王新長，劉滿鳳，歐陽培昌

1.江西財經(jīng)大學 信息管理學院，南昌 330013 2.井岡山大學 數(shù)理學院，江西 吉安 343009

具有反射群對稱性的球面圖案自動生成

王新長1，2，劉滿鳳1，歐陽培昌2

1.江西財經(jīng)大學 信息管理學院，南昌 330013 2.井岡山大學 數(shù)理學院，江西 吉安 343009

利用計算機技術(shù)自動生成藝術(shù)圖案是一個實用的新興課題，借助迅猛發(fā)展精工技藝（如激光噴墨、3D打印等），其研究結(jié)果可以廣泛地應(yīng)用到壁紙、瓷磚、包裝材料、紡織等與裝飾領(lǐng)域有關(guān)的行業(yè)，生成美觀的工藝品，不僅可以滿足人們對于美的追求與賞析，而且具有可觀的經(jīng)濟價值。

球面圖案指的是單位球面 S2={(x，y，z)∈R3|x2+y2+ z2=1}上具有對稱結(jié)構(gòu)的球面拼貼（tilings）[1]。關(guān)于球面圖案的分類，文獻[2]給予了詳盡而嚴密的討論。Breda等人自20世紀90年代初，一直致力于球面拼貼的探索，獲得了一系列重要的球面拼貼分類，其研究結(jié)果可在文獻[3]中列出的文獻進一步了解到。

歐氏空間是人們最熟悉的空間，文獻[4-5]研究了歐氏平面上的藝術(shù)圖案自動生成。盡管雙曲對稱圖案比較奇特，但雙曲藝術(shù)圖案的研究比較豐富，其諸多實現(xiàn)方法可參考文獻[6]及其列出文獻。與歐氏或雙曲幾何空間相比，探討球面幾何空間中球面藝術(shù)圖案生成的研究不多。荷蘭藝術(shù)家Escher憑借他非凡的藝術(shù)造詣，在球面上完成過幾幅極具欣賞價值的球面木雕[7]。Yen等人在文獻[8]中發(fā)展了一套人工交互的半自動化設(shè)備，用于生成簡單的球面圖案。

文獻[9]是首篇借助計算機來生成球面圖案的研究論文，基于動力系統(tǒng)與群論工具，Chung等給出了生成球面圖案自動化方法。Reitor在文獻[10-12]中研究了具有正多面體對稱性混沌吸引子的生成。Chung和Reitor的論文中采納了一種被稱為等變映射的方法，該方法具有以下缺點：（1）映射構(gòu)造困難；（2）可供選擇的映射類型受到較大的限制；（3）群的階數(shù)是制約這類方法的瓶頸。有鑒于此，本文借鑒有限反射群不變式論的相關(guān)結(jié)果，通過引入從不變論的經(jīng)典結(jié)果來解決等變映射方法所面臨的困難。這種策略不僅可以繞過對稱群階數(shù)這一制約瓶頸，且可以類似地推廣到高維歐氏空間上。

1 三維歐氏空間中反射對稱群的生成元

正多面體具有反射群對稱性，關(guān)于三維歐氏空間中反射群的討論，許多文獻對這一經(jīng)典結(jié)果有詳細剖析，如文獻[13-15]。因此，本文略去確定這些反射群生成元的討論，而把核心結(jié)果做扼要介紹。

定義1對稱是空間中的等距（或全等）變換，稱所有對稱所構(gòu)成的群為該空間的對稱群。

定義2歐氏空間中，稱由反射變換生成的對稱群為反射群（reflection group）。

定義3群G中的元素 g1，g2，…，gn稱為生成元集，如果G中的每個元素可以表示為這些元素的冪指數(shù)乘積（包括負指數(shù)），記為G=＜g1，g2，…，gn＞。稱G中元素的個數(shù)為G的階，記為|| G。

反射群在群論中值得特別注意的原因有兩個：（1）有一套完備的理論描述它；（2）晶體學中非常重要的點群（point group）是它的子群。三維歐氏空間中的一個經(jīng)典結(jié)論是：給定正整數(shù) p和q，若 p和q滿足：

