孟文晴，李琨，譚玲玲，滕建輔，

1.天津大學電子信息工程學院，天津 300072

2.天津理工大學電子信息工程學院，天津 300384

有源帶阻濾波器的綜合

孟文晴1，李琨2，譚玲玲1，滕建輔1，2

1.天津大學電子信息工程學院，天津 300072

2.天津理工大學電子信息工程學院，天津 300384

1 引言

級聯(lián)型有源濾波器設計技術已經(jīng)很成熟，而且可用的二階節(jié)電路也很多，但這些電路是怎么來的？卻沒有答案。對于無源LC網(wǎng)絡，可以根據(jù)網(wǎng)絡綜合理論，由傳遞函數(shù)導出設計導抗，然后由設計導抗綜合出電路的拓撲結構和元件值。根據(jù)極點移出順序的不同，一個設計導抗可以對應多個電路拓撲結構。對于有源網(wǎng)絡，能否像無源網(wǎng)絡那樣通過網(wǎng)絡綜合得到電路的拓撲結構，以及能否通過有源網(wǎng)絡綜合發(fā)現(xiàn)新的有源RC電路，是一個需要解決的理論問題。Haigh經(jīng)過多年的潛心研究，提出了有源網(wǎng)絡綜合的基本思路和基本理論[1-4]。但如何根據(jù)這些基本理論，由傳遞函數(shù)導出電路的拓撲結構，仍需要進一步研究。本文應用有源網(wǎng)絡綜合的基本理論，研究如何由符號傳遞函數(shù)導出RC有源電路，并給出了無限增益多路負反饋型有源帶阻濾波器的綜合實例。

2 有源網(wǎng)絡綜合的基本理論

綜合法是以網(wǎng)絡綜合理論為基礎的方法，它找出與理想濾波特性相近似的網(wǎng)絡函數(shù)，然后根據(jù)綜合方法實現(xiàn)該網(wǎng)絡函數(shù)，由這種方法設計出來的濾波器，實測的濾波特性與理論計算特性十分接近，所以適合于高精度的濾波器設計要求[1]。該方法將描述特定傳輸函數(shù)的p×p端口導納矩陣擴展到與其等效的n×n節(jié)點導納矩陣，其中n＞p。通過在導納矩陣中引入代表內部節(jié)點的全零行和全零列開始矩陣的擴展，并加入構成有源元件的零器（Nullor），然后應用主元擴展的理論[2]，直到導納矩陣中的每一個元素成為一個單獨的導納元素，Nullor將產(chǎn)生的矩陣元素移動到合適的位置，使其能描述浮動或接地的無源元件[3]，最后獲得的節(jié)點導納矩陣包含代表無源元件的元素和代表有源元件的元素[4]，由此得出滿足給定傳輸函數(shù)的電路結構。

2.1 Nullor模型

Nullor是由零子和任意子組成的。零子（nullator）和任意子（norator）的VCR是通過對其端口電壓和電流的限定來描述的，零子是約束條件為V1(S)=I1(S)=0的單端口網(wǎng)絡，任意子的約束條件是V2(S)=任意值，I2(S)=任意值的單端口網(wǎng)絡。Nullor是具有零傳輸矩陣的兩端口網(wǎng)絡，即：

該矩陣表示零子連接在節(jié)點g和h之間，任意子連接在節(jié)點j和k之間。其中∞i是關聯(lián)無窮參數(shù)，i代表的是第i個Nullor。對于VCVS和CCCS的傳遞函數(shù)，其端口導納矩陣也包含∞i變量，這樣∞i就可以作為端口導納矩陣到節(jié)點導納矩陣轉換的橋梁。

用Nullor構建有源器件的模型，已經(jīng)有很多的研究[5-7]，圖1所示的Nullor可以代表理想的運算放大器。

圖1 Nullor及與其等效的理想運算放大器

2.2 給定電壓或電流傳輸函數(shù)的導納矩陣表達式

對于VCVS的2×2端口導納矩陣，可以通過主元擴展到如表1所示的3×3或4×4矩陣。矩陣的行和列依次從1開始標號，節(jié)點1和節(jié)點2分別為輸入和輸出節(jié)點，并與其他的節(jié)點通過交叉直線區(qū)分。表1[1]的第一種類型適用于正的傳輸函數(shù)，并且傳輸函數(shù)中分子N包含在分母D中；第二種類型也適用于正的傳輸函數(shù)，但是傳輸函數(shù)中分母D包含在分子N中；第三種類型適用于負的傳輸函數(shù)，并且分子和分母是相互獨立的；第四種類型適用于分子或是分母中有正負組合的項。為了得到更高階的傳遞函數(shù)，表中的矩陣元素可以依據(jù)主元擴展理論進行擴展。

