趙寶福，張艷菊

遼寧工程技術(shù)大學(xué)工商管理學(xué)院，遼寧葫蘆島 125105

要素雙重模糊下的合作博弈Shapley值的算法

趙寶福，張艷菊

遼寧工程技術(shù)大學(xué)工商管理學(xué)院，遼寧葫蘆島 125105

1 前言

相比于非合作博弈研究局中人的具體結(jié)盟對(duì)策，經(jīng)典的合作博弈研究的是聯(lián)盟最終形成及聯(lián)盟內(nèi)部的公平收益分配。Shapley值是合作博弈理論上的一種解的表達(dá)式。

經(jīng)典合作博弈存在以下兩個(gè)嚴(yán)格假設(shè)：局中人至多加入一個(gè)聯(lián)盟且局中人完全地加入某個(gè)聯(lián)盟；聯(lián)盟支付事前已知?？墒窃趯?shí)際中，局中人有時(shí)可以以不同的參與度參加到不同的聯(lián)盟中，并且他們不同合作策略選擇下的收益也具有不確定性。為了更好地將博弈論應(yīng)用到實(shí)際生活中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開(kāi)了模糊合作博弈理論研究。

到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要圍繞以下兩方面進(jìn)行研究：

（1）僅參與度模糊的模糊合作博弈（也稱(chēng)為聯(lián)盟模糊的模糊合作博弈）。主要成果：Aubin[1]正式提出了模糊合作博弈的概念；Butnariu[2-3]對(duì)模糊Shapley值給出了定義，但是該定義未能很好地滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用需求；Tsurumi[4]在前人研究的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)具有Choquet積分的模糊Shapley值，該構(gòu)造既單調(diào)非減又連續(xù)；文獻(xiàn)[5]將局中人的聯(lián)盟隸屬度表示為介于[0，l]區(qū)間的三角模糊數(shù)，該研究未考慮模糊被測(cè)函數(shù)下的Choquet積分計(jì)算中的一個(gè)重要問(wèn)題，即不同置信水平下模糊隸屬度截集的排序問(wèn)題。

（2）僅具有模糊支付的模糊合作博弈。主要成果：Mares[6-7]拓廣了原有的模糊合作博弈，指出帶有模糊支付的合作博弈也是模糊合作博弈的一種形式，按照傳統(tǒng)的Shapley值定義了模糊Shapley值，但是，他定義的模糊Shapley值無(wú)法滿(mǎn)足Shapley提出的三條公理；Aarts[8]等從集合論的角度，研究了合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值得到了拓展和延伸；文獻(xiàn)[9]利用區(qū)間數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，拓展了傳統(tǒng)Shapley函數(shù)滿(mǎn)足的三條公理，提出了聯(lián)盟支付為區(qū)間數(shù)的Shapley函數(shù)形式，該研究對(duì)本文的研究起到一定的啟發(fā)作用。

模糊合作博弈除了以上兩部分內(nèi)容之外，還應(yīng)包括具有模糊支付和模糊參與度的模糊合作博弈。Borkotokey[10]構(gòu)建了帶模糊支付和模糊聯(lián)盟的模糊合作博弈的基礎(chǔ)理論框架，并對(duì)其進(jìn)行了初步分析。孟凡永、張強(qiáng)[11]定義了模糊支付下具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，提出了該模糊合作博弈下具有Choquet形式的Shapley值。該研究本質(zhì)上是帶模糊支付的合作博弈，局中人相對(duì)于合作的隸屬度仍為實(shí)數(shù)。鄒珍珍[12]僅提出了該模糊合作博弈的思想，支付函數(shù)以及Shapley函數(shù)等問(wèn)題都未提及。