則S2中有一個球面圖案{p，q}與其相對應(yīng)，該球面圖案具有正多面體反射群對稱性[12]。

本文采用文獻[12]的記法，把球面圖案{p，q}所對應(yīng)的對稱群記為[p，q]。由式（1），三維歐氏空間的反射群共有3個：[3，3]，[3，4]和[3，5]。眾所周知，三維歐氏空間只有5個正多面體，其中正四面體具有[3，3]對稱性，正六面體和正八面體具有[3，4]對稱性，正十二面體和正二十面體具有[3，5]對稱性。設(shè)的三個反射生成元，則

是群[p，q]的一個表現(xiàn)形式[12]，其中I3為單位矩陣。

式（2）可以用來判別三個矩陣是否是群[p，q]的生成元。查閱文獻[9-15]，經(jīng)簡單演算后可確定出群[p，q]的生成元，詳細結(jié)果如下：

（1）群[3，3]的生成元：

2 等變映射法的缺陷

為生成具有正多面體對稱性的藝術(shù)圖案，Chung和 Reitor所使用的方法是流行的等變映射方法，本章分析此方法的缺陷。

定義4設(shè)G是一個對稱群，稱映射F與G是等變的（equivarant），如果F與G是可交換，即，F(xiàn)?γ=γ?F，?γ∈G。

對稱變換具有直觀的幾何意義，要構(gòu)造一個與對稱群的所有對稱變換都可交換的等變映射，這對映射提出了苛刻的要求。當對稱群具有復雜生成元時，在實際中更是難以構(gòu)造，文獻[16]特別對該問題做了詳細論述。有鑒于此，Reitor在構(gòu)造與反射群[p，q]可交換等變映射時，考慮的是簡單的多項式[10，12]。而對于具有復雜生成元的對稱群，如[3，5]的生成元，即使是多項式不變映射也不易建立。Chung和Reitor在文獻[9，11]中運用了一種巧妙的求和技巧，他們構(gòu)造的與[3，5]等變的映射M具有以下形式：

由于群[3，5]的階數(shù)是120，因而式（3）中是一個120項求和構(gòu)造的映射，此時群的階數(shù)成為此類方法的瓶頸（高維歐氏空間的反射對稱群的階數(shù)則更高了）。

從以上分析可知，現(xiàn)有等變映射方法的缺陷主要表現(xiàn)為：（1）構(gòu)造困難；（2）可供選擇的映射類型受到較大的限制；（3）群的階數(shù)是制約這類方法的瓶頸。

3 反射群[p，q]的基底多項式

本章介紹反射群的不變式論，通過引入該領(lǐng)域的相關(guān)結(jié)果，建立可以生成具有[p，q]對稱性球面圖案的映射。

對稱函數(shù)的基本定理是代數(shù)學中最為優(yōu)美的結(jié)論之一：n個未定元的對稱多項式一定可以表示為n個初等對稱多項式的多項式[17]。不變式論（invariant theory）和反射群是目前代數(shù)學中比較活躍的分支，近年來，在Noether，Molien，Shephard，Todd，Chevalley，Steinberg等人的辛勤耕耘下成果卓著。關(guān)于這方面的基本結(jié)果，萬哲先編寫了一本非常好的入門書籍[18]。詳細介紹反射群的不變式論不免偏離本文的主題，因此，對于本文要用到的相關(guān)結(jié)論，在盡可能嚴謹?shù)那闆r下，如何用簡明易懂的方式概述它們是本文所期望達到的目標。

定義5設(shè)G是作用在n維歐氏空間En上的反射群，稱映射M在G下是不變的，若En上的對稱點z和τz在M的映射下相等，即M(z)=M(τz)，?τ∈G。

定理1設(shè) R1，R2和 R3是三維歐氏空間 E3上反射群[p，q]的生成元，若映射M滿足：

則M是關(guān)于[p，q]的不變映射。

證明 依定義，此處需證明 M(z)=M(τz)，?τ∈[p，q]，?z∈E3。?τ∈[p，q]，由于R2和R3是[p，q]的生成元，因此τ可由 R1，R2和 R3表出，注意到===I3，不妨設(shè) τ=Rk1Rk2…Rkn，Rki∈{R1，R2，R3}，且相鄰的 Rki和 Rki+1不相等(1≤i≤(n-1))，?z∈E3，由式（4），M(τ(z))=M(Rk1Rk2…Rkn(z))=M(Rk2…Rkn(z))=M(Rkn(z))=M(z)，結(jié)論得證。

