劉子龍，丁淑娟，孫廣俊，李鐵成

中國電波傳播研究所，山東 青島 266107

基于二階錐規(guī)劃的寬帶波束形成器設(shè)計(jì)

劉子龍，丁淑娟，孫廣俊，李鐵成

中國電波傳播研究所，山東 青島 266107

1 引言

寬帶波束形成技術(shù)是雷達(dá)、聲納、通信、醫(yī)療、宇航等領(lǐng)域中被廣泛研究的熱門技術(shù)之一，恒定束寬響應(yīng)（constantbeamwidth response）是對寬帶信號進(jìn)行波束形成的一個(gè)基本要求。早在20世紀(jì)90年代人們就提出了很多對寬帶信號進(jìn)行波束合成的方法[1-3]，其中，Nordebo等人提出了設(shè)計(jì)切比雪夫權(quán)系數(shù)的方法，該方法只適用于均勻線陣；文獻(xiàn)[2]根據(jù)工作帶寬先把天線劃分成許多子陣，再針對不同子陣的每個(gè)天線單元單獨(dú)設(shè)計(jì)FIR濾波器，該設(shè)計(jì)思想在工程中被廣泛引用，但其FIR濾波器設(shè)計(jì)過程繁瑣；文獻(xiàn)[3]提出一種根據(jù)天線孔徑和頻率對應(yīng)關(guān)系來設(shè)計(jì)陣列和選取權(quán)系數(shù)的方法，但鑒于天線陣的不連續(xù)性及孔徑的有限性，這種方法獲得的結(jié)果只是個(gè)近似值；Simon等人[4]在總結(jié)對比各種優(yōu)化準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，提出利用特征濾波器（eigenfilter）來求取權(quán)系數(shù)；文獻(xiàn)[5]把波束響應(yīng)向參考波束響應(yīng)上投影，以此來獲得最小二乘解；文獻(xiàn)[6]提出利用逆FFT的方法快速求解陣元的復(fù)加權(quán)系數(shù)；當(dāng)然，還有在頻域上利用聚焦矩陣進(jìn)行波束形成的方法。這些方法要么只適合特定的陣列結(jié)構(gòu)，要么設(shè)計(jì)過程繁瑣，特別是在約束條件較多的情況下，設(shè)計(jì)靈活性變差，不具通用性，且所求結(jié)果的精確度難以控制。

在對寬帶波束形成器設(shè)計(jì)進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，本文首先以兩種典型結(jié)構(gòu)的寬帶波束形成器作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)出波束形成器波束響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式，然后，根據(jù)波束設(shè)計(jì)中參考波束的選擇情況，為固定參考波束（固定參考模板）和參數(shù)化參考波束（參數(shù)化參考模板）兩種波束優(yōu)化問題分別進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，并借鑒文獻(xiàn)[7-10]，把二階錐規(guī)劃方法引入到寬帶波束形成器的設(shè)計(jì)求解中來。仿真結(jié)果表明，二階錐規(guī)劃方法可以在波束形成器的主瓣寬度、旁瓣級、主瓣響應(yīng)誤差、穩(wěn)健性等多個(gè)指標(biāo)之間進(jìn)行全面的折中處理，而且可以利用現(xiàn)有的工具箱軟件進(jìn)行快速求解，設(shè)計(jì)結(jié)果精確直觀。

2 寬帶波束形成器的結(jié)構(gòu)模型

圖1是典型的時(shí)域?qū)拵Рㄊ纬善?，它在每個(gè)天線陣元的后面連接一個(gè)數(shù)字延時(shí)線Ti(i=1，2，…，M)和一個(gè)FIR濾波器，數(shù)字延時(shí)線的作用是調(diào)節(jié)波束指向，補(bǔ)償觀測方向來波信號到達(dá)各天線陣元的波程差；FIR濾波器的作用是實(shí)現(xiàn)寬帶聚焦，使波束在指定的方向上實(shí)現(xiàn)寬帶恒定束寬響應(yīng)。采用數(shù)字延時(shí)線與FIR濾波器相結(jié)合的結(jié)構(gòu)方式，可以使FIR濾波器以較少的階數(shù)實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的性能[8]。圖1是使用比較廣泛的寬帶波束形成器結(jié)構(gòu)，這里把該結(jié)構(gòu)簡稱為TDLs（Tapped Delay-Lines）[11-12]。

