王新陽，梁家榮

廣西大學(xué) 計算機(jī)與電子信息學(xué)院，南寧 530004

扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的研究與分析

王新陽，梁家榮

廣西大學(xué) 計算機(jī)與電子信息學(xué)院，南寧 530004

1 引言

超立方體網(wǎng)絡(luò)是一種優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，為使其具有更廣泛的適用范圍，人們針對其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)提出了諸多超立方體網(wǎng)絡(luò)變體結(jié)構(gòu)，如增強(qiáng)的超立方體網(wǎng)絡(luò)，擴(kuò)展超立方體網(wǎng)絡(luò)，廣義超立方體網(wǎng)絡(luò)，M?bius立方體網(wǎng)絡(luò)[1-2]，交叉立方體網(wǎng)絡(luò)[3-5]，扭n-立方體網(wǎng)絡(luò)[6]，扭立方體網(wǎng)絡(luò)[7-8]，局部扭立方體網(wǎng)絡(luò)[9]，廣義扭立方體網(wǎng)絡(luò)[10]，扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)[11]，spined立方體網(wǎng)絡(luò)[12]等。這些變體結(jié)構(gòu)在頂點(diǎn)/邊數(shù)、正則性、連通度、遞歸性等方面都與超立方體相同或接近，同時，其在不改變網(wǎng)絡(luò)連接復(fù)雜度的基礎(chǔ)上相比超立方體網(wǎng)絡(luò)大大降低了網(wǎng)絡(luò)的直徑，如n維M?bius立方體、交叉立方體、扭立方體、扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)的直徑為，這幾乎是n維超立方體網(wǎng)絡(luò)直徑的一半；另外，廣義扭立方體網(wǎng)絡(luò)直徑為，spined立方體網(wǎng)絡(luò)當(dāng)n≥14時直徑為

研究各種超立方體變體網(wǎng)絡(luò)對豐富和發(fā)展超立方體網(wǎng)絡(luò)具有重要的學(xué)術(shù)意義和實際應(yīng)用價值。在超立方體的諸多變體結(jié)構(gòu)中，交叉立方體網(wǎng)絡(luò)以其優(yōu)越的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)獲得了最為廣泛而深入的研究，是超立方體網(wǎng)絡(luò)最為重要的變體之一。借助于交叉立方體網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[11]中提出的扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)由于具有與交叉立方體網(wǎng)絡(luò)比較相似的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，同樣受到廣泛關(guān)注。但是，在進(jìn)一步研究和實際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的定義不夠嚴(yán)謹(jǐn)，網(wǎng)絡(luò)中結(jié)點(diǎn)并不能像定義中規(guī)定的那樣實現(xiàn)正確連接，當(dāng)n≥5時，扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)是部分不連通的。本文結(jié)合交叉立方體網(wǎng)絡(luò)和扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的定義，證明并舉例分析了扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)是不連通的；并在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)——扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)(TCQn)。接著，初步研究了TCQn的正則性、連通度、容錯度、遞歸性等網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)。研究表明，TCQn具有與CQn一樣的網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)，是一種優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

2 相關(guān)知識

本文的術(shù)語與標(biāo)記與圖論中的一致。設(shè)G為一個無向圖，V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集和邊集。圖G中的頂點(diǎn)用二進(jìn)制字符串表示。e(u，v)表示圖中連接相鄰兩個頂點(diǎn)u與v的邊；σ(u)=i表示對于頂點(diǎn)u，un=un-1=…= ui+1=0且ui=1；εi表示二進(jìn)制字符串第i位為1，其余為0。

定義1[2-3]設(shè)x=x2x1，y=y2y1是兩個二進(jìn)制串，稱x與y是一個關(guān)聯(lián)對，當(dāng)且僅當(dāng)

記為x～y。

本文規(guī)定，若x～y，則x與y間的關(guān)系還可以表示為y=RC(x)或x=RC(y)。

定義2[2-3]n維交叉立方體(CQn)是一個n-標(biāo)號圖，CQ1是一個頂點(diǎn)分別被標(biāo)為0和1的兩點(diǎn)完全圖K2；當(dāng)n≥1時，CQn由兩個(n-1)維交叉立方體和構(gòu)成，其中：

1～4維扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)，如圖1所示。

圖1 1～4維扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)

定義4[11]?u，v∈V(TNn)，若u與v在TNn中鄰接且σ(x+y)=i，則稱u與v是第i維鄰接的，記為v=fi(u)。

3 扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)定義2可以得到交叉立方體的互連函數(shù)，即定理1。

定理1[13]若x，y∈V(CQn)，σ(x+y)=i，則當(dāng)且僅當(dāng)x與y滿足以下關(guān)系式時(x,y)∈E(CQn)，即x與y在CQn中相鄰接。

類似地，根據(jù)扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的定義可直接得到扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的互連函數(shù)，即定理2。