一個自然的問題是：某個多項式，當它要滿足什么條件時是反射對稱群[p，q]的不變映射?眾所周知的空間向量表示定理是：向量空間中任一向量可由一確定基底唯一地線性表出。與此類似，Hilbert于1890年證明了不變論中著名的有限生成定理，該定理稱：若M是有限群G的任一多項式不變映射，則M一定可以表示成若干個齊次多項式不變映射的多項式[17-18]。Hilbert給出的是存在性證明，Noether，Molien，Chevalley，Coxeter等近年來的工作對有限生成定理做了更明確表述[18]。特別地，對于三維空間中的反射群，本文不加證明地把該定理轉(zhuǎn)述為下面的定理2。為方便描述，先給出基底多項式的概念。

定義6設(shè)[p，q]是E3上的反射群，[p，q]的任一多項式不變映射M可以表示成關(guān)于[p，q]不變的三個齊次多項式的多項式，稱這三個齊次多項式是[p，q]的基底多項式。

定理2指明了什么條件下，一組多項式是反射群群[p，q]的基底多項式。基于定理2，本文給出[3，3]，[3，4]和[3，5]的一組基底多項式，分別列出如下：

上面給出的基底多項式，[3，3]和[3，4]的構(gòu)造比較簡單，而[3，5]的基底多項式形式參考了文獻[19]。[3，5]包含一個較復雜的基底多項式，這是因為它具有一個非常復雜的生成元。結(jié)合第1章給出的反射群[p，q]的生成元可以驗證上面構(gòu)造的齊次多項式是關(guān)于不變的。

4 自動生成球面藝術(shù)圖案的不變論方法

有了前面的準備工作后，現(xiàn)在可以描述如何在單位球面S2上生成具有反射群[p，q]對稱性的藝術(shù)圖案。詳細步驟如下：

步驟3考慮r=M2(f1，f2，f3)/R的迭代值，其中R∈[1，10]是由經(jīng)驗給定的常數(shù)。若r＜1，則參數(shù)r用來給點(x，y，z)著色。

注1為使生成的球面圖案更美觀，步驟3中所使用的著色方案是改進的軌跡井（orbit trap）方法，該方法能極大地提高圖案的美觀度，關(guān)于此算法的詳細描述可參考文獻[6，20]。

注2 ?τ∈[p，q]，?(x，y，z)∈S2，則(x，y，z)和 τ(x，y，z)是S2上的對稱點。因為步驟2中構(gòu)造的映射M具有反射群[p，q]不變性，M在這兩個對稱點的處具有相同的迭代序列。因此，對稱點(x，y，z)和τ(x，y，z)在步驟3中將獲取相同的著色參數(shù)r。相應(yīng)地，對稱點(x，y，z)和 τ(x，y，z)點將被賦予相同的顏色。這解釋了為什么生成的球面圖案具有[p，q]對稱性。

注3為了方便生成的球面藝術(shù)圖案，本文借用了Silicon Graphics Company提供的OpenGL三維繪圖包。通過調(diào)節(jié)步驟2中的函數(shù) fi(P1，P2，P3)，可以構(gòu)造無窮無盡的映射M，生成無窮無盡的球面藝術(shù)圖案。圖1～3展出了本文生成的6幅藝術(shù)圖案。

圖1 具有[3，3]對稱性的兩個球面藝術(shù)圖案

圖2 具有[3，4]對稱性的兩個球面藝術(shù)圖案

圖3 具有[3，5]對稱性的兩個球面藝術(shù)圖案

5 結(jié)束語

等變映射是生成對稱藝術(shù)圖案的重要方法，但此類映射構(gòu)造困難，不僅映射形式受到很大限制，而且還受到群階數(shù)瓶頸的限制。本文通過借鑒有限反射群不變論的相關(guān)結(jié)論，給出自動生成球面圖案的不變映射方法。這種策略不僅克服了等變映射方法面臨的問題，而且可以類似地推廣到高維空間中。該方法可生成無窮無盡的球面藝術(shù)圖案。

[1]Grünbaum B，ShephardG C.Tilings andpatterns[M].New York：Freeman，1986.

[2]Grünbaum B，Shephard G C.Patternson the2-sphere[J]. Mathematicka，1981，28：1-35.

[3]Breda A N，Santos A F.Dihedral F-tilings of the sphere by triangles and well-centered quadrangles[J].Hiroshima Math，2006，36：235-288.

