石寶樞，姜大杰

(浙江眾達傳動股份有限公司，浙江 金華 321025)

等速萬向節(jié)傳動軸總成的應力分析、載荷計算和結構設計是一項較復雜的系統(tǒng)工程。設計者總希望作出最優(yōu)的設計方案，使所設計的傳動軸總成具有最好的使用性能和最低的制造成本，以獲得綜合的、最佳的技術經(jīng)濟效益。而等速萬向節(jié)傳動軸總成的核心部分——球籠式等速萬向節(jié)，要求在滿足各種使用性能和可靠性的前提下，有最小的幾何尺寸、空間體積、質量和最低的材料消耗，以利于主機的總體布置，使承載扭矩、壽命、可靠性、結構主參數(shù)等實現(xiàn)科學、合理的匹配。

現(xiàn)在廣泛應用的傳統(tǒng)六溝道球籠式等速萬向節(jié)的設計仍然停留在測繪國外樣品的逆向設計階段。經(jīng)系統(tǒng)、深入的機理分析，并由試驗和長期的使用結果證明，由此設計的等速萬向節(jié)至少存在如下不足：(1)由于沒有經(jīng)過優(yōu)化設計，主要零件間接觸應力和壽命相差懸殊，可靠性較低；(2)幾何尺寸過于龐大，若用于汽車等速萬向節(jié)傳動軸總成，會使整車的前橋布置出現(xiàn)困難；(3)質量較大，材料消耗較多，經(jīng)濟性差；(4)為使應力平衡，只能盲目地增加某個零件的幾何尺寸，出現(xiàn)總體外形尺寸再次加大的不合理現(xiàn)象。

下文通過對球籠式等速萬向節(jié)接觸應力的分析與計算，進而對其結構進行創(chuàng)新設計，在保證滿足工作要求的前提下，有效減輕了萬向節(jié)的質量。

1 兩回轉體間的接觸應力分析與計算

兩回轉體在未受載荷時呈點接觸狀態(tài)，當其受法向載荷P的作用后，接觸點處由于局部變形而呈橢圓面的接觸。由微分幾何知，曲面上某點沿不同方向的曲率是不同的，其最大值和最小值稱為主曲率，所在的平面為主平面。

兩回轉體接觸時的主平面與曲率半徑如圖1所示。設κ11，κ21分別為回轉體1，2通過接觸點處的最大曲率；κ12，κ22分別為回轉體1，2通過接觸點處的最小曲率；φ為κ11和κ21所在的主平面之間的夾角，其值與回轉體的相對位置有關；A，B，C為與兩回轉體主曲率和變形性質有關的常數(shù)。則接觸橢圓的方程為[1]

Ax2+By2=C，

(1)

(2)

(3)

κd=κ11+κ12+κ21+κ22，

(4)

κΔ1=κ11-κ12，

(5)

κΔ2=κ21-κ22，

(6)

式中：κd為曲率和。

圖1 兩滾動體接觸時的主平面與曲率半徑

當曲率中心在回轉體內部(凸曲面)時，對應的曲率為正；反之，當曲率中心在回轉體外部(凹曲面)時，對應的曲率為負。球籠式等速萬向節(jié)中涉及的回轉體的2個主平面是正交的，且相接觸的兩回轉體的對應主平面的夾角φ=90°。

兩回轉體接觸時的應力分布如圖2所示。由彈性力學知，點接觸回轉體的法向接觸應力在接觸橢圓上按半橢球分布，橢圓中心(初始接觸點)處的接觸應力最大，最大接觸應力σH及接觸區(qū)內的任意點(x，y)處的接觸應力σH(x，y)分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：ν1,ν2分別為回轉體1，2材料的泊松比；E1，E2分別為回轉體1，2材料的彈性模量，MPa；n1，n2為與接觸點各曲率有關的系數(shù)；a，b為接觸橢圓的長、短半軸，mm。

圖2 兩回轉體接觸時的應力分布

2 球籠式等速萬向節(jié)的接觸應力分析

由于球籠式等速萬向節(jié)鐘形殼、星形套、鋼球等主要零件均由鋼質材料制成，一般ν1=ν2=0.3，E1=E2=208 GPa，因此，球籠式等速萬向節(jié)中兩接觸回轉體的最大接觸應力為

