王放，何選森

湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082

蟻群聚類(lèi)的欠定盲源分離方法

王放，何選森

湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082

1 引言

盲源分離（Blind Source Separation，BSS）是數(shù)據(jù)分析及信號(hào)處理的強(qiáng)有力工具，在許多領(lǐng)域都得到廣泛的應(yīng)用，如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、數(shù)據(jù)挖掘、語(yǔ)音信號(hào)處理、模式識(shí)別以及無(wú)線通信等[1-3]。

所謂盲分離，是指在源信號(hào)數(shù)目、位置、混合過(guò)程等先驗(yàn)信息未知的情況下，僅根據(jù)傳感器信號(hào)來(lái)估計(jì)源信號(hào)。其數(shù)學(xué)模型為：

其中X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xm(t)]T為觀測(cè)信號(hào)向量，A為未知的m×n維混疊矩陣，S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sn(t)]T為源信號(hào)向量，N(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nm(t)]T為噪聲向量。盲分離就是在A和S(t)均未知的情況下，僅由X(t)恢復(fù)出S(t)。當(dāng)觀測(cè)信號(hào)個(gè)數(shù)m小于源信號(hào)個(gè)數(shù)n時(shí)，就稱(chēng)之為欠定盲源分離。

對(duì)于欠定盲源分離問(wèn)題，一般將求解過(guò)程分解為估計(jì)混疊矩陣A和恢復(fù)源信號(hào)S(t)兩步。第一步主要采取聚類(lèi)算法估計(jì)混疊矩陣，常用的方法有：勢(shì)函數(shù)法[4]、K-均值聚類(lèi)法[5]、模糊K-均值聚類(lèi)[6-7]等；第二步主要是利用估計(jì)出的混疊矩陣采取線性規(guī)劃法或最短路徑法等來(lái)恢復(fù)源信號(hào)。而在兩步法中，估計(jì)混疊矩陣最為重要。Bofill等人率先提出應(yīng)用勢(shì)函數(shù)的方法進(jìn)行分離，但由于分離過(guò)程中參數(shù)設(shè)置缺乏理論指導(dǎo)，且易受實(shí)驗(yàn)者主觀影響，其應(yīng)用范圍有限；另一種應(yīng)用較廣泛的是利用K-均值聚類(lèi)算法估計(jì)混疊矩陣，但該方法需事先確定聚類(lèi)數(shù)目，且估計(jì)精度有限。

本文針對(duì)上述算法的缺陷提出一種估計(jì)混疊矩陣的新方法。首先利用稀疏源信號(hào)的直線聚類(lèi)特性，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化將直線聚類(lèi)轉(zhuǎn)變成致密聚類(lèi)[8]，再采用蟻群聚類(lèi)算法進(jìn)行聚類(lèi)搜索，根據(jù)搜索得到的聚類(lèi)中心的個(gè)數(shù)得到源信號(hào)的個(gè)數(shù)，同時(shí)估計(jì)出混疊矩陣。本文的方法不需要事先確定聚類(lèi)數(shù)目，就能估計(jì)出混疊矩陣；同時(shí)基于勢(shì)函數(shù)的方法在三路或三路以上觀測(cè)信號(hào)情況下是無(wú)法進(jìn)行估計(jì)的，而本文的方法能有效地實(shí)現(xiàn)這類(lèi)情況下的盲源分離。

2 蟻群聚類(lèi)算法原理

螞蟻在覓食過(guò)程中會(huì)在其經(jīng)過(guò)的路徑上釋放信息素，同時(shí)信息素也會(huì)隨著時(shí)間的流逝而揮發(fā)。螞蟻在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能夠感知路徑上的信息素及其強(qiáng)度，并傾向于朝著信息素濃度高的方向移動(dòng)。因此某一路徑上經(jīng)過(guò)的螞蟻越多，在該路徑上累積的信息素就越多，后來(lái)的螞蟻也更傾向于選擇該路徑，整個(gè)蟻群的行為表現(xiàn)出信息正反饋現(xiàn)象。如果將數(shù)據(jù)視為具有不同屬性的螞蟻，聚類(lèi)中心是螞蟻所尋找的“食物源”，那么數(shù)據(jù)聚類(lèi)過(guò)程就可以看做螞蟻尋找食物源的過(guò)程[9-10]。

假設(shè)數(shù)據(jù)對(duì)象為X={X|Xi=(xi1,xi2,…,xim),i=1,2,…,N}，設(shè)Xi與Xj之間的加權(quán)歐氏距離為dij，當(dāng)螞蟻從位置i移動(dòng)到位置j時(shí)，計(jì)算路徑i→j上的信息素τij[11]：

