張曉威，孟凡明

哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150001

正弦信號(hào)幅值和初相位估計(jì)的問(wèn)題研究

張曉威，孟凡明

哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150001

1 引言

正弦信號(hào)參數(shù)估計(jì)在雷達(dá)、聲吶、電子對(duì)抗、通信、生物及振動(dòng)信號(hào)處理等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用價(jià)值[1]。由于在傳感器接收信號(hào)的同時(shí)往往混有較高噪聲，因此在低信噪比情況下，如何進(jìn)行高精度正弦參數(shù)的估計(jì)就成為研究的重要內(nèi)容，文獻(xiàn)[2-3]的估計(jì)方法都是基于傅里葉算法給出的，由于傅里葉自身的精度問(wèn)題以及算法不能有效地控制估計(jì)精度，并且非等間隔采樣將無(wú)法采用這些方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，因此當(dāng)頻率要求特別嚴(yán)格或者采樣間隔不等時(shí)，傅里葉方法不適用。雖然最大似然估計(jì)（ML）[4]可使均方誤差達(dá)到最小，但ML算法復(fù)雜、速度慢，不利于實(shí)時(shí)處理，一般很少直接采用ML估計(jì)[5]。由于自相關(guān)函數(shù)法在統(tǒng)計(jì)意義下能很好地抑制噪聲，因此可以有效地估計(jì)幅值[6-7]，但估計(jì)幅值的同時(shí)丟失相位信息。本文使用互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)正弦信號(hào)幅值與初相位，解決了使用自相關(guān)函數(shù)法估計(jì)幅值丟失相位信息問(wèn)題。上述方法在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)信噪比均有一定要求[8-9]，在信噪比較高的情況下，能夠以高精度估計(jì)信號(hào)的幅值和初相位，而在低信噪比的情況下，估計(jì)效果不是很理想。因此需要提高觀測(cè)信號(hào)的信噪比。

本文利用信號(hào)周期性和噪聲隨機(jī)性特點(diǎn)[10]，使用疊加方法在未損失源信號(hào)能量情況下提高了觀測(cè)信號(hào)信噪比，利用互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)正弦信號(hào)幅值與初相位。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在較低信噪比情況下，可以較高精度估計(jì)幅值與初相位。

2 互相關(guān)函數(shù)

假設(shè)觀測(cè)過(guò)程具備各態(tài)歷經(jīng)性，則可以利用樣本函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)來(lái)代替隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)：

假定兩個(gè)信號(hào)為x(t)與 y(t)，設(shè)信號(hào)采樣時(shí)間為T′，y(t+τ)為y(t)時(shí)移樣本，x(t)與y(t)的互相關(guān)函數(shù)可表示為：

下面在已知頻率基礎(chǔ)上，利用互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行幅值與初相位估計(jì)。設(shè)觀測(cè)信號(hào)為：

其中s(ti)=asin(2πf0ti+φ0)為源信號(hào)，a為幅值，f0為固有頻率，φ0為初相位，G(ti)為零均值，方差為σ2的加性高斯白噪聲。

即

令

3 估計(jì)精度的提高

在信噪比較高的情況下，采用上述方法能夠以較高精度估計(jì)信號(hào)的幅值與初相位。但是在低信噪比的情況下，估計(jì)效果不是很理想[8-9]。下面利用疊加方法提高信噪比，從而提高估計(jì)精度。

定義1若算子Lb滿足Lb(f(t))=f(t+b)，則稱Lb為平移算子，當(dāng)b＜0時(shí)，表示對(duì)f(t)向右平移|b|個(gè)單位，b＞0時(shí)，表示對(duì)f(t)向左平移|b|個(gè)單位。

定義2若算子τc滿足：

疊加過(guò)程具體步驟如下：

（5）由式（5）與式（7）有：

（6）s5(t)與s(t)疊加得到：

源信號(hào)s(t)經(jīng)過(guò)一次疊加記為：

觀測(cè)信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)一次疊加的結(jié)果記為：

疊加n次，記為：其中Pn(t)為Pn-1(t)經(jīng)過(guò)一次疊加得到結(jié)果，幅值記為an，（其中 an=2an-1=…=2n-1a1=2na），Pn(t)=ansin(2πf0t+ φ0)=2nasin(2πf0t+φ0)。

令

由式（9）得到觀測(cè)信號(hào)x(t)變換后的信號(hào)x′(t)，由于高斯噪聲的隨機(jī)特性，噪聲不會(huì)被放大成2的指數(shù)倍，有Gn(t)＜2nG(t)。因此由式（9）與式（1）知x′(t)噪聲大小低于x(t)噪聲大小。

上述推導(dǎo)可以看出，觀測(cè)信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)變換后的信號(hào)x′(t)，其源信號(hào)s(t)并未改變，噪聲值變小，即疊加法在不損失源信號(hào)能量的情況下提高了觀測(cè)信號(hào)x(t)的信噪比。因此采用上述互相關(guān)函數(shù)法對(duì)變換后的信號(hào)x′(t)進(jìn)行幅值與初相位估計(jì)，精度得到提高。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

采用Monte Carlo方法對(duì)本文提出的互相關(guān)函數(shù)估計(jì)法進(jìn)行仿真分析。

觀測(cè)信號(hào) x(ti)=s(ti)+G(ti)，i=1，2，…，N。其中s(ti)為式（1）定義的正弦信號(hào)，G(ti)為零均值，方差為σ2的加性高斯白噪聲。仿真參數(shù)如下：

