李 銳，陶 亮

安徽大學 計算智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039

基于多高斯窗的實值離散Gabor變換

李 銳，陶 亮

安徽大學 計算智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039

1 引言

Gabor變換是重要的時頻分析方法之一[1]。Gabor變換的重要特點在于Gabor變換系數揭示了信號在時域與頻域的局部化性，Gabor變換的優(yōu)點已被用于非平穩(wěn)信號的處理，如生物醫(yī)學信號的分析與處理、信號的檢測、圖像壓縮、圖像識別、線性時變系統(tǒng)建模等方面。然而，由于傳統(tǒng)復值離散Gabor變換算法具有較高的計算復雜性，從而限制了其實時應用。另外，傳統(tǒng)復值離散Gabor變換是單窗的，具有固定的時頻分辨率這一缺點。由于受窗函數時寬-帶寬之間的制約關系，也即不確定性原理[2]限制，傳統(tǒng)單窗復值離散Gabor變換時間分辨率和頻率分辨率是矛盾的關系，不可能同時都好。為了改善傳統(tǒng)離散Gabor變換時頻分辨率并加快其變換速度，本文在文獻[3]基礎上提出了一種基于多高斯窗的實值離散Gabor變換。實值離散Gabor變換有快速算法[4]，其變換系數與復值離散Gabor變換系數的實部和虛部有著非常簡單的加減關系，因此能大大減少復值離散Gabor變換系數計算量。實驗結果表明，基于多高斯窗的實值離散Gabor變換能得到較好時間和頻率的分辨率，明顯改善聯(lián)合時頻域內的聚集性，更適用于非平穩(wěn)信號的處理。

2 傳統(tǒng)離散Gabor變換回顧

2.1 單窗復值離散Gabor變換

x(k)為一個有限長或者經過周期拓展的時間序列，周期為L。傳統(tǒng)的單窗離散Gabor展開式定義[5]為：

其中δk={1,k=0 0,k≠0，給定的綜合窗h(k)就可以由此式求出雙正交分析窗γ(k)。

2.2 多窗復值離散Gabor變換

設x(k)為有限長或者截斷的進行周期拓展的時間序列，周期為L，那么基于多高斯窗下的Gabor展開式[1]定義為：

其中 j= -1，系數cθ，m，n可由以下公式獲得：

這里I，M，N分別為窗函數的個數，時間和頻率的采樣點數。M，N，L的關系及完備性條件與2.1節(jié)的傳統(tǒng)離散Gabor變換的約束條件和關系一樣，這里就不多敘述了。其中：

h(k)為高斯窗函數，在這里稱為母窗，hθ(k)稱為子窗。傳統(tǒng)的離散Gabor變換是單窗下進行的，具有固定的時間和頻率的分辨率，由于受到時寬-帶寬的不確定性原理限制，在單窗條件下離散Gabor變換的時間和頻率分辨率是成反比的，不可同時做到都好。由公式（4）和公式（5）可以看出將信號在一組窗函數下分解，由于平均的作用，其時間和頻率分辨率可同時得到有效改善。

3 基于多高斯窗的實值離散Gabor變換

3.1 單窗實值離散Gabor變換

將長度為L的信號拓展或截斷成周期為L的序列x(k)，實值離散Gabor展開和Gabor變換系數分別定義為式（6）和式（7）[4]。

公式（6）稱為實值離散Gabor變換，其中：

3.2 多高斯窗實值離散Gabor變換

在文獻[3]方法基礎上，利用實值離散Gabor變換取代復值離散Gabor變換，即可得到基于多高斯窗的實值離散Gabor變換，這樣既可改善Gabor變換時頻分辨率，又可加快Gabor變換速度，適應實時處理需求?；诙喔咚勾暗膶嵵惦x散Gabor展開式和變換式分別定義為[3-6]：

其中hθ，m，n(k)和γθ，m，n(k)要滿足雙正交的完備性關系公式：

通過公式（12）可以看出是把信號在多組高斯基函數上進行分解，進行不同尺度的分解，然后求平均來還原信號，可以得到不同時間和頻率尺度的Gabor展開（變換）系數，克服了固定窗函數的缺點。

4 進化譜分析

傳統(tǒng)的確定性信號可表示如下：是時間-頻率核，并由如下公式獲得：

其中cθ，m，n是基于多高斯窗的下的復值Gabor變換系數。定義：

為時間變化窗。圖1為w（k，64）的時間變化窗，對應的幅度頻譜圖如圖2所示。

圖1 w（k，64）時間變化窗

圖2 w（k，64）的頻譜圖

從圖1和圖2可以看出時間變化窗在時間和頻率都有良好的分辨率而且很平滑，對信號分解可以得到比較好的時間和頻率的分辨率，時變窗的三維圖形如圖3所示。

圖3 時變窗三維圖

x(k)的進化譜定義為：

A(k，wn)是復函數，可用多高斯窗下的實值Gabor變換簡化計算，為此可將式（15）改寫如下：

其中aθ，m，n為多高斯窗下的實值離散Gabor變換系數，可由式（12）獲得。再將式（16）改寫如下：

不難看出，式（18）可通過使用N點離散Hartley變換（DHT）快速算法計算。根據實值Gabor變換系數與復值離散Gabor變換系數關系，不難導出A(k，wn)與RA(k，wn)的關系如下：