圖1 傳統(tǒng)的時(shí)域波束形成器結(jié)構(gòu)示意圖

圖2是基于長方形陣列結(jié)構(gòu)的寬帶波束形成器[11-12]，它對每個(gè)天線陣元的輸出直接乘上一個(gè)加權(quán)系數(shù)，再把所有陣元輸出求和，從而實(shí)現(xiàn)對寬帶信號的恒定束寬波束形成。圖2與圖1最顯著的區(qū)別就是沒有了時(shí)域上的FIR濾波器，這使得波束形成的計(jì)算過程更加簡練，更適合處理頻率較高的寬帶信號，但它是以增加空間上的天線陣元為代價(jià)的，可以理解為是以空域信息來換取時(shí)域信息。這里把該波束形成器結(jié)構(gòu)簡稱為SDLs（Sensor Delay Lines）。

圖2 基于長方陣的寬帶波束形成器結(jié)構(gòu)示意圖

對于圖1，以均勻線陣為例，設(shè)天線陣列沿直角坐標(biāo)的x軸排列，天線編號沿x軸的正方向依次減小，設(shè)來波信號x(t)的方向偏離x軸法向角度為θ(θ∈[-π/2，π/2])，選取天線陣列中第1個(gè)陣元接收的信號為參考，則第m陣元第n個(gè)延時(shí)節(jié)點(diǎn)(xm(n))接收到的信號可表示為：

其中，τm(θ)=(m-1)dsin(θ)/c（d為陣元間距，c為信號在媒質(zhì)中的傳播速度），Ts是單位時(shí)延。對式（1）進(jìn)行傅里葉變換，并與參考信號作比較，得出TDLs結(jié)構(gòu)中第m個(gè)陣元第n個(gè)延時(shí)節(jié)點(diǎn)對信號的頻率響應(yīng)為：

其中 f是信號頻率。設(shè)第m陣元第n個(gè)延時(shí)節(jié)點(diǎn)的復(fù)數(shù)權(quán)系數(shù)為hmn，并令：

其中T代表轉(zhuǎn)置，h為陣列加權(quán)向量，e(f，θ)為頻率響應(yīng)向量。對M個(gè)陣元的所有N個(gè)延時(shí)節(jié)點(diǎn)的信號加權(quán)求和，可得波束形成器的波束響應(yīng)為：

對于圖2所示的SDLs結(jié)構(gòu)，取x(0，0)陣元接收的信號作為參考，則陣元x(m，n)對接收信號的頻率響應(yīng)為：

此時(shí)，只要把向量（4）中的各元素用式（6）的結(jié)果替換，并把得到的向量e(f， θ)代入式（5），即可得到SDLs結(jié)構(gòu)下的波束響應(yīng)。

事實(shí)上，對于任意結(jié)構(gòu)的陣列模型，它們的波束響應(yīng)都可以統(tǒng)一表達(dá)為式（5）的形式，并且，為了使波束響應(yīng)逼近某一期望響應(yīng)，它們的權(quán)系數(shù)都可以用二階錐規(guī)劃方法進(jìn)行求解[9-10，13-14]。

3 二階錐規(guī)劃簡介

二階錐規(guī)劃是數(shù)值優(yōu)化問題的一個(gè)分支，屬于凸優(yōu)化問題范疇，二階錐規(guī)劃最大的特點(diǎn)就是只要能把一個(gè)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為二階錐問題，便可以用快速有效的數(shù)學(xué)方法（如內(nèi)點(diǎn)算法）進(jìn)行求解，并且獲得的解是全局最優(yōu)的。二階錐規(guī)劃集線性規(guī)劃與最小二乘擬合等功能于一身，能有效地解決線性不等式約束、二階錐約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值問題，它的數(shù)學(xué)模型可表示為：

其中，y∈Rm×1是優(yōu)化變量，f∈Rm×1，Ai∈R(ni-1)×m，bi∈R(ni-1)×1，ci∈Rm×1，cTiy∈R，di∈R，R為實(shí)數(shù)，Rm×1表示m×1維實(shí)數(shù)矩陣，N是二階錐不等式約束個(gè)數(shù)，||·||表示歐幾里德（Euclidean）范數(shù)，不等式（7）稱為維數(shù)為ni的二階錐約束，即

