周靜雷，朱增友

（西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048）

最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)

周靜雷，朱增友

（西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710048）

在需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行再量化的場合，可以通過加入dither來避免小信號(hào)再量化所產(chǎn)生的諧波失真，但同時(shí)會(huì)使噪聲功率增加。這種情況下，可以利用人耳的心理聲學(xué)特性，通過噪聲整形來降低噪聲的可聞性，提高實(shí)際的信噪比，改善音質(zhì)。本文提出了兩種新的設(shè)計(jì)最優(yōu)噪聲整形濾波器的方法-遺傳算法和非線性優(yōu)化算法，并分別實(shí)現(xiàn)了原采樣率下和過采樣率下基于心理聲學(xué)模型的最優(yōu)噪聲整形濾波的設(shè)計(jì)。結(jié)果證明，該方法靈活方便、實(shí)現(xiàn)效果良好。

dither；心理聲學(xué)；噪聲整形；遺傳算法；非線性優(yōu)化算法；上采樣

在數(shù)字音頻應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到信號(hào)的再量化。比如，對(duì)于20或24 bit的音頻文件必須先將其降16 bit才能在CD機(jī)上播放[1-2]。再如，在數(shù)字音頻信號(hào)處理中，任何一種處理都可以歸結(jié)為某種形式的濾波，而濾波過程中需要做大量的乘累積運(yùn)算。對(duì)于一般的應(yīng)用，比如采用定點(diǎn)DSP處理時(shí)，首先需要將濾波器系數(shù)截?cái)喑啥c(diǎn)，而且在運(yùn)算過程中又不可避免進(jìn)行多次四舍五入處理，這樣一來誤差不斷積累，會(huì)導(dǎo)致輸出端音質(zhì)的嚴(yán)重惡化。因此，對(duì)于高端音頻應(yīng)用，一般都是采用高性能的浮點(diǎn)處理器進(jìn)行內(nèi)部處理，處理完畢后再將結(jié)果按照需要降到相應(yīng)的格式，如16 bit[3]。該過程也相當(dāng)于信號(hào)的再量化。

再量化不可避免地引入誤差。當(dāng)信號(hào)幅度較小時(shí)，由于再量化，在輸出端可能會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的諧波失真，使聲音聽起來出現(xiàn)“怪音”；當(dāng)信號(hào)幅度逐漸衰減到0時(shí)，由于再量化聲音會(huì)斷斷續(xù)續(xù)，極不自然。如果在再量化之前加入適當(dāng)?shù)膁ither（如 TPDF 型 dither）[2]，則可以消除諧波失真，并保留微弱信息，使聲音聽起來更加自然，但它同時(shí)會(huì)增加噪聲功率。這種請(qǐng)況下，可以利用人耳的心理聲學(xué)特性，通過噪聲整形將噪聲功率轉(zhuǎn)移到人耳不敏感的頻帶內(nèi)，使接收到的總的加權(quán)噪聲功率最小，從而提高輸出端實(shí)際的信噪比。

噪聲整形技術(shù)的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)出滿足心理聲學(xué)特性的噪聲整形濾波器。文獻(xiàn)[1][4]分別討論了利用希爾伯特變換和最小二乘理論實(shí)現(xiàn)非過采樣下噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)方法。本文首先利用遺傳算法完成了最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)，并將噪聲整形技術(shù)應(yīng)用到上采樣處理中，實(shí)現(xiàn)了過采樣下最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)。此外，針對(duì)遺傳算法優(yōu)化速度慢的缺點(diǎn)，還探討了采用非線性優(yōu)化算法設(shè)計(jì)最優(yōu)噪聲整形濾波器的方法，分別實(shí)現(xiàn)了原采樣率和過采樣下最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)。