定理2[11]若x，y∈V(TNn)，σ(x+y)=i，則當(dāng)且僅當(dāng)x與y滿足以下關(guān)系式時(x，y)∈E(TNn)，即x與y在TNn中相鄰接。

（1）利用關(guān)聯(lián)對的概念，按照交叉立方體的連接方式對x進(jìn)行變換得到y(tǒng)′。

以下將證明扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)TNn是部分不連通的。

定義5?u=unun-1…u1，v=vnvn-1…v1，σ(u+v)=i，若當(dāng)時，存在k，使得s≤k≤t時，有u2ku2k-1～ v2kv2k-1，則稱對u的第2s-1維到第2t-1維進(jìn)行了關(guān)聯(lián)變換，記為RCu(s，t)，并記u2ku2k-1RCu(k，k)。

引理1對于?u=unun-1…u1，v=vnvn-1…v1，若v= RCu(s，t)，則必有u=RCv(s，t)。

證明利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)命題成立，令v=fi(u)，uu=fi(v)，則命題轉(zhuǎn)化為證明u=uu。根據(jù)定理2，定義4、5及引理1，如果v=fi(u)，則可得：

于是有以下定理：

定理5當(dāng)n≥5時，TNn是不連通的，不連通結(jié)點(diǎn)數(shù)為TNn結(jié)點(diǎn)數(shù)的一半。

以下舉例說明TNn是不連通的。

例1u=00101，可以通過兩種方法得到v=f5(u)并證明u≠f5(v)。

4 改進(jìn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)——扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)（TCQn）

定義6n維扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)(TCQn)是一個n-標(biāo)號圖，TCQ1是一個頂點(diǎn)分別被標(biāo)為0和1的兩點(diǎn)完全圖K2；當(dāng)n≥1時，TCQn由兩個(n-1)維扭交叉立方體TCQ(0)n-1和構(gòu)成，其中，

根據(jù)扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)(TCQn)的定義可以得到其互連函數(shù)，即定理6。

定理6若x,y∈V(TCQn)，σ(x+y)=i，則(x,y)∈E(TCQn)（即x與y在TCQn中相鄰接），當(dāng)且僅當(dāng)x與y滿足以下關(guān)系式：

證明根據(jù)定義6關(guān)于TCQn的定義過程可知，若x與y在TCQn中鄰接，且σ(x+y)=i，則當(dāng)時，x2kx2k-1～y2ky2k-1。根據(jù)關(guān)聯(lián)對的定義，x2kx2k-1與y2ky2k-1只能為以下取值之一：(x2kx2k-1，y2ky2k-1)∈{（00，00），（10，10），（01，11），（11，01）}。可以觀察到，此時x2kx2k-1與y2ky2k-1滿足關(guān)系：

1～4維扭交叉立方體與扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)一樣，見圖1，5維扭交叉立方體如圖2所示。

圖2 5維扭交叉立方體TCQ5

定義7?u,v∈V(TCQn)，如果u與v相鄰且σ(u+v)=i，則稱u與v在第i維上鄰接，記為u=Ni(v)。

定理7n維扭交叉立方體TCQn是連通的。

證明?u,v∈V(TCQn)，令v=Ni(u)，uu=Ni(v)，要證明網(wǎng)絡(luò)是連通的，只要證明uu=u即可。由圖1易知，當(dāng)1≤n≤4時，TCQn是連通的；當(dāng)n≥5時，類似于定理4的證明過程有：

從扭交叉立方體TCQn的構(gòu)造過程可以看到，扭交叉立方體與交叉立方體的連接方式不僅相似，而且具有極大的互補(bǔ)性，是交叉立方體結(jié)構(gòu)的重要補(bǔ)充。因此，扭交叉立方體既可以看做超立方體的變體結(jié)構(gòu)，也可以當(dāng)成交叉立方體的變體，甚至可以看做與交叉立方體具有同等重要作用的一種新型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。以下研究TCQn的一些基本網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)。

定理8TCQn是n-正則圖。

證明根據(jù)TCQn的定義可知，TCQn中任一頂點(diǎn)u有且僅有一個頂點(diǎn)與其在第i維上相鄰，并且這種相鄰是對稱，所以有Δ(G)=δ(G)=n，即TCQn是n-正則的。證畢

定義8[6]設(shè)G1和G2是兩個階數(shù)相同的圖：V(G1)={u1，u2，…，up}，V(G2)={v1，v2，…，vp}。令H=G1⊙G2，其中，V(H)= V(G1)∪V(G2)，E(H)=E(G1)∪E(G2)∪{(ui，vi)|ui∈V(G1)，vi∈V(G2)，1≤i≤p}。