是等價(jià)的，其中κni是ni維二階錐（或洛侖茲錐），它的定義為：

特別地，當(dāng)ni=1時(shí)，κni成為1維二階錐，此時(shí)式（7）變?yōu)椋簃in fTy

這就是大家熟悉的線性規(guī)劃問題。二階錐規(guī)劃問題可以用數(shù)值優(yōu)化工具如Sedumi進(jìn)行快速有效地求解，求解方法參見文獻(xiàn)[13-14]。

4 恒定束寬響應(yīng)波束形成器的設(shè)計(jì)

寬帶波束形成器的設(shè)計(jì)在很多情況下就是恒定束寬響應(yīng)波束形成器的設(shè)計(jì)，該設(shè)計(jì)要求波束響應(yīng)主瓣增益保持恒定，而旁瓣低于某一旁瓣級[8-9，12，15]。設(shè)計(jì)中參考主瓣響應(yīng)（模板）既可以是某一固定的常規(guī)波束響應(yīng)（固定參考模板），也可以是參數(shù)化的波束響應(yīng)（參數(shù)化參考模板），并且在兩種情況下，待求解的約束方程不同。下面，以最小均方準(zhǔn)則分別對兩種情況下波束形成器的求解進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。

設(shè)δobj為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；f0為參考波束所選用的頻率，P(f0，θmi)為固定參考模板；

fpk∈Fpass-band(k=1，2，…，M1)，為通帶內(nèi)頻率離散值。

θmi∈Θmain-lobe(i=1，2，…，N1)，為通帶內(nèi)波束響應(yīng)的主瓣離散值。

θsj∈Θside-lobe(j=1，2，…，N2)，為通帶內(nèi)波束響應(yīng)的旁瓣離散值。

fsl∈Fstop-band(l=1，2，…，M3)，為阻帶內(nèi)頻率離散值。

則對于固定參考模板，波束形成器權(quán)系數(shù)的求解問題可表述為：

對于參數(shù)化參考模板，權(quán)系數(shù)的求解問題表述為：

其中，式（11）、（16）的作用是把通帶內(nèi)主瓣上的波束響應(yīng)向參考模板進(jìn)行聚焦，式（12）、（17）是對通帶內(nèi)波束響應(yīng)的旁瓣進(jìn)行約束(M1=M2)；式（13）、（18）是對阻帶內(nèi)波束響應(yīng)的約束(N3=N1+N2)；式（14）、（19）是對權(quán)系數(shù)的范數(shù)進(jìn)行約束，目的是對白噪聲增益進(jìn)行控制[15]。

式（11）～（19）為恒定束寬響應(yīng)波束形成器的設(shè)計(jì)提供了統(tǒng)一的框架，只要選取某一δi(i=1，2，3，4)作為目標(biāo)函數(shù)δobj，把其他δj(j=1，2，3，4， j≠i)設(shè)置滿足特定要求的數(shù)值，便可以方便地把這些問題轉(zhuǎn)換為二階錐規(guī)劃問題進(jìn)行求解，但有幾點(diǎn)需要注意：

兩種數(shù)學(xué)模型適用的場合不同，式（11）～（14）的目的是要逼近某一期望的波束響應(yīng)，而式（15）～（19）的目的是讓優(yōu)化算法自動(dòng)選取高精度的波束響應(yīng)及其權(quán)系數(shù)，波束圖形狀不具有任意性，因此不能籠統(tǒng)地說式（15）～（19）的性能優(yōu)于式（11）～（14）。

目標(biāo)函數(shù)的選取是任意的，這比文獻(xiàn)[12-13]提到的方法都更加靈活，并且目標(biāo)函數(shù)選取不同，求解的結(jié)果不同，這在稍后的仿真中可以看到。

約束條件中各個(gè)不等式之間是相互制約的，因此各個(gè)控制值δi(i=1，2，3，4)是相互影響的，在求解過程中要對這些值進(jìn)行折中考慮，合理設(shè)置，以確保求解的結(jié)果滿足要求。

相對于式（11）～（14），式（15）～（19）增加了等式約束（15），它的作用是確定波束指向，并且式（15）對工作頻帶內(nèi)的每一個(gè)頻點(diǎn)都定義了波束指向，仿真發(fā)現(xiàn)這比只對單一頻點(diǎn)約束指向的方法[12-13]效果更好。