若Xi與Xj之間的加權(quán)歐氏距離dij小于或等于某一閥值r，則設(shè)定該路徑上的信息素為1，代表螞蟻會(huì)經(jīng)過(guò)該路徑，否則其信息素為0。同時(shí)由于信息素的揮發(fā)，在一次搜索周期結(jié)束后，路徑上的信息素需要進(jìn)行更新。設(shè)τij(t)代表第t次搜索過(guò)程中路徑i→j上的信息量，則該次搜索結(jié)束后信息素更新為[11]：

τij(t+1)=(1-ρ)τij(t)+Δτij（3）

ρ為揮發(fā)系數(shù)，Δτij為信息素的增量，其值為在該次搜索周期內(nèi)所有螞蟻在該路徑上釋放的信息素的總和。在搜索周期中，螞蟻根據(jù)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行合并，轉(zhuǎn)移概率[12]為：

其中ηij稱(chēng)為能見(jiàn)度，大小為1/dij，α和β為調(diào)節(jié)因子，用來(lái)控制信息素和能見(jiàn)度的影響，S={Xs|dsj≤r，s=1，2，…，N}為可行路徑的集合。從式（4）可見(jiàn)轉(zhuǎn)移概率與能見(jiàn)度成正比，即與歐式距離成反比，也即兩數(shù)據(jù)點(diǎn)間距離越大，合并的概率越小。如果pij(t)大于閥值p0，則Xi與Xj合并成一類(lèi)，求出各類(lèi)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值即為各聚類(lèi)中心。

3 混疊矩陣估計(jì)與信源恢復(fù)

3.1 觀測(cè)信號(hào)初始化

當(dāng)源信號(hào)為稀疏信號(hào)時(shí)，混合信號(hào)具有線性聚類(lèi)特性，如果忽略噪聲的影響，將式（1）展開(kāi)為：

當(dāng)某一時(shí)刻只有一個(gè)源信號(hào)（如只有si(t)）起作用時(shí)，上式可轉(zhuǎn)化為：

它在m維空間中是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，直線方向取決于混疊矩陣的第i個(gè)列矢量(a1i，a2i，…，ami)T。基于此，n個(gè)源信號(hào)si(t)，i∈(1，2，…，n)將確定n條直線，因此，A的估計(jì)就轉(zhuǎn)化為觀測(cè)空間中直線方向的估計(jì)。采用和文獻(xiàn)[4]中相同的語(yǔ)音數(shù)據(jù)，三路長(zhǎng)笛聲音源信號(hào)經(jīng)采樣后，左乘以隨機(jī)產(chǎn)生的2×3維混疊矩陣得到兩路觀測(cè)信號(hào)，混疊信號(hào)散點(diǎn)圖如圖1所示。

圖1 三路源信號(hào)混疊散點(diǎn)圖

由圖1可見(jiàn)，三路源信號(hào)確定了三條直線。由于三路源信號(hào)比較稀疏，所得散點(diǎn)圖上三條直線比較清晰，相互之間重疊干擾部分較少，當(dāng)源信號(hào)不太稀疏時(shí)，可以先對(duì)源信號(hào)進(jìn)行傅氏變換等使其稀疏化，然后在變換域中進(jìn)行盲源分離。

3.2 估計(jì)混疊矩陣

由于n路源信號(hào)經(jīng)混疊后的散點(diǎn)圖表現(xiàn)為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的n條直線，同時(shí)各直線的方向?qū)?yīng)于混疊矩陣的各列向量。通過(guò)聚類(lèi)算法將觀測(cè)信號(hào)按散點(diǎn)圖中各直線所在方向進(jìn)行分類(lèi)，每一類(lèi)對(duì)應(yīng)一條直線，每個(gè)聚類(lèi)中心表示的方向近似散點(diǎn)圖中一條直線的方向，即對(duì)應(yīng)混疊矩陣的某個(gè)列向量，這樣通過(guò)聚類(lèi)就可以獲得對(duì)混疊矩陣的估計(jì)。

本文考慮將直線聚類(lèi)轉(zhuǎn)變成致密聚類(lèi)，因此首先對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理包括尺度歸一化和方向鏡像[13]。對(duì)觀測(cè)信號(hào)X(t)的尺度歸一化為：