綜上所述，目前對(duì)于具有模糊支付和參與度模糊的模糊合作博弈的研究只是提出了這個(gè)理念，尚未有人進(jìn)行全面研究，究其原因是該研究涉及到模糊數(shù)的運(yùn)算及模糊數(shù)的排序，以往基于擴(kuò)張?jiān)淼哪：龜?shù)的排序和運(yùn)算存在遍歷性，非常復(fù)雜。本文利用模糊數(shù)學(xué)相關(guān)理論，在Choquet積分形式的基礎(chǔ)上，將支付函數(shù)和參與度拓展為模糊數(shù)，給出要素雙重模糊下的模糊合作博弈的定義及其Shapley值的定義。應(yīng)用模糊結(jié)構(gòu)元理論[13-17]，構(gòu)造了要素雙重模糊下的模糊合作博弈的模糊Shapley值，使模糊Shapley值的隸屬函數(shù)得到解析表達(dá)。該研究使得模糊Shapley值的表達(dá)易操作、推廣，必將使模糊合作博弈理論在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中發(fā)揮更充分的作用。

2 傳統(tǒng)合作博弈的Shapley值

合作博弈是局中人在競(jìng)爭(zhēng)中為取得自己的最大利益而進(jìn)行決策分析的模型。在合作博弈的過(guò)程中，局中人需要考慮如何結(jié)成聯(lián)盟及如何分配合作所取得的收益。

其中，k為聯(lián)盟K中的人數(shù)，n為局中人的個(gè)數(shù)。φ(ν)=(φi(ν)),i∈I，為Shapley值向量，簡(jiǎn)稱(chēng)Shapley值，它是支付函數(shù)ν的單調(diào)非減函數(shù)，在滿(mǎn)足超可加性的合作博弈中表示某一確定的分配。

3 基于模糊結(jié)構(gòu)元的模糊數(shù)表示及模糊數(shù)排序

設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集，隸屬函數(shù)記為E(x)，x∈R。如果E(x)滿(mǎn)足下述性質(zhì)：（1）E(0)=1；（2）在區(qū)間[-1，0)上E(x)是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1]上是單降左連續(xù)函數(shù)；（3）當(dāng)x＜-1或者x＞1時(shí)，E(x)=0。則稱(chēng)E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元。

若模糊結(jié)構(gòu)元E滿(mǎn)足：（1）?x∈(-1，1)，E(x)＞0；（2）E(x)連續(xù)，且在[-1，0)上嚴(yán)格單增，在（0，1]上嚴(yán)格單降，則稱(chēng)E為正則的；若E(-x)=E(x)，稱(chēng)E為對(duì)稱(chēng)的。

定理1[15]設(shè)E是R上的任意模糊結(jié)構(gòu)元，具有隸屬函數(shù)E(x)，f(x)是[-1，1]上單調(diào)有界函數(shù)，則f(E)是R上有界閉模糊數(shù)。反之，對(duì)于給定的正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有界閉模糊數(shù)A~，總存在一個(gè)[-1，1]上的單調(diào)有界函數(shù)f，使得A~=f(E)，稱(chēng)模糊數(shù)A~是由模糊結(jié)構(gòu)元E生成的。

定理2[15]若模糊數(shù)A~=f(E)，則A~的隸屬函數(shù)為E(f-1(x))，這里f-1(x)是f(x)關(guān)于變量x和y的輪換對(duì)稱(chēng)函數(shù)（若f(x)是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f-1(x)是f(x)的反函數(shù)）。

上述定理的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13-17]。

例如，對(duì)于三角模糊數(shù)A~=(a，b，c)，取模糊結(jié)構(gòu)元E，其隸屬函數(shù)為：

定理3[15]設(shè)E是對(duì)稱(chēng)模糊結(jié)構(gòu)元，如果f和g是[-1，1]上兩個(gè)同序單調(diào)函數(shù)（不妨假定都是單調(diào)增函數(shù)），模糊數(shù)A=f(E)，B=g(E)，fτk是f的同序變換，則有如下結(jié)論：