1 噪聲整形的原理

噪聲整形的基本思想是根據(jù)人耳對(duì)噪聲的敏感程度隨著頻率的變化而不同的心理聲學(xué)特性，將大部分噪聲功率轉(zhuǎn)移到人耳相對(duì)不敏感的頻帶，從而使接受到的可聞噪聲功率最小[1-5]?；谛睦砺晫W(xué)的噪聲整形是根據(jù)聽覺加權(quán)曲線，通過反饋在量化過程中產(chǎn)生的噪聲，將噪聲譜整形成類似加權(quán)曲線的倒轉(zhuǎn)形式，從而使噪聲在整個(gè)頻帶上都具有相同的可聞性。聽覺加權(quán)曲線是用來近似不同頻率處噪聲的相對(duì)可聞性，常用的加權(quán)曲線有改進(jìn)的E加權(quán)曲線和F加權(quán)曲線，文中將采用F加權(quán)曲線進(jìn)行討論。由于F加權(quán)曲線在直流附近和高頻處的極大衰減，會(huì)導(dǎo)致此處未加權(quán)噪聲功率無法接受，因此一般在所有頻段加上一個(gè)小的正常數(shù)對(duì)其進(jìn)行修正，這樣就得到修正的F加權(quán)曲線[1]。

噪聲整形的原理框圖如圖1所示。

圖1 噪聲整形原理框圖Fig.1 Schematic diagram of noise shaping

圖中，H（z）是誤差反饋濾波器也即噪聲整形濾波器，其單位脈沖響應(yīng)記為 h（n），e（n）代表量化誤差信號(hào)，e′（n）是輸出端的加性噪聲，由圖中所示信號(hào)節(jié)點(diǎn)可以得到：

變換到Z域得：

可以看到，量化誤差信號(hào)被誤差反饋濾波器H（z）決定的系統(tǒng) 1-H（z）所整形，而輸入信號(hào)未受影響。 用 z=ejω代入（3）式可得輸出端噪聲信號(hào)的功率譜:

為了實(shí)現(xiàn)輸出端噪聲最小可聞，H（ejω）要設(shè)計(jì)成使得總的聽覺加權(quán)噪聲功率Nω最?。?/p>

其中：

用W進(jìn)行規(guī)范化處理以保證當(dāng)1-H（z）的幅度以對(duì)數(shù)表示時(shí)曲線在0 dB以上的面積跟以下的面積相等。

2 基于遺傳算法的最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)

由圖2可知，誤差信號(hào)只有在再量化后才可用，因此必須有一個(gè)采樣點(diǎn)的延時(shí)，故的一般表達(dá)式為：

當(dāng)對(duì)于所有的i都有bi=0就對(duì)應(yīng)著一種特殊的濾波器-FIR濾波器，由此可得到1-H（z）的一般形式如下：

其中，1-H（z）必須是最小相位濾波器[1-2，4]。 采用遺傳算法來求解最優(yōu)噪聲整形濾波器的步驟為:1）將由式（7）、（8）決定的曲線進(jìn)行開方，并將其作為目標(biāo)曲線 T（f）；2）由（10）、（11）式，根據(jù)需要選擇適當(dāng)?shù)臑V波器階數(shù)以及濾波器結(jié)構(gòu)（級(jí)聯(lián)型或直接型），并將 z=ejw（w=2×pi×f/fs）帶入式中，求得 1-H（z）的含待定系數(shù)的幅度譜H（f）；3）在頻率軸上等間隔地取一定數(shù)量的點(diǎn)將它們離散化，將二者相對(duì)誤差的平方和（或取對(duì)數(shù)后的方差）作為適合度函數(shù)。由于1-H（z）必須是最小相位的，因此將零、極點(diǎn)距原點(diǎn)的距離小于1作為約束條件。設(shè)定合適的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過若干次優(yōu)化即可得到最優(yōu)噪聲整形濾波器的系數(shù)。

