崔美英，容躍堂

（榆林學(xué)院能源工程學(xué)院，陜西榆林719000）

一類反應(yīng)擴散方程組解的一致爆破模式

崔美英，容躍堂

（榆林學(xué)院能源工程學(xué)院，陜西榆林719000）

研究了一類帶有非局部源的反應(yīng)擴散方程組解的爆破,通過構(gòu)造函數(shù)，得出解的一致爆破模式.

反應(yīng)擴散方程組；一致爆破模式

1 引言

本文考慮如下帶有非局部源的退化方程組解的一致爆破模式

其中Ω∈RN是有界區(qū)域,具有光滑的邊界?Ω,m,n＞1,p1, p2,q1,q2為非負常數(shù)且q1q2＞0,初始值u0(x),v0(x)是Ω上的非平凡非負連續(xù)函數(shù).

近二十年來,很多學(xué)者都致力于研究非局部問題（參見文獻[1]—[4]）,其中文獻[4]中作者已經(jīng)得出當p1,p2,q1,q2≥1時方程組(1)的解的整體存在性,從該文獻的證明過程中我們也可以得出當m,n＞1,p1,p2,q1,q2為非負常數(shù)且q1q2＞0時方程組（1）的解也是整體存在的.關(guān)于解的爆破性質(zhì)，文獻[5]有如下結(jié)論：

假設(shè)有下列條件之一成立

且初值u0,v0充分大,則問題（1）的解在有限時刻爆破.并且當p1=p2=0且q1q2＞mn時，u,v同時爆破.

2 解的一致爆破模式

關(guān)于解的一致爆破模式，我們有如下定理：

定理1 當u,v爆破時，有爆破模式

在Ω的任意緊子集上一致成立.

為了證明上述定理,我們需要作如下變換：

問題（1）就可以變成如下形式：

其中

按照文獻[6]中Souplet的思想,我們定義

引理1 令(U,V)是問題(2)的一個解,如果U和V在某一有限時刻T*同時爆破,那么就有如下結(jié)論成立：

(i)在Ω×[T*/2,T*]上,存在一個常數(shù)k1≥0滿足

(ii)下列兩式在Ω的緊子集上一致成立：

(iii)令kρ={y∈Ω：dist(y,?Ω)≥ρ＞0},對于任意的(x,τ)∈kρ× [T*/2,T*),都存在一個常數(shù)k2＞0滿足

標注1 這個引理的證明與參考文獻[7]中的引理5.2和引理5.4的證明類似,我們不再贅述.

定義1 f(t)和g(t)都是定義在[0,T)上的兩個函數(shù).如果存在常數(shù)k*≥k＞0和0＜t0＜T,滿足kf(t)≤g(t)≤k*f(t),?t∈[t0,T),那么我們稱f(t)與g(t)是同階的,記作f(t)?g(t).如果=1或者=C（C為任一常數(shù)）,記作f(t)～g(t).

引理2 令(U,V)是問題(2)的一個解,如果U和V在某一有限時刻T*同時爆破,那么就有如下結(jié)論成立：

(i)如果p1＞0,那么

(ii)如果p2＞0,那么

(iii)如果p1=0,那么

(iv)如果p2=0,那么

證明 (i)p1＞0時p*1＞0,由引理1(i)可知

同時，從引理1(iii)中我們得知，對于所有的(x,τ)∈kρ× [T*/2,T*],都有

令τ0=max{τ1,τ3}，從(3),(4)式中我們可得

(ii)的證明與(i)類似,此處不再贅述.

(iii)根據(jù)引理1(ii)的結(jié)論,我們可以得出u(x,τ)～((1-r1)G1(τ))1/(1-r1),和V(x,τ)～((1-r2)G2(τ))1/(1-r2)在Ω的任意緊子集上一致成立,再根據(jù)勒貝格收斂定理就可以得到(τ),即引理2(iii)成立.

(iv)的證明與(iii)類似,也可以很容易得出結(jié)論.

定理1 的證明：

如果p1=p2=0,那么p*1=p*2=0,由引理2

再結(jié)合(5)式我們有

對上述的第一個式子進行積分得

由引理1，上式可變換為

即

再將這部分剛開始所作的變換帶入上式得到

進而得

任意緊子集上一致成立,以同樣的方法可以得到v的一致爆破模式,因此定理1得證.

〔1〕Jiang L J,Li H L.Uniform blow-up profiles and boundary layer for a parabolic system w ith nonlocal sourees[J].Mathematical and Computer Modelling, 2007,45:814-824.

〔2〕孔令花,王明新.帶有非局部源和非局部邊界條件的拋物型方程組解的爆破性質(zhì)[J].中國科學(xué)A輯:數(shù)學(xué),2007,37 (7):817-832.

〔3〕Li F C,Xie C H.Existence and Blow2up for a Degenerate Parabolic Equation w ith Nonlocal Source[J]. Nonlinear Anal,2003,52(3):523-534.

〔4〕樊彩虹，容躍堂.一類帶非局部源的反應(yīng)擴散方程組解的整體存在[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報，2009,22(2):172-176.

〔5〕容躍堂，崔美英.一類反映擴散方程組解的爆破[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報，2011,24(4):495-498.

〔6〕Souplet P.Uniform blow up profiles and boundary behavior for diffusion equations w ith nonlocal nonlinear source[J].JDiffer Equations,1999,153:374-406.

〔7〕Du L L.Blow up for a degenerate reaction diffusion system w ith nonlinear localizde sources[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,324:304-320.

〔8〕Chen Y P,Xie C H.Blow up for a porous medium equation w ith a localized source[J].Applied Mathematics and Computation,2004,159:79-93.

O175.29

A

1673-260X（2013）09-0001-03

榆林學(xué)院高層次人才科研啟動基金項目（12GK38）