表1 實現(xiàn)給定電壓傳輸函數(shù)的電路的導納矩陣

2.3 等效矩陣變換

任意元素定理對于單獨的變量∞i，矩陣中的任意有限元素可以加到它所在的行和列的任意位置；對于導納矩陣中位于同一行或同一列的±∞i，矩陣中的任意有限元素可以加到該行或該列的任意位置[8]。

元素移動定理當±∞i位于矩陣的同一行時，±∞i所在列的其他元素可以在對應列自由移動；當±∞i位于矩陣的同一列時，±∞i所在行的其他元素可以在對應行自由移動。另外，對應非端口節(jié)點的元素可以進行尺度變換，并且可以加到任意行或列[8]。

3 有源網(wǎng)絡綜合的方法

無源RC電路的綜合過程[]可以擴展到有源RC電路的綜合[]中，綜合過程主要分為以下六步：

（1）從表1中選擇合適的擴展矩陣。

（2）對照傳輸函數(shù)確定擴展矩陣中的各個元素。

（3）對N、D、P、Q進行擴展，直到所有的函數(shù)均為一階導納函數(shù)。

（4）利用任意元素定理、元素移動定理，引入相應的矩陣元素或移動原有的矩陣元素。

（5）VCVS類型的傳輸函數(shù)通常用于級聯(lián)的形式。表1是VCVS傳輸函數(shù)的導納矩陣，第1行為全零行，就意味著它的輸入導納為零，然而VCVS類型的電路的輸出導納趨于無窮，所以當用于級聯(lián)形式時，可以放松輸入導納為零的限制。

（6）對于矩陣中的±y元素，+y處于對角線位置，-y與+y位于同一行并且在第1列時，可以進行式（3）的矩陣變換，以去除輸入導納為零的限制。

如果所有的矩陣元素現(xiàn)在都能正確地描述無源元件，那么這個電路就是單Nullor電路，否則添加額外的Nullor來引入缺失的矩陣元素[1]：

①單個正的非對角線元素y

添加全零行和全零列，并在節(jié)點2和3之間引入零子，節(jié)點1和3之間引入任意子，利用元素移動定理將y移至主對角線位置。同樣的方法適用于②、③、④情況（方括號表示該元素處于對角線位置）。

②單個負的對角線元素-y

4 有源帶阻濾波器綜合實例

為了得到帶阻濾波器，選擇的電路的傳遞函數(shù)為式（9）：

其中，a、b、d、e、g、h、i、j為電阻，c、f為電容，由于傳輸函數(shù)的分子和分母中有正負組合的元素，所以選定的待擴展矩陣為表1的第四種類型，將式（9）寫成：

在選定了傳遞函數(shù)后，確定矩陣中的各個元素：

陣中y51和y55元素進行主元擴展，得到矩陣（13）：

式（13）中，∞1和-∞1所在的行可以加上任意的元素，由此引入±j和±e。對于元素±a和±b，由第3章的第（5）步消除輸入導納為零的限制，可以將第零行的±a和±b移至第1行，所以矩陣（13）等價為矩陣（14）：

在第5行引入全零行，第6列引入全零列，并在第5節(jié)點和參考點間引入任意子，在第6節(jié)點和參考點之間引入零子，得到矩陣（15）：

式（11）中引入了任意一階導納函數(shù)Q1，適當?shù)剡x取Q1進行主元擴展。選取Q1=d(b+c+f+g)+fc，并對矩陣中元素進行主元擴展，得到矩陣（12）：

再次引入一階導納函數(shù)Q2，令Q2=b+c+f+g，對矩

根據(jù)任意元素定理，可以在第5行相應位置引入±c，第5行和第6列的相應位置上引入±d、±h和±f。

從式（16）可以看出，此電路包含兩對Nullor，其中一對的零子接在節(jié)點3和節(jié)點4之間，任意子接在節(jié)點2和參考節(jié)點之間，另一對的零子接在節(jié)點5和參考點之間，任意子接在節(jié)點6和參考點之間。因此，綜合后的電路結構如圖2所示。

