于曉凱，劉凱歌 ，趙春江，孫北奇，謝鵬飛

(1．洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；2．太原科技大學(xué)，太原 030024)

高速電動(dòng)機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械主軸中常采用的高速角接觸球軸承承受的徑向力與軸向力相比很小，因此，軸承受力模型可以簡(jiǎn)化為純軸向受載模型。高速角接觸球軸承的動(dòng)態(tài)特性如接觸角、軸向變形量和剛度會(huì)影響高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械的性能；因此計(jì)算不同軸向力下高速角接觸球軸承的實(shí)際接觸角、軸向變形量和軸向剛度意義重大。其計(jì)算方法通常采用Harris方法，但這種方法需要求解非常復(fù)雜的非線性方程，直接求解很困難[1]，計(jì)算精度也很難達(dá)到要求。文中將實(shí)際接觸角設(shè)定為迭代基本變量，分析高速角接觸球軸承軸向受力工況下的動(dòng)態(tài)方程組，將非線性方程組的參數(shù)由原來(lái)的7個(gè)減少為2個(gè)，簡(jiǎn)化了計(jì)算。

1 求解方程的簡(jiǎn)化

求解角接觸球軸承的動(dòng)態(tài)特性需要從接觸變形入手，建立軸承的幾何方程、變形方程、球平衡方程、套圈平衡方程，包括6Z+2(Z為球數(shù))個(gè)方程，再建立包括離心力、陀螺力矩、接觸角等在內(nèi)的輔助方程組，應(yīng)用Newton-Raphson 方法求解[2]。

由于純軸向載荷下高速角接觸球軸承只發(fā)生軸向變形，基于此建立變形方程。由于軸承承受純軸向載荷時(shí)，各個(gè)球的受力情況相同，因此力平衡方程個(gè)數(shù)比較少，可對(duì)力平衡方程進(jìn)行歸一化處理。

僅軸向受載時(shí)，球心和溝道曲率中心位置變化關(guān)系如圖1所示。根據(jù)承載前、后內(nèi)、外溝道曲率中心距的徑向分量不變，可得變形協(xié)調(diào)方程為

圖1 球中心和溝道曲率中心位置

[(fe-0.5)Dw+δe]cosαe+[(fi-0.5)Dw+δi]cosαi=(fi+fe-1)Dwcosα0，

(1)

式中：fi，fe分別為內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)；Dw為球直徑，mm；δi,δe為球與內(nèi)、外圈間的彈性變形量，mm，αi，αe為球與內(nèi)、外圈間的實(shí)際接觸角，(°)；α0為原始接觸角，(°)。

因?yàn)橥勇萘貙?duì)實(shí)際內(nèi)、外接觸角的影響很小，所以以實(shí)際內(nèi)、外接觸角為迭代基本變量的求解方法中，可以忽略陀螺力矩的影響。故球所受到的載荷可以僅考慮與內(nèi)、外圈間的接觸載荷以及自身的離心力，如圖2所示。

圖2 離心力作用下球的受力圖

根據(jù)球的受力關(guān)系，可知

(2)

式中：Fa為軸承受到的軸向力，N；Z為球數(shù)；Qia，Qea為球與內(nèi)、外圈間接觸載荷的軸向分量。

球與內(nèi)、外圈的接觸載荷為

(3)

(4)

球與內(nèi)、外圈間接觸載荷的徑向分量為

(5)

(6)

由于球徑向受力平衡，則

Qir+Fc=Qer，

(7)

式中:Fc為球所受的離心力，N。

將(5)～(6)式代入(7)式，得力平衡方程為

(8)

球軸承的接觸載荷與接觸變形間的關(guān)系為

(9)

(10)

式中：Ki，Ke為球與內(nèi)、外圈間的載荷-變形常數(shù)，N/mm1.5。

將(3)～(4)式分別代入(9)～(10)式，可得

(11)

(12)

將(11)和(12)式代入(1)式，可得

(13)

聯(lián)立(8)式和(13)式即得實(shí)際接觸角的求解方程組。通過(guò)求解方程組，可得高速角接觸球軸承的實(shí)際接觸角αi,αe，從而通過(guò)圖1所示的球中心和溝道曲率中心位置關(guān)系得到軸承的軸向位移量δa為

δa=[(fe-0.5)Dw+δe]sinαe+[(fi-

0.5)Dw+δi]sinαi-(fi+fe-1)·

Dwsinα0。

(14)

2 求解方程的基本變量分析

根據(jù)軸承的動(dòng)態(tài)求解方程組，分析其中的基本變量[3]。離心力方程為

(15)

式中：Dpw為球組節(jié)圓直徑，mm；nm為球公轉(zhuǎn)速度,r/min。球的公轉(zhuǎn)速度nm為

(16)

根據(jù)外溝道控制理論假設(shè)

(17)

(18)

式中：內(nèi)、外圈旋轉(zhuǎn)方向相反時(shí)取“-”，相同時(shí)取“+”；Ω為套圈角速度,rad/s；β為球姿態(tài)角,(°)；γ為幾何參數(shù)。

接觸變形常數(shù)K為

K=2.15×105(∑ρ)-1/2nδ-3/2，

(19)

式中：nδ為接觸變形系數(shù)，可以根據(jù)主曲率差函數(shù)F(ρ)查表求得；∑ρ為主曲率和函數(shù)，mm-1。

根據(jù)(15)～(19)式，依次尋找離心力、接觸載荷變形常數(shù)與內(nèi)、外接觸角的關(guān)系，如圖3所示，圖中箭頭左邊是箭頭右邊的函數(shù)。

圖3 變量傳遞關(guān)系

3 求解步驟及算例

純軸向載荷下高速角接觸球軸承上述方程組的求解流程如圖4所示。求解過(guò)程中，采用全局收斂算法(Broyden算法)。

圖4 計(jì)算流程圖

利用文中給出的計(jì)算方法對(duì)7218B角接觸球軸承在給定的受力和轉(zhuǎn)速情況下進(jìn)行編程計(jì)算，得到表1所示的計(jì)算結(jié)果。7218B角接觸球軸承的幾何參數(shù)為Dw=22.23 mm,Dpw=125.26 mm，fi=fe=0.523 2，Z=16,α0=40°。由表1可知，采用文中的方法與Harris的方法得到的結(jié)果相差不大，充分說(shuō)明了基于接觸角迭代方法求解純軸向受力的高速角接觸球軸承動(dòng)態(tài)特性的可行性[3]。

表1 不同工況下的計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

依據(jù)純軸向受力的高速角接觸球軸承的特點(diǎn)，建立了軸承的變形協(xié)調(diào)方程和力平衡方程，基于實(shí)際接觸角對(duì)方程組進(jìn)行迭代求解，求解結(jié)果與Harris方法的計(jì)算結(jié)果比較吻合，說(shuō)明了該計(jì)算方法的有效性，同時(shí)，新計(jì)算方法中求解參數(shù)比Harris方法減少了一半，計(jì)算量較小。