引理2[6]令G1和G2為定義8中的兩個連通圖，H=G1⊙G2，則

引理3[14]對任意圖G，都有：κ(G)≤κ'(G)≤δ(G)。

定理9κ(TCQn)=κ'(TCQn)=n。

證明根據(jù)TCQn的定義可知，TCQn=TCQn-1⊙TCQn-1，由引理2有：

易知κ(TCQ1)=1，所以κ(TCQn)≥n。又由引理3及定理8有：κ(G)≤κ'(G)≤δ(G)=n，綜合得κ(TCQn)=κ'(TCQn)=n。證畢

引理4[14]（Whitney定理）一個非平凡圖G是k連通的(k≥2)當(dāng)且僅當(dāng)對于G的任意兩個頂點(diǎn)u、v，G至少有k條內(nèi)部不相交的u-v的路。

由定理9和引理4可得以下推論：

推論1TCQn中任意兩個頂點(diǎn)u、v之間存在n條頂點(diǎn)不相交的路徑。

關(guān)于網(wǎng)絡(luò)的容錯能力，還可以通過頂點(diǎn)容錯度和邊容錯度來衡量。

定義9TCQn的頂點(diǎn)容錯度定義為min{k-1||X|=k，X為TCQn的點(diǎn)割集}，記為TV(TCQn)；TCQn的邊容錯度定義為min{k-1||Y|=k，Y為TCQn的邊割集}，記為TE(TCQn)。

定理10TV(TCQn)=TE(TCQn)=n-1。

證明由于TCQn是一個正則圖，最少要去掉n條邊，才能使TCQn不連通，同時注意到，去掉某個頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的n條邊后，TCQn也不連通，因此TE(TCQn)=n-1；由定義9及點(diǎn)連通度的定義可知Tv(TCQn)=κ(TCQn)-1，又由定理9有κ(TCQn)=κ'(TCQn)=n，所以TV(TCQn)=n-1。證畢

記Γα(G)為圖G中前綴為α的所有頂點(diǎn)構(gòu)成的子圖。

定義10[15]設(shè)G是一個n-標(biāo)號圖，即圖中每個頂點(diǎn)使用一個長度為n的二進(jìn)制字符串進(jìn)行標(biāo)記，*n-i是長度為n-i的二進(jìn)制串，*∈{0，1}，i=1，2，…，n，如果Ri是Γ*n-i0(G)到Γ*n-i1(G)的一一映射，則稱Ri是G上的一個i維二進(jìn)制互聯(lián)函數(shù)。

定義11[15]設(shè)G是一個n-標(biāo)號圖，Ri是G上的i維二進(jìn)制互聯(lián)函數(shù)（i=1，2，…，n）。?x，y∈V(G)，如果(x,y)∈ E(G)當(dāng)且僅當(dāng)?k∈{1,2,…,n}，使得y=(x)，則稱G為由R1，R2，…，Rn確定的n維二進(jìn)制遞歸互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。

定理11TCQn屬于n-維二進(jìn)制遞歸網(wǎng)絡(luò)。

證明易知TCQn為n-標(biāo)號圖。根據(jù)定理6可知，?i∈{1，2，…，n}，存在映射Ri使得Γ*n-i0(G)=Ri(Γ*n-i1(G))。根據(jù)定義6，對于?u∈Γ*n-i0(G)，在Γ*n-i1(G)中有且僅有一個點(diǎn)v與之相連；同樣，對于?v∈Γ*n-i1(G)在Γ*n-i0(G)中也有且僅有一個點(diǎn)u與之相連，則Ri是Γ*n-i0(G)到Γ*n-i1(G)的一一映射，因此Ri是TCQn上的一個i維二進(jìn)制互聯(lián)函數(shù)。?x,y∈V(TCQn)，如果?k∈{1，2，…，n}，使得y=(x)，由定義6及定義10可得(x,y)∈E(TCQn)；另一方面，若(x,y)∈E(TCQn)，由定理6可得?k∈{1，2，…，n}，使得y=Nk(x)=(x)。根據(jù)定義11可知TCQn是由R1，R2，…，Rn確定的n-維二進(jìn)制遞歸網(wǎng)絡(luò)。證畢

由于TCQn屬于二進(jìn)制遞歸網(wǎng)絡(luò)，因此具備二進(jìn)制遞歸網(wǎng)絡(luò)的所有性質(zhì)，如前面已證明的TCQn為n-正則圖，連通度為n，容錯度為n-1，此外，還有如網(wǎng)絡(luò)直徑的界D(TCQn)不超過n，以及TCQn的核度、堅韌度、離散度等參數(shù)的范圍。此外，TCQn還具有二進(jìn)制遞歸網(wǎng)絡(luò)的遞歸特性，如TCQn中的i維子網(wǎng)總是由更小的i-1維子網(wǎng)遞歸構(gòu)成，子網(wǎng)之間具有類似于網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)的鄰接關(guān)系等。