在式（1）中，如果選取a、b、d、e、g、h、i、j是電阻，c、f是電容，可以實現(xiàn)二階帶阻濾波器，如圖3所示。

圖3 二階帶阻濾波器電路

圖3所示電路的傳遞函數(shù)[11]為式（17）：

設帶阻濾波器的fo=1 kHz，Qp=2，K=2，取C1=C2= 10 nF，R2=R3=R4=15 kΩ，2R1=R6，由式（18）和式（19）可得R1=31.85 kΩ，R6=63.69 kΩ，R5=4.55 kΩ。取RA=RB=10 kΩ，所實現(xiàn)的電路如圖4所示。

通過SPICE仿真，得到最終仿真結果如圖5所示；實測結果如圖6所示。實測過程中通過改變R5、R6、C1和C2的值，發(fā)現(xiàn)元件誤差會導致濾波器中心頻率及衰減特性發(fā)生偏差，因此經(jīng)過精細調節(jié)可以實現(xiàn)。

圖4 二階帶阻濾波器電路圖

圖5 二階帶阻濾波器仿真

圖6 二階帶阻濾波器實測曲線

5 結論

對于一個較為復雜的傳遞函數(shù)，靈活運用有源RC網(wǎng)絡綜合的方法，對矩陣進行了主元擴展，導出了新的二階RC帶阻濾波器電路。不同于其他的電路綜合方法，本文方法從數(shù)學的角度出發(fā)，不對電路結構做任何推測，從傳輸函數(shù)的端口矩陣，通過主元擴展到節(jié)點導納矩陣，最后得出電路結構。

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MENG Wenqing1,LI Kun2,TAN Lingling1,TENG Jianfu1，2

1.School of Electronic Information Engineering,Tianjin University,Tianjin 300072,China
2.School of Electronic Information Engineering,Tianjin University of Technology，Tianjin 300384,China

The design technique for cascaded active filter is mature,but the synthesis of biquadratic circuit is still need to be further studied.Based on the theory of active network synthesis,a method of new active circuit synthesis is given which uses symbolic voltage transfer function and linked infinity variables to describe both Nullors in the nodal admittance matrix and port admittance matrix of a synthesized circuit.The circuit topology is derived by admittance matrix expansion.A new 2nd-order active-RC bandstop filter synthesis example is presented by using privotal expansion on the port matrix.The simulation and the measured results verify the correctness of the given method.

active network synthesis;Nullor;admittance matrix;bandstop filter

級聯(lián)型有源濾波器的設計技術已經(jīng)非常成熟，但二階節(jié)電路的綜合是尚未解決的難題。根據(jù)有源網(wǎng)絡綜合理論，給出了有源電路新拓撲結構的綜合方法。該方法通過給定的電壓符號傳輸函數(shù)，使用關聯(lián)無窮變量來描述被綜合電路中節(jié)點導納矩陣和端口導納矩陣中的零子和任意子，通過導納矩陣的擴展導出電路的拓撲結構。這種方法可以綜合出新的電路結構；給出了二階有源帶阻濾波器新電路的綜合實例。仿真和實測結果驗證了該方法的正確性。

有源網(wǎng)絡綜合；Nullor模型；導納矩陣；帶阻濾波器

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1112-0623

MENG Wenqing,LI Kun,TAN Lingling,et al.Synthesis of active bandstop filter.Computer Engineering and Applications, 2013,49（19）：213-216.

孟文晴（1986—），女，碩士研究生，研究方向為濾波器電路綜合，射頻電路設計，數(shù)字信號處理；李琨（1981—），男，博士，講師，研究方向為濾波器電路綜合，射頻電路設計，數(shù)字信號處理；譚玲玲（1986—），女，碩博連讀研究生，研究方向為有源網(wǎng)絡綜合；滕建輔（1954—），男，教授，博士生導師，研究方向為濾波器的理論與設計，電路設計，信號處理技術。E-mail：mengwenqing@126.com

2012-01-02

2012-03-01

1002-8331（2013）19-0213-04

CNKI出版日期：2012-05-21http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120521.1137.006.html