[4]魯堅，李文俠，鄒玉茹.Chair Tilings非周期藝術(shù)圖案的生成[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學學報，2006，18（4）：498-501.

[5]魯堅，鄒玉茹.動力系統(tǒng)生成晶體群圓極限分形圖[J].計算機應(yīng)用與軟件，2009，26（8）：18-20.

[6]Ouyang P C，Cheng D S，Cao Y H，et al.The visualization ofhyperbolicpatternsfrom invariantmapping method[J]. Computers&Graphics，2012，36：92-100.

[7]Escher M C.Escher on Escher：exploring the infinity[M]. New York：Harry N Abrams，1989.

[8]Yen J，Séuin C.Escher sphere construction kit[C]//Proceedings of the 2001 Symposium on Interactive 3D Graphics，2001.

[9]Chung K W，Chan H S Y.Spherical symmetries from dynamics[J].Computers&Mathematics with Applications，1995，29（7）：67-81.

[10]Reiter C A.Chaotic attractors with the symmetry of a tetrahedron[J].Computer&Graphics，1997，21：841-848.

[11]Reiter C A.Chaotic attractors with the symmetry of the dodecahedron[J].Visual Computer，1999，15：211-215.

[12]Reiter C A，Brisson G F，Gartz K M，et al.Symmetric attractors in three-dimensional space[J].Chaos，Solitons& Fractals，1996，7（7）：1033-1051.

[13]Coxeter H S M.Discrete groups generated by reflections[J]. Ann of Math，1934，35：588-621.

[14]Coxeter H S M.Regular polytopes[M].3rd ed.New York：Dover，1973.

[15]Humphreys J E.Reflection groups and Coxeter groups[M]. Cambridge：Cambridge University Press，1992.

[16]Field M，Golubitsky M.Symmetry in chaos[M].New York：Oxford University Press，1992.

[17]Benson D J.Polynomial invariant of finite groups[M]//London mathsoclecturenotesseries.Cambridge：Cambridge University Press，1993.

[18]萬哲先.有限反射群的不變式論[M].上海：上海交通出版社，1997.

[19]Mehta M L.Basic sets of invariant polynominals for finite reflection groups[J].Comm Algebra，1988，16：1083-1098.

[20]Lu J，Ye Z X，Zou Y R，et al.Orbit rendering method for generating artistic images with crystallographic symmetries[J]. Computer&Graphics，2005，29：787-794.

WANG Xinchang1，2,LIU Manfeng1,OUYANG Peichang2

1.School of Information Management,Jiangxi University of Finance and Economics,Nanchang 330013,China 2.School of Mathematics&Physics,Jinggangshan University,Ji’an,Jiangxi 343009,China

Equivariant mapping method is not only difficult to be implemented,but also constrained by the order of symmetry group.Drawn on the experience of the invariant theory of finite reflection group,this paper proposes an invariant mapping method to yield aesthetical spherical patterns and establishes a method to create infinite spherical patterns automatically.This method not only is easy to be implemented,but also can be extended to deal with the cases in the higher dimensional spaces.

finite reflection group;regular solids;invariant theory;invariant mapping

等變映射方法在生成藝術(shù)圖案中具有構(gòu)造困難，受對稱群階數(shù)瓶頸限制等缺點。借鑒有限反射群不變論的結(jié)論，提出不變映射方法生成具有正多面體反射群對稱性的球面藝術(shù)圖案，建立了一種可生成無窮無盡球面圖案的自動化方法。該方法不僅實施容易，且可類似地推廣到高維空間中。

有限反射群；正多面體；不變論；不變映射

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1307-0149

WANG Xinchang,LIU Manfeng,OUYANG Peichang.Automatic generation of aesthetical spherical patterns.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：27-30.

國家科技支撐計劃課題（No.2012BAC11B01）；國家自然科學基金（No.70961002）；江西省教育廳科學技術(shù)研究項目（No.GJJ10535）。

王新長（1971—），男，博士研究生，副教授，主研方向為計算機圖形學；劉滿鳳（1964—），通訊作者，女，博士，教授，博士生導師，主研方向為計算機圖形學；歐陽培昌（1981—），男，博士，講師，主研方向為計算機圖形學。E-mail：wangxinchang@163.com

2013-07-11

2013-11-04

1002-8331（2013）23-0027-04

◎理論研究、研發(fā)設(shè)計◎