圖2是在采樣率為44.1 kHz下，通過選擇k=10-4，α=0.5得到修正加權(quán)曲線 W′（ω），由式（7）、（8）得到的目標(biāo)曲線。 圖3中虛線為利用遺傳算法優(yōu)化得到的9階FIR噪聲整形濾波器H（z）所對(duì)應(yīng)的1-H（z）的功率譜特性曲線?？梢钥闯?，實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線在低頻段吻合的比較好，在直流及高頻段有些許差別。

圖2 原采樣率下目標(biāo)曲線Fig.2 Target curve of non-oversampling

圖3 原采樣率下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線比較 （遺傳算法-9階FIR）Fig.3 Comparison of actual design curve and the target curve in nonoversampling （Genetic algorithm-9th FIR）

3 過采樣下最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)

在數(shù)字音頻信號(hào)處理中，上采樣（Upsampling）是一種重要的提升音質(zhì)的手段。它是通過某種算法在以fs為采樣率的原始輸入相鄰樣點(diǎn)之間插入L－1個(gè)新的樣點(diǎn)，使輸出采樣率變成L.fs。通過上采樣可以將原量化噪聲功率分散到更寬的頻帶，從而減小聽覺頻帶內(nèi)的噪聲功率，同時(shí)可以降低DAC后級(jí)聯(lián)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)要求，降低其實(shí)現(xiàn)難度和成本。因此，目前的解碼系統(tǒng)在DAC之前一般都要先進(jìn)行上采樣，但基本都是采用集成芯片實(shí)現(xiàn)，由于面積限制，其技術(shù)指標(biāo)往往不能滿足高端音頻應(yīng)用的需求。這種情況下可以考慮采用DSP或FPGA等來專門實(shí)現(xiàn)上采樣。由于上采樣中同樣需要做大量的運(yùn)算，也需要對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行再量化處理。這時(shí)，可以加入處理并采用噪聲整形技術(shù)來進(jìn)一步降低噪聲。這就需要考慮過采樣下的最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)。為簡便期間，文中僅討論2倍過采樣的情形。

由于以上采用的F加權(quán)曲線僅僅涉及到0～fs/2頻率范圍，因此必須將該曲線加以擴(kuò)展，使之在0～fs內(nèi)都有定義。一種簡單的方法是認(rèn)為噪聲fs/2～fs在頻帶內(nèi)具有相同的可聞性，根據(jù)“1－H（z）的幅度以對(duì)數(shù)表示時(shí)0 dB以上跟0 dB以下面積相等”的原則，便可得到2倍過采樣下的目標(biāo)曲線（如圖4所示）。圖5中虛線是采用上述遺傳算法優(yōu)化得到的實(shí)際設(shè)計(jì)曲線，它是24階的FIR濾波器?？梢钥吹皆诼犛X范圍內(nèi)二者吻合的很好，在高于fs/2的頻段實(shí)際設(shè)計(jì)曲線有逐漸衰減的紋波出現(xiàn)。

圖4 2倍過采樣下目標(biāo)曲線Fig.4 Actual design curve in 2 times oversampling

圖5 2倍過采樣下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線對(duì)比（遺傳算法－24階FIR）Fig.5 Comparison of actual design curve and the target curve in 2 times oversampling （nonlinear optimization －10th IIR）

4 基于非線性優(yōu)化算法的最優(yōu)噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)

前面采用遺傳算法，利用FIR濾波器設(shè)計(jì)最優(yōu)噪聲整形濾波器?？梢钥吹?，實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線在大部分頻帶內(nèi)吻合的比較好，而在高頻段與目標(biāo)曲線有些差距，尤其是在2倍過采樣下在高于fs/2頻帶內(nèi)出現(xiàn)了紋波。理論上，可以采用更高階的濾波器來使得實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線更加吻合。然而，當(dāng)待求濾波器系數(shù)比較多時(shí)利用遺傳算法優(yōu)化起來會(huì)非常耗時(shí)且不容易得到滿意結(jié)果，并且濾波器階數(shù)太高會(huì)造成實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的困難。針對(duì)遺傳算法優(yōu)化速度慢的缺點(diǎn)，下面采用另一種優(yōu)化算法—非線性優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。非線性優(yōu)化算法是以使輸出序列的均方差最小為優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行非線性優(yōu)化的，優(yōu)化速度比較快；此外，由于噪聲整形濾波器只會(huì)改變噪聲譜，不會(huì)對(duì)有用信號(hào)造成影響，因此可以使用IIR型濾波器來代替FIR型濾波器以降低濾波器階數(shù)。