除了上述性質(zhì)外，TCQn還具有其他網(wǎng)絡(luò)所具有的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，如含有3-立方體。

超立方體及其變體網(wǎng)絡(luò)是由3維網(wǎng)絡(luò)連接構(gòu)成，如果僅考慮同構(gòu)關(guān)系，3維網(wǎng)絡(luò)可以分為3-立方體和3-扭立方體，如圖3所示。

圖3 3維立方網(wǎng)絡(luò)

這些立方體相互連接，遞歸地構(gòu)成了更高維網(wǎng)絡(luò)。在超立方體及其已知的變體結(jié)構(gòu)（如扭n-立方體、廣義扭立方體、M?bius立方體、交叉立方體等）中，都含有3-立方體。根據(jù)TCQn的定義，可得TCQ4立體結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 TCQ4立體結(jié)構(gòu)

容易看出，在TCQ4中不存在3-立方體。但是當(dāng)n≥5時，在TCQn中是存在3-立方體的，舉一個例子即可說明結(jié)論。如在TCQ5中，4長環(huán)＜00000，10000，11000，01000＞與＜00010，10010，11010，01010＞構(gòu)成了一個3-立方體。

5 結(jié)束語

交叉立方體網(wǎng)絡(luò)以其優(yōu)越的結(jié)構(gòu)特性得到了廣泛的研究和應(yīng)用，是一種非常優(yōu)秀和重要的網(wǎng)絡(luò)互連結(jié)構(gòu)。扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)由于結(jié)構(gòu)與交叉立方體網(wǎng)絡(luò)比較接近，因此也具備交叉立方體網(wǎng)絡(luò)的某些良好特性。本文結(jié)合交叉立方體網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造原理，分析了扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的連接方式存在問題，證明了當(dāng)n≥5時，TNn是部分不連通的，并且不連通的結(jié)點(diǎn)是TNn網(wǎng)絡(luò)總結(jié)點(diǎn)數(shù)的一半。同時，本文通過對扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析，提出了一種新型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)——扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)TCQn，證明了扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)是完全連通的，研究了TCQn的正則性、連通度、容錯度、遞歸性等網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)。研究表明，TCQn具有與CQn一樣的網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)，是一種優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。TCQn在結(jié)構(gòu)上與交叉立方體網(wǎng)絡(luò)具有相似性，并且兩者在連接方式上是完全互補(bǔ)的。

鑒于扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)與交叉立方體網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)上的相似性和連接方式上的互補(bǔ)性，扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)無疑也是一種理想的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，因此，有必要進(jìn)一步研究扭交叉立方體網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出其相對于交叉立方體網(wǎng)絡(luò)更好的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，并充分利用其與交叉立方體網(wǎng)絡(luò)連接方式的互補(bǔ)性，實現(xiàn)更優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)連接。

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WANG Xinyang,LIANG Jiarong

College of Computer Science and Electronic Information,Guangxi University,Nanning 530004,China

Referring to the structure of the crossed cube（CQn）and the definition of pair-related,this paper analyzes the structure character of the twisted-cube connected network（TNn）,and proves that TNnis disconnected forn≥5and the number of the disconnected nodes is half of nodes in the network.Besides,by analyzing the problems of the twisted-cube connected network, it obtains a new network structure:the twisted crossed cube（TCQn）,proves that the network is all connected,and makes some preliminary studies on its basic network properties,such as the regularity,connectivity,fault tolerance,recursiveness,and so on, which indicates that the TCQnhas the same excellent network properties as the CQn.

pair-related;crossed cube;twisted-cube connected network;twisted crossed cube

根據(jù)交叉立方體（CQn）的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)對的概念，對扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)（TNn）的結(jié)構(gòu)特性進(jìn)行了分析，證明了當(dāng)n≥5時，TNn是不連通的，并且不連通的結(jié)點(diǎn)數(shù)占整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)數(shù)的一半。通過分析扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)的錯誤所在，提出了一種新型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)——扭交叉立方體（TCQn），證明了該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是完全連通的，初步研究了其基本網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)，如正則性，連通度，容錯度，遞歸性等，表明TCQn具有與CQn同樣優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)。

關(guān)聯(lián)對；交叉立方體；扭立方體連接網(wǎng)絡(luò)；扭交叉立方體

A

TP393

10.3778/j.issn.1002-8331.1110-0579

WANG Xinyang,LIANG Jiarong.Research and analysis on structure of twisted-cube connected network.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：93-99.

國家自然科學(xué)基金（No.61064002）；教育部“新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃”（No.NCET-06-0756）。

王新陽（1985—），男，博士，研究方向為計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)，并行計算，云計算；梁家榮（1966—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)可靠性分析。E-mail：wxyyuppie@139.com

2011-10-28

2012-03-31

1002-8331（2013）13-0093-07

◎數(shù)據(jù)庫、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)◎