述兩個定理是本文的主要結(jié)果.

2 定理1.1的證明與推論

不妨設A(ω,x)在?D上沒有不動點，否則結(jié)論已成立.我們令

下面證明

由θ∈D知道

由A(ω,x)在?D上沒有不動點知道

假若存在t0∈(0,1),x0∈?D使得ht0(ω0,x0)=θ，可以寫成為，將此式代入(1.1)式得到

這等價于

下面我們證明(2.5)式是不可能的.我們令

考察函數(shù)

由于

f(u)在[1,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù).又由(2.6)與(2.7)知道f (1)=2α-α-1＞0,故當u≥1時，f(u)≥f(1)＞0，于是有不等式

由于t0∈(0,1)于是(2.5)式與(2.8)式矛盾,此矛盾說明(2.5)是不可能的.由此知道

綜合(2.3)(2.4)(2.9)知道(2.2)成立.從而由(2.1)與隨機拓撲度的同倫不變性、正規(guī)性知道

當定理1.1中的算子A為確定性算子時，相應的結(jié)論仍成立，即為下述的推論.

推論2.1 設D?E是有界開集，θ∈D，A∶Ω×D→E是凝聚算子，且滿足下式：

注1 條件(2.10)減弱了[6]中定理1的條件b)，于是推論2.1減弱了[6]中主要定理的條件.

3 定理2.1的證明與推論

不妨設A(ω,x)在?D上沒有不動點，否則結(jié)論已成立.我們令

下面證明

類似于定理1.1的證明得到

假若存在t0∈(0,1),x0∈?D使得ht0(ω0,x0)=θ，可以寫成為，將此式代入(1.2)式得到

這等價于

下面我們證明(3.4)式是不可能的.我們令

綜合(3.3)(3.5)知道(3.2)成立.容易驗證同倫不變性的其它條件滿足，從而由(3.1)及同倫不變性、正規(guī)性知道

于是由可解性知道A(ω,x)在D內(nèi)必有隨機不動點.

當α=1時，由定理1.2我們得到下述便于使用的推論.

推論3.2 設D?E是有界開集，θ∈D，A∶Ω×D→E是隨機凝聚算子，且滿足下式

注2 推論3.2是著名的Rethe不動點定理的隨機形式.

〔1〕王梓坤.隨機泛函分析引論.數(shù)學進展，1962（5）：45-47.

〔2〕李國楨，許紹元.關于隨機非線性算子的若干定理，數(shù)學進展，2006，35(6)：721-729.

〔3〕李興昌，趙增勤.一類隨機減算子隨機不動點存在唯一性定理及應用.數(shù)學物理學報，2012，32A(2)：373-378.

〔4〕朱傳喜.隨機算子的若干新結(jié)果.應用數(shù)學，2002，15(4)：34-37.

〔5〕張國娟，劉穎范.全連續(xù)隨機算子的邊界不動點定理，應用數(shù)學，2012，25(4)：760-763.

〔6〕張國娟，劉穎范，施慶生.非自包含不動點定理及其在投入產(chǎn)出方程中的應用.應用數(shù)學學報，2010，33(3)：509-513.

〔7〕Li Guozhen,Chen Yuching,On random topological degree and some random fixed point theorems,數(shù)學物理學報，1993，13(4)：391-398.

〔8〕盧同善.隨機泛函分析及其應用.青島海洋大學出版社，1990.

O177.91

A

1673-260X（2013）11-0001-02

山東省自然科學基金資助項目(ZR 2012AQ 024,ZR 2012AM 006)