采用非線性優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，1－H（z）采用級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，且由于它的特殊性（見式（13）），每級(jí)的一般形式為[1 c1 c2 1 d1 d2]，c1、c2、d1、d2 分別為分子分母待定系數(shù)。 由于濾波器的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，故其零極點(diǎn)或以共軛對(duì)形式存在或位于實(shí)軸上，因此將每一級(jí)的形式設(shè)為以下兩種形式之一：[1－2×x（1）×cos（x（2））x（1）^21－2×x（3）×cos（x（4））x（3）^2]或 [1－x（5）0 1－x（6）0]；其中，x（1）、x（3）、x（5）、x（6）表示零極點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離（半徑），x（2）、x（4）表示零極點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與正實(shí)軸的夾角（相角），它們都是需要求出的參數(shù)。直接將半徑和相角作為待求參數(shù)，這樣有利于零極點(diǎn)位置的調(diào)整，能夠快速地得出正確結(jié)果。目標(biāo)曲線的離散序列為，含待定系數(shù)的設(shè)計(jì)曲線的離散序列為，則返回值序列。

此外，還需要設(shè)定合適的邊界和起始點(diǎn)。這里，由于直接將半徑和相角作為待定參數(shù)，為了滿足最小相位條件，將半徑參數(shù)的邊界設(shè)為[0 1]，相角參數(shù)的邊界設(shè)為[0 π]，起始點(diǎn)均設(shè)為0，采用這種設(shè)置方式能夠快速得到最優(yōu)結(jié)果。圖6、圖7分別是原采樣率下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線以及它與目標(biāo)曲線的對(duì)比，圖8、圖9分別是2倍過采樣下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線以及它與目標(biāo)曲線的比較。采用的均為10階的IIR濾波器，而1－H（z）的零極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)部，因此它們是穩(wěn)定的且是最小相位的。

圖6 原采樣率下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線（非線性優(yōu)化－10階IIR）Fig.6 Actual design curve in non-oversampling（nonlinear optimization－10th IIR）

圖7 原采樣率下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線對(duì)比（非線性優(yōu)化－10階IIR）Fig.7 Comparison of actual design curve and the target curve in nonoversampling （nonlinear optimization －10th IIR）

圖8 2倍過采樣下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線（非線性優(yōu)化－10階IIR）Fig.8 Actual design curve in 2 times oversampling（nonlinear optimization－10th IIR）

圖9 2倍過采樣下實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線對(duì)比（非線性優(yōu)化－10階IIR）Fig.9 Comparison of actual design curve and the target curve in 2 times oversampling （nonlinear optimization －10th IIR）

可以看到，無論是在非過采樣還是過采樣下，采用非線性優(yōu)化算法得到的實(shí)際設(shè)計(jì)曲線與目標(biāo)曲線都非常吻合，且濾波器的階數(shù)都在可接受范圍內(nèi)。2倍過采樣下的實(shí)際設(shè)計(jì)曲線，在高頻段沒有出現(xiàn)紋波，只有在直流附近與目標(biāo)曲線不符，然而這正是我們想要的結(jié)果。因?yàn)?，?shí)際設(shè)計(jì)時(shí)我們舍棄了0～200 Hz頻段內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，而采其余的點(diǎn)作為參考點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)以避免在直流附近出現(xiàn)大的未加權(quán)噪聲功率。實(shí)際設(shè)計(jì)曲線越接近目標(biāo)曲線，經(jīng)過整形后的噪聲譜的形狀將越符合近人耳的心理聲學(xué)特性，效果也越好。

