續(xù)小磊，馮秀芳

寧夏大學 數學計算機學院，銀川 750021

求解帶有間斷系數泊松方程的修正有限體積

續(xù)小磊，馮秀芳

寧夏大學 數學計算機學院，銀川 750021

1 引言

界面問題在現實生活中有很多實例，如靜電、流體動力學、熱傳遞等。在這里考慮下面的橢圓型界面問題：

區(qū)域Ω被界面Γ分為幾個子區(qū)間Ωi，假設擴散系數K在每一個子區(qū)間內是連續(xù)的，在界面處是不連續(xù)的。流過界面的通量是光滑連續(xù)的，記為-K?u·n，此處n是界面處的單位向量。通常把系數間斷處稱為界面。在本文中，得出一個求解二階橢圓界面問題的新的差分格式。

有限體積方法是求解偏微分方程的一種新的數值方法，它是結合有限差分方法與有限元方法產生的，它既有有限差分方法的簡單性又具備有限元方法的高精度性。具有離散模板結構緊湊、較好的精確度和局部離散守恒等獨特性質。在所有的這些離散化方法中，它們假定的擴散系數的跳躍與有限元分區(qū)相結合。這意味著，擴散系數在每個區(qū)間內是足夠光滑的，跳躍只可能發(fā)生在每個有限元邊界。文獻[1]對有限體積法做了詳細的介紹。有限體積學者早期的工作主要集中在標準的對偶剖分，如利用三角形網格和四邊形網格生成精確的近似值（見文獻[2-6]）。有限體積法被廣泛應用于計算流體力學和熱傳遞（如文獻[7-11]）。在文獻[12]中，shashkov將逼近平衡方程的思想擴展到更大范圍的微分算子。這種新的方法已經影響了離散算子相應的微分算子以及具有相同性質的其他算子。

具有間斷系數或間斷解的橢圓型方程經常出現在自然模型問題中，如表面張力具有跨越界面的壓力或壓力梯度的可壓縮兩相流；零馬赫數預混燃燒在動態(tài)壓力和壓力梯度的火焰的投影方法；不同熱容量和導熱系數擴散材料之間界面的熱傳導過程等。M.Oevermann在文獻[13]中給出了一個針對具有尖銳界面的三維變系數橢圓方程的二階有限體積方法，該方法在界面上使用標準的分段線性有限元區(qū)間和雙分段擬線性區(qū)間，界面的求解使用一個27點模板，由此產生的線性方程組采用BICGSTAB求解代數多重網格的辦法進行預處理與解決。在各種測試中，包括大比例和非光滑界面的情況下實現了在L2范數和 L∞范數下的二階精度。文獻[14]中的浸入界面方法是利用有限體積法在笛卡爾網格下求解變系數二階橢圓型方程，其主要思想是使用解決方案的分段多項式表示一個雙網格，避免界面配置之間的區(qū)別，該方法利用九點格式，能達到二階精度。R.Ewing在文獻[15]中對經典的有限體積方法[3]進行了修正，新的方案中通量在界面處的分量是光滑的。數值實驗表明，R.Ewing的方法比經典的有限體積方法更有效，解與通量在H1范數下均能達到二階精度。本文利用R. Ewing的思想，對經典的有限體積方法作了進一步的改進，得到的結果比R.Ewing的方法更為精確。新的方案中通量在界面處的階段誤差能達到和光滑處同樣的二階精度，而且為了提高對調和平均系數的計算精度，采用了辛普森方法對其積分運算。

2 網格剖分

首先給出一個標準的網格劃分x0=0，x1=2，=1，xi=+h=2，3，…，N )。在這里，h=1N，N代表網格劃分的個數。需要指出的是x0=0和xN+1=1也是網格中的點，不同于其他網格點的地方是它們與相鄰的網格點之間的距離是，這種位移網格對Dirichlet邊界條件不是很方便，但是如果邊界條件中包含通量F，那么這種網格是十分方便和利于計算的。內部網格點可以認為是這樣一個控制體的中心：

3 有限體積離散

給定的橢圓方程（1）重寫后可得：

本文的結論基于如下兩個假設：

有限體積的思想就是在控制體Si內建立平衡方程，將

但是由于兩個特殊的內點x1和xN與相鄰的邊界點的距離是，所以在這兩點處的差分需要特殊處理。結合式（16）和（4）得到逼近方程（2）的差分格式：

注 在式（17）中，需要指出以下幾點：

（1）用因子1.33和1.24分別代替了經典格式中的因子1。換成新的因子后通量在x=0和x=1處能達到二階精度。

4 數值實驗

為了驗證新格式的優(yōu)越性，下面進行數值實驗，將與兩種已知的格式進行對比：

（2）文中提到的Samarskii的經典格式，本文將它命名為SHA格式。新的格式用NHA格式來標記。

各種格式的結果最終用下面兩種范數進行對比，分別是C-范數和L2范數：

由表1容易看出，新的方案和SHA格式都具有二階精度，但是新格式的收斂速度更快。AA格式為一階精度，收斂速度相對較慢。

表1 C-范數

從表2中可以看出，AA格式達不到一階精度，SHA和新格式都可以達到一階以上的精度，但是新格式的誤差更小，逼近精確解的效果更好。

從圖1～3中不難看出，新的格式（NHA）不論在粗網格還是細網格的情況下都能得到很好的逼近。SHA在網格很細密的時候才能較好地逼近精確解，AA格式在粗網格下幾乎不能反映精確解，而且精確度較低。

表2 L2-范數

圖1 例1在網格點為6時AA格式

圖2 例1在網格點為6時SHA格式

圖3 例1在網格點為6時NHA格式

5 結論

修正經典的有限體積法得到了一種新的求解間斷系數橢圓方程的差分格式，無論在網格劃分較粗或較細的情況下都能對精確解進行很好的逼近。進一步的工作是將該方法從一維格式推廣到二維、三維格式，同時考慮將該方法推廣到非線性問題。

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XU Xiaolei,FENG Xiufang

College of Mathematics and Computer,Ningxia University,Yinchuan 750021,China

In this paper,a new modified finite volume method is presented to solve the elliptic equations with discontinuous coefficients.This method allows discontinuities of the solution and normal derivatives on the interface inside the domain on a Cartesian grid.From experiment results,this scheme is second-order point-wise convergence and approximates the fluxes to second-order accuracy.At the same time,the numerical results show that the new scheme is much more accurate than the known schemes which use arithmetic and harmonic averaging in solving interface problems,especially in the cases of large jumps of coefficient.

finite volume method;elliptic equations with variable coefficients;interface problem

利用修正的有限體積方法求解帶有間斷系數的泊松方程，改進是對基于笛卡爾坐標系下的調和平均系數進行的。數值實驗表明新格式二階逐點收斂并且在界面處具有二階精度，新方法較已有的求解不連續(xù)擴散系數的算術平均法和調和平均法，特別是在系數跳躍較大的情況下更具優(yōu)勢。

有限體積方法；變系數橢圓方程；界面問題

A

O241.82

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0203

XU Xiaolei,FENG Xiufang.New modified finite volume approximation of elliptic equations with discontinuous coefficients.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：35-38.

國家自然科學基金（No.11161036）。

續(xù)小磊（1986—），男，研究生，主要從事偏微分方程數值解方面的研究；馮秀芳（1975—），女，博士，教授，主要從事偏微分方程數值解方面的研究。E-mail：xuxiaoxiaolei123@163.com

2013-05-16

2013-07-25

1002-8331（2013）23-0035-04

CNKI出版日期：2013-08-22 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130822.1439.015.html