（1）A和B是任意有界模糊數(shù)，則A+B=(f+g)(E)，具有隸屬函數(shù)：

模糊數(shù)可按照該定義進(jìn)行比較排序，詳盡內(nèi)容請(qǐng)見(jiàn)參考文獻(xiàn)[18]。

4 要素雙重模糊下的模糊合作博弈定義、性質(zhì)及Shapley值

5 模糊Shapley值的結(jié)構(gòu)元表示

證明證明過(guò)程同定理6，此處略。

6 結(jié)構(gòu)元線(xiàn)性生成的模糊Shapley值表達(dá)式

證明證明過(guò)程同結(jié)論1，此處略。

7 算例

假設(shè)局中人a1、a2、a3三家企業(yè)欲合作一項(xiàng)目，如果局中人獨(dú)立完成，則a1可獲利約為100萬(wàn)元，a2、a3分別可獲利約為200萬(wàn)元；如果a1、a2合作、a1、a3合作分別可獲利約為600萬(wàn)元，如果a2、a3合作可獲利約為800萬(wàn)元，如果a1、a2、a3合作可獲利約為1 200萬(wàn)元。a1、a2、a3參與該項(xiàng)目的參與度分別約為0.2、0.4、0.6。上述預(yù)期收益用三角模糊數(shù)表示為：

根據(jù)定理7，要素雙重模糊下的模糊合作博弈的局中人a1的Shapley值計(jì)算過(guò)程為：

8 結(jié)論

在前人提出具有模糊支付和模糊參與度概念的基礎(chǔ)上，本文基于Choquet積分，將支付函數(shù)和參與度拓展為模糊數(shù)，給出要素雙重模糊下的模糊合作博弈的定義和要素雙重模糊下的模糊合作博弈Shapley值的定義。應(yīng)用模糊結(jié)構(gòu)元理論，構(gòu)造了要素雙重模糊下的模糊合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值的隸屬函數(shù)得到解析表達(dá)。從算例可以看出該研究使得模糊Shapley值的表達(dá)易操作、推廣，必將使模糊合作博弈理論在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中發(fā)揮更充分的作用。

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ZHAO Baofu,ZHANG Yanju

School of Business Administration,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

Considering that in the practical applications,the player can attend different league with the different participation,and they don’t sure benefits before cooperation under different cooperation strategy choice,the paper uses fuzzy mathematics theory in the traditional cooperative game.This paper expands benefits and participation as fuzzy numbers based on the Choquet integral and gives the definition of fuzzy cooperative games and fuzzy Shapley value with dual fuzzy factors.The fuzzy structured element theory is applied to analyze fuzzy cooperative games with dual fuzzy factors.The membership function of the fuzzy Shapley value can get analytic expression.An example is used to illustrate the specific application of the model.It can be seen that this method and conclusion is easy to master and promote.Fuzzy cooperative game theory can be applied more widely to real life.

cooperative games;fuzzy mathematics;Shapley value;structured element

考慮到現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，局中人可能以不同的參與度參加到不同的聯(lián)盟中，并且他們?cè)诤献髦安淮_定不同合作策略選擇下的收益，則在傳統(tǒng)合作博弈中應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)理論?；贑hoquet積分，將支付函數(shù)和參與度拓展為模糊數(shù)，給出要素雙重模糊下的模糊合作博弈的定義和模糊合作博弈Shapley值的定義。應(yīng)用模糊結(jié)構(gòu)元理論，構(gòu)造了要素雙重模糊下的模糊合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值的隸屬函數(shù)得到解析表達(dá)。通過(guò)一個(gè)算例，來(lái)說(shuō)明該模型的具體應(yīng)用?？梢钥闯?，該研究方法和結(jié)論易掌握、推廣，使模糊合作博弈理論可以更廣泛地應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。

合作博弈；模糊數(shù)學(xué)；Shapley值；結(jié)構(gòu)元

A

TP301

10.3778/j.issn.1002-8331.1306-0123

ZHAO Baofu,ZHANG Yanju.Algorithm of Shapley value for cooperative games with dual fuzzy factors.Computer Engineering and Applications,2013,49（19）：25-30.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.71201012）；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金（No.12YJC630071）；葫蘆島市科技局研究項(xiàng)目。

趙寶福（1957—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：模糊決策理論與應(yīng)用，區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)股份制經(jīng)濟(jì)等；張艷菊（1983—），通訊作者，女，博士研究生，研究方向：模糊決策理論與應(yīng)用，區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)等。E-mail：juzi2002@126.com

2013-06-12

2013-08-01

1002-8331（2013）19-0025-06

CNKI出版日期：2013-08-05http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130805.0943.002.html

◎理論研究、研發(fā)設(shè)計(jì)◎