其中‖X(t)‖表示X(t)的Euclid范數(shù)。方向鏡像就是將下半平面向量映射到上半平面。進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，由于位于原點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)點(diǎn)存在重疊現(xiàn)象或?yàn)樵肼朁c(diǎn)，可去掉這部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)去除這部分?jǐn)?shù)據(jù)可以有效降低計(jì)算量和提高估計(jì)精度。經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的觀測(cè)信號(hào)均位于上半圓周上，如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)化處理后的觀測(cè)信號(hào)

標(biāo)準(zhǔn)化后的觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)聚集于單位圓上形成球形簇，酷似蟻群聚集成堆。在每個(gè)數(shù)據(jù)堆中均存在某一數(shù)據(jù)點(diǎn)所表示的方向最能代表散點(diǎn)圖中對(duì)應(yīng)直線的方向。因此獲得各數(shù)據(jù)堆中關(guān)鍵數(shù)據(jù)點(diǎn)（聚類(lèi)中心）就能獲得對(duì)該直線方向的精確估計(jì)。故本文提出采用蟻群聚類(lèi)算法尋找各類(lèi)中心，確定源信號(hào)的個(gè)數(shù)和混疊矩陣。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化后的信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)X'(t)=[x1'(t)，x2'(t)，…，xm'(t)]T，t=1，2，…，N，將各數(shù)據(jù)點(diǎn)看成一只螞蟻，共有N只螞蟻，結(jié)合蟻群算法進(jìn)行聚類(lèi)。首先尋找初始聚類(lèi)中心，計(jì)算各數(shù)據(jù)點(diǎn)X'(i)和X'(j)之間的加權(quán)歐氏距離dij：

其中m為信號(hào)的維數(shù)，p和pk為加權(quán)因子，因?yàn)楦骶S數(shù)據(jù)影響力一樣，故本文中pk均取值為1。利用式（2）計(jì)算各路徑上的初始信息素τij，這樣將得到一個(gè)N×N維的初始信息素矩陣，矩陣中每個(gè)元素均為0或者1，其中值為1的元素τij代表X'(i)與X'(j)之間的加權(quán)歐氏距離dij小于或等于r。因此選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膔值，只有屬于同一類(lèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的加權(quán)歐式距離才會(huì)小于或等于r，對(duì)應(yīng)的τij才等于1。這樣屬于同一類(lèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，其初始信息素矩陣中所在行的所有元素必都相等。例如：假設(shè)X'(1)與X'(a)、X'(b)(a≠b≠1)屬于同一類(lèi)，則除與自身外X'(1)只與X'(a)、X'(b)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的歐式距離d1a、d1b小于等于r，則初始信息素矩陣中第一行所有元素中只有τ11、τ1a、τ1b三個(gè)元素為1，其余均為0；對(duì)于數(shù)據(jù)X'(a)，也只與X'(1)、X'(b)兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的歐式距離da1、dab小于等于r，所以初始信息素矩陣中第a行中只有τa1、τaa、τab為1，其余也均為0。這樣整個(gè)初始信息素矩陣中有第1、a、b三行元素相等，即X'(1)、X'(a)、X'(b)屬于同一類(lèi)，再取這三個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值，即得到了第一個(gè)初始聚類(lèi)中心，同理可以得到所有其他初始聚類(lèi)中心。關(guān)于r的選擇，如果源信號(hào)數(shù)目較多，導(dǎo)致單位圓上數(shù)據(jù)點(diǎn)較密集，可以在第一步的標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)將數(shù)據(jù)點(diǎn)歸一化到半徑大于1的圓周上，這樣數(shù)據(jù)分得較開(kāi)，r可供選擇的范圍也較大。尋找到初始聚類(lèi)中心后進(jìn)行蟻群搜索，設(shè)尋找到的初始聚類(lèi)中心為C(k)= [x1(k)，x2(k)，…，xm(k)]T，k=1，2，…，K，按式（8）計(jì)算各螞蟻到初始聚類(lèi)中心的歐式距離，按式（2）計(jì)算螞蟻到各聚類(lèi)中心路徑上的信息素。計(jì)算螞蟻轉(zhuǎn)移到初始聚類(lèi)中心的概率：如果dij=0，則pij=1，否則根據(jù)式（4）計(jì)算pij。每只螞蟻根據(jù)計(jì)算出來(lái)的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行合并，如果pij大于閥值p0，則X'(i)與該初始聚類(lèi)中心合并成一類(lèi)，并根據(jù)式（3）更新路徑上的信息素；如果pij小于p0，則讓其等待下次循環(huán)。令CJ={X'(i)|pij＞p0，i=1，2，…，N，j∈(1，2，…，K)}，CJ表示所有歸并到C(j)一類(lèi)的數(shù)據(jù)集合，則理想聚類(lèi)中心為：