5 結(jié)束語

再量化是數(shù)字音頻應(yīng)用中經(jīng)常面對(duì)的問題，通過在再量化之前適當(dāng)?shù)募尤雂ither并采用噪聲整形技術(shù)不僅可以消除失真，保留微弱信息，改善聽感，并且可以最大限度地降低噪聲的可聞性。噪聲整形技術(shù)的關(guān)鍵在于基于心理聲學(xué)的噪聲整形濾波器的設(shè)計(jì)，本文提出的兩種設(shè)計(jì)方法，不僅簡便靈活，而且實(shí)現(xiàn)效果良好，可以應(yīng)用在實(shí)際的數(shù)字音頻信號(hào)處理中。

[1]Wannamaker R A.Psycho-acoustically optimal noise shaping[C]//Proceedings of 89th AES Convention.Log Angeles:[s.n.]，1990：21－25.

[2]Hicks C.The application of Dither and Noise-Shaping to Nyquist-Rate Digital Audio:an Introduction[EB/OL].[2011－8－20].http://www.benchmarkmedia.com/sites/default/files/documents/ditherap.pdf.

[3]冼劍鋒.噪聲并不討厭—淺談“高頻振動(dòng)”（DITHER）技術(shù)[J].音響技術(shù)，2002（3）:51－52.

XIAN Jian-feng.Noise is not hate-Discussion on DITHER technology[J].Audio technology，2002（3）:51－52.

[4]Verhelst W，Koning D D.Least squares theory and design of optimalnoise shaping filters [C]//Proceedingsof22nd International Conference AES on Virtual，Synthetic and Entertainment Audio.[s:l.]:[s:n.]，2001.

[5]Lipshitz S P，Vanderkooy J，Wannamaker R A.Minimally-Audible NoiseShaping[C]//proceedings of J.Audio Eng.Soc 1991.Montreux:[s.n.]，1991，Preprint 2916.

[6]Verhelst W，Koning D D.Noise shaping filter design for minimally audible signal requantization[J].IEEE Workshop on Application of Signal Processing to Audio and Acoustics，2001：21－24.

[7]Lipshitz S P，Vanderkooy J.Why 1Bit sigma-delta conversion is unsuitable for high-quality applications[C]//proceedings of the110thConventionofAudioEngineeringSociety.Amsterdam:[s.n.]，2001，Paper 5395.

[8]Dejan G.Ciric，Milos Markovic， Branko Stojic.Improvement in design of noise shaping filters[J].Cent.Eur.J.Eng.2012，2（2）:224－230.

[9]Hahn J.Design approaches for psychoacoustical in-band noise shaping filters[C]//proceedings of 126th Convention of J.Audio Eng.Soc.Munich:[s:n.]，2009，Paper 7800.

Design of optimal noise shaping filters

ZHOU Jing-lei，ZHU Zeng-you
（Electronic Information College， Xi'an Polytechnic University， Xi’an 710048， China）

In the occasion that signal needed to be re-quantified，adding proper dither can avoid the harmonic distortion generated in small signal’s re-quantization， but it will make noise power increase at the same time.In this case， we can take advantage of human ear’s psychoacoustic characteristics， apply noise shaping technology to reduce the noise’s audibility，then improve actual signal to noise ratio （SNR）and improve sound quality.This paper presents two new methods to design optimal noise shaping filters-genetic algorithm and nonlinear optimization algorithm，and realized the design of optimal noise shaping filters based on psychoacoustic model respectively under original sampling rate and over-sampling rate.It proves that these methods are flexible and convenient，can achieve good results.

dither；psychoacoustics；noise shaping；genetic algorithm；nonlinear optimization algorithm；upsampling

TN912.2

A

1674－6236（2013）04-0075-04

2012-09-14稿件編號(hào)201209094

陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（11JK0548）

周靜雷（1978—），男，陜西西安人，博士，副教授。研究方向：聲頻信號(hào)處理，電聲學(xué)。