(11)

(12)

(13)

式中：Dw為鋼球直徑。

兩回轉體的總變形量

(14)

式中：n1，n2，KP由曲率系數(shù)cosτ查文獻[1]表3-19得到。

(15)

當φ=90°時，則有

(16)

球籠式等速萬向節(jié)的工況是鐘形殼和星形套溝道均同時與鋼球共軛接觸，星形套承受的應力最大[2]，是薄弱環(huán)節(jié)；因此，只需計算星形套的接觸應力并對其進行強度校核即可。

鋼球與星形套和鐘形殼的接觸原理如圖3所示。單個鋼球承受的法向載荷P與轉矩T的關系為

(17)

式中：Z為鋼球數(shù)；α為鋼球與溝道的接觸角，(°)；R為球組節(jié)圓半徑，mm。

圖3 鋼球與星形套和鐘形殼的接觸

鋼球與星形套的曲率和κd為

(18)

(19)

(20)

式中：XL,XP分別為溝道縱(沿軸線)、橫(垂直于軸線)截面的相似度；ε為偏心角，一般ε=8°～9°，常取ε=8.5°；f為鋼球與星形套溝道的貼合系數(shù)，一般f=1.03～1.05；rij為第i(i=1,2)個回轉體在第j(j=1,2)個主平面內的曲率半徑。

則星形套的最大接觸應力為

(21)

(22)

(23)

鋼球與星形套間的總變形量δ0為

(24)

由于球籠式等速萬向節(jié)的鋼球與星形套和鐘形殼均為點接觸，基本是靜態(tài)運轉工況，其許用接觸應力[σH]和永久變形量δ1間的經(jīng)驗關系式為

(25)

在最大接觸應力處應滿足

(26)

[σH]的計算值與文獻[1]表3-20的值有誤差時，取較大值。

因此，靜態(tài)許用轉矩[T]可由下式得到

(27)

3 實例計算

某球籠式等速萬向節(jié)，已知Dw=18.256 mm，Z=6，R=32.25 mm，α=45°，ε=8.5°，f=1.04。試求其靜態(tài)許用轉矩[T]及其在T=1 200 N·m時的最大接觸應力及對應鋼球直徑的約束條件。

(1)靜態(tài)許用轉矩的計算。將上述參數(shù)分別代入(19)式和(20)式，得

XL=0.246 8，XP=-0.961 5。

由(23)式得曲率系數(shù)為

cosτ=0.940 09，

由文獻[1]表3-19查得n1n2=1.58。

由(22)，(25)～(26)式(δ1/Dw=1×10-4)得靜態(tài)許用接觸應力為

[σH]=4 178 MPa。

由(27)式得靜態(tài)許用轉矩為

[T]=3 142 845(N·mm)≈3 143 N·m。

(2)T=1 200 N·m時的最大接觸應力及對應鋼球直徑約束條件的求解。由(21)式得最大接觸應力為

σH=3 031(MPa)<[σH]。

由(21)式得鋼球直徑的約束方程為

(28)

式中：Tc為計算轉矩，一般Tc=1.67T。因此， 這里Tc=2.004×106N·mm。

若鋼球數(shù)Z=6，由(28)式得鋼球直徑的約束條件為

若鋼球數(shù)Z=7，由(28)式得鋼球直徑的約束條件為

13.496(mm)。

4 鋼球數(shù)(溝道數(shù))的優(yōu)化

4.1 鋼球數(shù)對載荷的影響

基于上述實例，如果鋼球直徑不變，僅改變鋼球數(shù)量(鋼球數(shù)由6粒改為7粒)，可使靜態(tài)許用轉矩提高16.67%。

若額定轉矩不變，鋼球數(shù)由6改為7，顯然鋼球直徑減小7.4%，殼體外徑減小7.4%，可使球籠式等速萬向節(jié)總質量減小20%。

4.2 鋼球數(shù)對幾何結構設計的影響

若僅考慮鋼球一個因素，鋼球直徑越大，數(shù)量越多，球籠式等速萬向節(jié)承載能力越大。但由于受到空間和尺寸的限制，鐘形殼、星形套及保持架相互制約和影響；因此必須使鋼球直徑和數(shù)量實現(xiàn)科學、合理、最佳的匹配，從而使整個球籠式等速萬向節(jié)的綜合性能達到最優(yōu)。