其中X'(i)∈CJ，J為C(j)類(lèi)中元素個(gè)數(shù)。計(jì)算各聚類(lèi)中心的距離，如果距離小于給定的閥值r，則合并相應(yīng)的兩類(lèi)。重復(fù)上述過(guò)程直至達(dá)到最大迭代次數(shù)M，最后得到的聚類(lèi)中心的個(gè)數(shù)就代表源信號(hào)的個(gè)數(shù)，每個(gè)聚類(lèi)中心分別代表混疊矩陣的一個(gè)列向量，這樣就估計(jì)出混疊矩陣。

3.3 源信號(hào)的恢復(fù)

估計(jì)出混疊矩陣后，可通過(guò)最短路徑法進(jìn)行源信號(hào)的恢復(fù)。由文獻(xiàn)[4]可知，稀疏信號(hào)盲分離歸結(jié)為以下優(yōu)化問(wèn)題：

其中σ2為噪聲的方差，第一項(xiàng)為重構(gòu)誤差平方和，第二項(xiàng)為非稀疏項(xiàng)。在不考慮噪聲的前提下，由于混疊矩陣A已估計(jì)出來(lái)，則上式等效為：

由上式可知，每個(gè)時(shí)刻t確定一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，從而可估計(jì)出源信號(hào)。

3.4 欠定盲分離算法步驟

通過(guò)上述分析，本文的欠定盲分離算法步驟如下。

（1）對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

（2）初始化設(shè)定r、α、β、p0等參數(shù)，將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)看成一只螞蟻，利用式（8）計(jì)算每只螞蟻到其他數(shù)據(jù)點(diǎn)間的加權(quán)歐氏距離dij，求出初始聚類(lèi)中心。

（3）計(jì)算每只螞蟻到初始聚類(lèi)中心的加權(quán)歐氏距離。

（4）計(jì)算各螞蟻到初始聚類(lèi)中心路徑上的信息量τij和轉(zhuǎn)移概率pij。

（5）如果pij≥p0成立，則合并螞蟻到該初始聚類(lèi)中心，并更新信息素矩陣。

（6）根據(jù)式（9）計(jì)算各聚類(lèi)中心Cˉ。

（7）計(jì)算各聚類(lèi)中心間的距離，如果距離小于給定的閥值r，則合并聚類(lèi)重新計(jì)算各聚類(lèi)中心，否則返回到（3）重新計(jì)算。

（8）循環(huán)迭代直至最大次數(shù)，輸出聚類(lèi)個(gè)數(shù)和各自聚類(lèi)中心。

（9）利用求出的聚類(lèi)中心即對(duì)應(yīng)混疊矩陣A，采用最短路徑法恢復(fù)源信號(hào)。

當(dāng)存在多路觀測(cè)信號(hào)時(shí)，同樣可以采用上述算法思想，在多維空間中進(jìn)行聚類(lèi)估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)化后的觀測(cè)信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)在多維空間中聚集成堆，然后進(jìn)行蟻群聚類(lèi)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

實(shí)驗(yàn)仿真均在Matlab 7.0環(huán)境下進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用和文獻(xiàn)[4]中相同的語(yǔ)音數(shù)據(jù)。為了檢驗(yàn)對(duì)混疊矩陣的估計(jì)精度，采用角度偏差進(jìn)行測(cè)算[14]：

表1 三種方法的a和的角度偏差比較表

表1 三種方法的a和的角度偏差比較表

a1與a1 ^ a2與a2 ^ a3與a3 ^ K-均值法勢(shì)函數(shù)法本文算法0.731 7 0.367 6 0.137 3 1.065 1 1.161 3 0.337 6 0.921 8 1.233 0 0.321 4

對(duì)比實(shí)驗(yàn)表明本文算法有更高的估計(jì)精度。源信號(hào)與恢復(fù)后的信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)，如表2所示。

表2 源信號(hào)與恢復(fù)后信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)表

從表2看出每行每列有且只有一個(gè)元素接近1，其余均接近0，說(shuō)明恢復(fù)信號(hào)和源信號(hào)之間相似度高，應(yīng)用本文算法估計(jì)恢復(fù)出源信號(hào)效果比較理想。源信號(hào)以及恢復(fù)后的信號(hào)如圖3、4所示。