頻率 f=10 Hz，初相位

，幅值a=1。雖然采樣頻率、采樣點(diǎn)數(shù)越高估計(jì)效果越好，但是估計(jì)時(shí)間也隨之增加，不利于實(shí)時(shí)處理，選取采樣頻率 fs=640 Hz、采樣點(diǎn)數(shù)為N1=4 096是最合適的，既可以用較少的估計(jì)時(shí)間又可以保證估計(jì)精度，信噪比（單位：dB）定義為：

幅值與初相位均方誤差定義分別為：

其中ai′、φ0i′分別為第i次幅值估計(jì)與初相位估計(jì)，N2為模擬次數(shù)。

（1）首先研究了信噪比對(duì)互相關(guān)函數(shù)估計(jì)法精度影響。表1詳細(xì)列出了在不同信噪比情況下，利用Monte Carlo方法模擬N2=500次直接互相關(guān)法實(shí)驗(yàn)所得幅值估計(jì)值與初相位估計(jì)值，均方誤差（Matlab6.5，CPU：C2.9 GHz，512 MB RAM）。

表1 直接互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)結(jié)果

表1說(shuō)明在信噪比較高情況下即：信噪比高于－24 dB時(shí)，互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)精度較高，信噪比低于－24 dB時(shí)，互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)精度下降。說(shuō)明了互相關(guān)函數(shù)估計(jì)法對(duì)信噪比有一定的要求。

（2）其次研究了疊加次數(shù)對(duì)估計(jì)精度的影響。利用最小二乘方法分別對(duì)疊加次數(shù)與幅值均方誤差、初相位均方誤差進(jìn)行曲線擬合（其中SNR=-22 dB），利用Monte Carlo方法模擬N2=500次基于疊加的互相關(guān)函數(shù)法實(shí)驗(yàn)得到圖1、圖2。

圖1 幅值均方誤差與疊加次數(shù)擬合曲線

圖2 初相位均方誤差與疊加次數(shù)擬合曲線

由圖1、圖2可見(jiàn)，選取n=10時(shí)是最合適的。這樣可使兩者均方誤差同時(shí)最小，保證了估計(jì)精度。

（3）表2詳細(xì)列出了在不同信噪比情況下，利用Monte Carlo方法模擬N2=500次基于疊加（這里對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行疊加10次，即式（8）n=10）的互相關(guān)法實(shí)驗(yàn)所得幅值與初相位估計(jì)值，均方誤差。

圖3 疊加互相關(guān)函數(shù)法幅值估計(jì)

表2 基于疊加的互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)結(jié)果

相對(duì)于表1而言，基于疊加的互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)精度有所提高，及均方誤差有所降低。說(shuō)明了疊加法的有效性。但在信噪比低至－25 dB以下時(shí)，估計(jì)效果下降，說(shuō)明疊加法也只是在一定程度上提高了觀測(cè)信號(hào)的信噪比（符號(hào)含義同表1）。

5 結(jié)論

對(duì)于低信噪比情況下正弦信號(hào)的幅值與初相位估計(jì)，本文提出了一種在不損失源信號(hào)能量的基礎(chǔ)上提高信噪比的新算法，再利用互相關(guān)函數(shù)法估計(jì)幅值與初相位。在一定范圍內(nèi)提高了精度，同時(shí)解決了自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法無(wú)法同時(shí)估計(jì)幅值與初相位問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，基于疊加的互相關(guān)函數(shù)估計(jì)法不足之處是，不能解決混有諧波的信號(hào)，這也是今后努力的一個(gè)方向。

圖4 疊加互相關(guān)函數(shù)法初相位估計(jì)

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ZHANG Xiaowei,MENG Fanming

College of Science,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China

In the case of the known frequency,an algorithm based on cross-correlation function for estimating amplitude and initial phase is proposed,solving the problem of losing initial phase by using the autocorrelation function.SNR is improved using superposition without losing the source signal energy.Hence,the estimation accuracy is improved in the application.Simulation experimental results show that this method works well under the condition of the low SNR.

sine signal;cross-correlation function;amplitude;initial phase;low Signal Noise Ratio（SNR）

在已知頻率的情況下，提出了利用互相關(guān)函數(shù)估計(jì)正弦信號(hào)幅值與初相位算法，解決了使用自相關(guān)函數(shù)法估計(jì)幅值丟失相位信息問(wèn)題。并利用疊加法在不損失源信號(hào)能量的情況下，提高了觀測(cè)信號(hào)信噪比，從而提高了正弦信號(hào)估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于疊加的互相關(guān)函數(shù)法可在較低信噪比情況下以較高精度估計(jì)正弦信號(hào)的幅值和初相位。

正弦信號(hào)；互相關(guān)函數(shù)；幅值；初相位；低信噪比

A

TN911.6

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0389

ZHANG Xiaowei,MENG Fanming.Research on estimation of sine signal amplitude and initial phase.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：216-219.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.10771043）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（No.HEUCF20111122）。

張曉威（1965—），男，碩士生導(dǎo)師，教授，研究領(lǐng)域：不確定系統(tǒng)與信息處理；孟凡明（1986—），男，碩士，研究領(lǐng)域：不確性系統(tǒng)與信息處理。E-mail：zhangxiaowei@hrbeu.edu.cn

2011-07-18

2011-12-26

1002-8331（2013）05-0216-04

CNKI出版日期：2012-05-24 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120524.1030.001.html