由于實值運算速度快于復值運算速度，所以能加快信號分析的過程。

5 實驗

非平穩(wěn)信號是指分布參數或者分布律隨時間發(fā)生變化的信號并且統(tǒng)計特征是時間的函數，一般的分析方法是時頻聯(lián)合分析。心電圖檢查是臨床常規(guī)檢查項目之一，其對于心臟疾病的及早發(fā)現及治療具有重要的意義。醫(yī)生從心電圖中得到所需的臨床信息，根據這些信息對病人作出診斷。心電圖到動態(tài)心電圖，其過渡的一個關鍵是心電信號臨床信息的自動識別，即心電信號分析技術。目前的心電圖自動分析并不能完全取代人工分析，大多只用來輔助心電專家對病人進行診斷，其主要原因是現有的心電自動診斷技術精度不夠，不能完全達到臨床應用的要求。因此提高對心電信號分析的準確性和實用性，對實現自動化分析有著非常重要的意義。

圖4 EKG（心電信號）信號

圖5 寬高斯窗下譜圖

圖6 窄高斯窗下時頻譜圖

圖7 多高斯窗下進化譜圖

6 總結

針對傳統(tǒng)的單窗復值離散Gabor變換具有固定的時頻分辨率，文獻[3]提出的基于多高斯窗的復值Gabor變換得到的進化譜雖然時頻精度高但是由于其變換是基于復值因此速度慢。本文提出了一種基于多高斯窗的實值離散Gabor變換，不僅改善了離散Gabor變換時頻分辨率還加快了其變換速度，從而提供了一種快捷地計算非平穩(wěn)信號（高時頻分辨率）進化譜（時頻譜）方法。圖7可以看出信號在時頻域內有良好的聚集性，有較好的實用性。仿真實驗表明基于多高斯窗的實值Gabor變換既能得到較高的時頻聚集性而且計算復雜度小。

[1]GaborD.Theory ofcommunication[J].JInstElectrEng，1946，93（3）：429-457.

[2]Cohen L.Time-frequency analysis[M].Englewood Cliffs，NJ：Prentice-Hall，1995.

[3]Akan A，Chaparro L F.Multi-window Gabor expansion for evolutionary spectral analysis[J].Signal Processing，1997，63 （1）：249-262.

[4]陶亮，顧涓涓.實值Gabor變換理論及應用[M].合肥：安徽科學技術出版社，2005.

[5]Qian S，Chen D.Discrete Gabor transform[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41（7）：2429-2438.

[6]Wang L，Chen C T，Lin W C.An efficient algorithm to compute the complete set of discrete Gabor coefficients[J]. IEEE Trans on Image Processing，1994，3（1）：87-92.

LI Rui,TAO Liang

MOE Key Lab of Intelligence Computing and Signal Processing,Anhui University,Hefei 230039,China

The traditional single-window based discrete Gabor transform has a fixed joint time-frequency resolution.Due to the uncertainty principle the time resolution and frequency resolution in the Gabor transform domain have an inverse proportion relationship.In order to improve the joint time-frequency resolution of the traditional discrete Gabor transform and speed up the transform,it presents a multi-Gaussian window based real-valued discrete Gabor transform.The experimental results show that the proposed transform can effectively improve the accuracy of the joint time-frequency resolution,it provides a fast method for the computation of the evolutionary spectrum of the non-stationary signals with the high joint time-frequency resolution.

real-valued discrete Gabor transform;time-frequency signal analysis;evolutionary spectrum

傳統(tǒng)的單窗復值離散Gabor變換具有固定的時頻分辨率，由于受窗函數時寬-帶寬之間的制約關系，即不確定性原理限制，其時間分辨率和頻率分辨率是矛盾的關系。為了改善傳統(tǒng)離散Gabor變換時頻分辨率并加快其變換速度，提出了一種基于多高斯窗的實值離散Gabor變換，實驗結果表明能有效改善聯(lián)合時頻域內的聚集性，從而提供了一種快捷地計算非平穩(wěn)信號進化譜方法。

實值離散Gabor變換；時頻分辨率；進化譜

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0463

LI Rui,TAO Liang.Multi-Gaussian window based real-value discrete Gabor transform.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：210-212.

國家自然科學基金（No.61071169）；安徽大學創(chuàng)新研究項目（No.yqh090053）。

李銳（1986—），男，碩士研究生，主要研究領域為信號處理；陶亮（1963—），男，博士，教授，主要研究領域為信號處理、模式識別等。E-mail：lirui4788503@163.com

2011-07-22

2011-12-26

1002-8331（2013）05-0210-03