由圖看出本文算法能比較精確恢復(fù)出源信號(hào)。調(diào)用Matlab函數(shù)wavwrite（）將恢復(fù)后的源信號(hào)保存成.wav文件。通過(guò)試聽(tīng)恢復(fù)后的語(yǔ)音信號(hào)，本文方法較上文其他兩種方法所恢復(fù)的信號(hào)，語(yǔ)音清晰度得到較好的提高，連貫性得到改善，能清晰分辨出3個(gè)長(zhǎng)笛聲音，試聽(tīng)效果很接近于源信號(hào)。

實(shí)驗(yàn)2 m=3，n=4，即三路觀測(cè)信號(hào)，四路源信號(hào)的情況。隨機(jī)產(chǎn)生混疊矩陣：

信號(hào)散點(diǎn)圖以及歸一化處理后，見(jiàn)圖5、6。

圖3 三路源信號(hào)

圖4 三路恢復(fù)信號(hào)

圖5 四路源信號(hào)三路觀測(cè)信號(hào)散點(diǎn)圖

同實(shí)驗(yàn)1設(shè)定相同的r、α、β、p0等參數(shù)，通過(guò)本文算法得到混疊矩陣的估計(jì)為：

由此計(jì)算出來(lái)的角度偏差如表3。

圖6 混疊信號(hào)歸一化到上半單位球

表3 原混疊矩陣與估計(jì)的混疊矩陣的角度偏差表

可以看出混疊矩陣各列向量之間的角度偏差均很小，混疊矩陣的估計(jì)精度較高。圖7、8給出了源信號(hào)以及恢復(fù)的源信號(hào)，對(duì)比可以看出四路源信號(hào)得到精確分離，實(shí)際試聽(tīng)效果較好，有效實(shí)現(xiàn)了存在多路觀測(cè)信號(hào)情況下的盲源分離。

圖7 四路源信號(hào)

圖8 四路恢復(fù)信號(hào)

5 結(jié)論

本文提出了一種估計(jì)欠定盲源分離混疊矩陣的新方法，結(jié)合蟻群聚類(lèi)算法，解決了源信號(hào)數(shù)目未知情況下的盲源分離問(wèn)題，并且該方法適合于存在多個(gè)觀測(cè)信號(hào)的情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文方法的可行性與有效性。

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WANG Fang,HE Xuansen

College of Information Science and Engineering,Hunan University,Changsha 410082,China

Taking advantage of the straight line clustering of the sparse source signals in underdetermined blind separation,a method of the mixing matrix estimation is proposed.The aliasing signals are standardized and the aliasing signals are formed spherical cluster,so the linear cluster is turned into density cluster.And then the clustering center is searched and obtained by using the ant clustering algorithm.The aliasing matrix and the source signals are accurately evaluated.The proposed algorithm can separate the source signals in which the number is unknown and it is also effective to separate three or more observed signals. The simulation results of speech signals show that this method can precisely separate and restore the original signals.

underdetermined blind separation;ant colony clustering;aliasing matrix

利用欠定盲源分離情況下稀疏源信號(hào)具有直線聚類(lèi)的特點(diǎn)，提出了一種估計(jì)混疊矩陣的新方法。通過(guò)對(duì)混疊信號(hào)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使混疊信號(hào)形成球形簇，將線性聚類(lèi)轉(zhuǎn)變成致密聚類(lèi)；利用蟻群聚類(lèi)算法對(duì)其進(jìn)行搜索得到聚類(lèi)中心，從而獲得對(duì)混疊矩陣的精確估計(jì)。該方法能實(shí)現(xiàn)源信號(hào)數(shù)目未知情況下的欠定盲源分離，且能推廣到三路或更多路觀測(cè)信號(hào)的情況。對(duì)語(yǔ)音信號(hào)的仿真結(jié)果證明，該方法能精確地分離和恢復(fù)原始信號(hào)。

欠定盲分離；蟻群聚類(lèi)；混疊矩陣

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1110-0350

WANG Fang,HE Xuansen.Underdetermined blind separation based on ant colony clustering.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：211-215.

王放（1985—），男，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)槊ぴ捶蛛x，隨機(jī)信號(hào)處理；何選森（1958—），男，副教授，研究領(lǐng)域?yàn)殡S機(jī)信號(hào)處理，盲源分離，信息安全技術(shù)。E-mail：wangfang4227@163.com

2011-10-18

2012-01-02

1002-8331（2013）13-0211-05

CNKI出版日期：2012-03-21http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120321.1734.013.html

◎工程與應(yīng)用◎