星形套溝道的截面如圖4所示。由于鋼球的主要功能是傳遞扭矩，顯然，當星形套溝道的凹面面積Si與對應的凸面面積Se相等或接近時，才是最優(yōu)化的幾何設計效果。

圖4 星形套溝道截面

現(xiàn)以上面計算實例中的球籠式等速萬向節(jié)星形套為例，對Si和Se分別進行求解(圖5)。

圖5 星形套某溝道截面面積的求解原理圖

已知鋼球直徑Dw=18.256 mm，溝道截面為圓弧形，其半徑R1=9.22 mm,球組節(jié)圓直徑為64.5 mm，顯然溝道中心半徑為

Ri=64.5×0.5+9.22-18.256×0.5=

32.342(mm)。

星形套外球面直徑為59 mm，溝道與外球面偏心距為4.8 mm，則通過溝道中心的截面為橢圓，由于偏心距與外球面直徑相差較大，可視通過溝道中心的截面為圓，其半徑約為

溝道截面圓弧R1=9.22 mm與R2=29.9 mm圓弧的交點A，B可由如下方程組求得

解之得A，B的坐標分別為(-8.461，28.678)，(8.461，28.678)，單位為mm。

則θ=2arctan(8.461/28.678)=32.876°，θ1=2arctan[8.461/(32.342-28.678)]=133.170°。

則弓形ACB，AEB的面積S1和S2分別為

28.678)=67.789(mm2)。

所以，Si=S1+S2=13.844+67.789=81.633(mm2)。

如圖4所示，通過星形套溝道中心的外球面截面可近似為圓，若干溝道底部最低點組成另一個圓，這2個同心圓組成的圓環(huán)面積為

S=π[29.92-(32.342-9.22)2]=

1 129.035(mm2)。

(31)

若Z=6，則Se=106.540(mm2)；

若Z=7，則Se=79.658(mm2)；

若Z=8，則Se=59.496(mm2)。

由此計算分析可知，只有當Z=7時，Se與Si最接近，即只有鋼球數(shù)(溝道數(shù))Z=7時，球籠式等速萬向節(jié)的設計結果最優(yōu)。

注意到，目前出現(xiàn)了八溝道球籠式等速萬向節(jié)的少量產(chǎn)品。經(jīng)系統(tǒng)、準確的分析和驗證，有如下主要缺陷：(1)若鋼球直徑不變，Se與Si相差懸殊，顯然，星形套和鋼球接觸應力和壽命嚴重不平衡；(2)保持架的外形尺寸一定，由于幾何布置的原因，必然導致8個均布的窗孔長度過小，影響鋼球的工作行程，使球籠式等速萬向節(jié)的極限轉角較?。?3)若要改變這種狀況，只有將鋼球直徑大幅度減小，但相應的保持架壁厚過小，沖擊時易碎；(4)額定載荷過小，滿足不了球籠式等速萬向節(jié)的壽命和可靠性等要求。所以，8個鋼球不是最優(yōu)化的設計結果，八溝道球籠式等速萬向節(jié)不是最佳的選擇。

5 結束語

經(jīng)過上述的分析、計算和優(yōu)化設計，創(chuàng)新設計出了一種全新的七溝道球籠式等速萬向節(jié)，是等速萬向節(jié)傳動軸產(chǎn)品和技術的重大突破。經(jīng)各種性能試驗表明，性能、壽命、可靠性等主要技術和質量指標較六溝道球籠式等速萬向節(jié)顯著提高，與上述分析、計算的結果非常吻合。與此同時，實現(xiàn)了產(chǎn)品的輕量化設計，獲得了理想的、綜合的技術經(jīng)濟效果。