對于式（16）～（18），可以定義空間響應(yīng)均方誤差（SRV）函數(shù)[12]。以式（16）為例，令：

其中，H代表共軛轉(zhuǎn)置，*代表復(fù)共軛。

且R是Hermitian矩陣，這樣，對R進(jìn)行Cholesky分解，可以得到：

把式（21）代入式（16），得到：

類似地，式（17）、（18）也可以分別定義SRV函數(shù)，并分別變換為：

采用SRV方式處理的好處就是使待求的二階錐問題維數(shù)更低，處理的速度相應(yīng)地也就更快。

如果采用的額外濾波器（模擬濾波器或數(shù)字濾波器）對阻帶進(jìn)行抑制，則式（13）、（18）的約束條件可以適當(dāng)放松，這樣，在其他指標(biāo)要求相同的情況下，設(shè)計(jì)的濾波器結(jié)果會更精確。

5 設(shè)計(jì)實(shí)例

5.1 基于TDLs結(jié)構(gòu)擬合固定參考模板的波束設(shè)計(jì)

以8個(gè)各向同性陣元組成的均勻線陣為例，設(shè)陣元間距為最高工作頻率 fu所對應(yīng)波長的一半，且要求在一個(gè)倍頻程[fl， fu]=[fu/2， fu]的工作帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)恒定束寬響應(yīng)特性。信號的采樣頻率為 fs=4fu，即歸一化工作帶寬為[0.125，0.25]，F(xiàn)IR濾波器階數(shù)為16。設(shè)頻率離散化間隔為Δf=0.003 125，頻帶取值范圍為 Fpass-band=[0.125，0.25]，F(xiàn)stop-band=[Δf:Δf:0.1]∪[0.275:Δf:0.5]，其余為過渡帶；角度離散化間隔為Δθ=3°，且Θmain-lobe=[-27°:Δθ:27°],Θside-lobe= [-90°:Δθ:-32°]∪[32°:Δθ:90°]。以 fl所對應(yīng)的常規(guī)波束的主瓣響應(yīng)作為參考，并以式（14）作為目標(biāo)函數(shù)，旁瓣控制在－20 dB以下，阻帶增益控制為0 dB，用式（11）～（14）方法求解波束形成器的權(quán)值，并畫出歸一化工作頻帶內(nèi)的方向圖如圖3所示，圖4為圖3所對應(yīng)的三維圖。從圖中清楚地看到主瓣響應(yīng)非常一致，其均方根誤差為5.445 1×10-5，旁瓣嚴(yán)格控制在－20 dB以下，且濾波器的范數(shù)值為0.151 88，具有很好的穩(wěn)健性。

圖3 TDLs結(jié)構(gòu)固定參考模板下求解的波束圖

圖4 TDLs結(jié)構(gòu)固定參考模板下求解的波束圖（三維圖）

5.2 基于TDLs結(jié)構(gòu)參數(shù)化參考模板下的波束設(shè)計(jì)

在該實(shí)例中，以式（16）作為目標(biāo)函數(shù)，權(quán)系數(shù)范數(shù)約束小于1，濾波器階數(shù)為23，波束設(shè)計(jì)的其他指標(biāo)與實(shí)例一相同。經(jīng)過仿真，得到的波束圖如圖5、圖6所示，從圖中可以看到，計(jì)算結(jié)果很好地滿足設(shè)計(jì)要求，此時(shí)，主瓣響應(yīng)的均方根誤差為1.197 2×10-5，旁瓣控制在－20 dB以下，且濾波器的范數(shù)值為0.042 54。顯然，此設(shè)計(jì)方法的主瓣擬合精度比實(shí)例一中的結(jié)果更高。

圖5 TDLs結(jié)構(gòu)參數(shù)化參考模板下求解的波束圖

圖6 TDLs結(jié)構(gòu)參數(shù)化參考模板下求解的波束圖（三維圖）

5.3 基于SDLs結(jié)構(gòu)參數(shù)化參考模板下的波束設(shè)計(jì)

這里假設(shè)陣列為15×15理想陣元構(gòu)成的均勻方陣，陣元間距為最高工作頻率 fu所對應(yīng)波長的一半，要求在一個(gè)倍頻程[fl， fu]=[fu/2， fu]的工作帶寬內(nèi)實(shí)現(xiàn)恒定束寬響應(yīng)特性，觀測方位為[-90°，90°]。取陣元 x((M+1)/2，0)= x(7，0)作為參考陣元，并按照式（6）構(gòu)建每個(gè)陣元的頻域響應(yīng)。角度離散化間隔為Δθ=2°，并設(shè)定主瓣內(nèi)響應(yīng)不變的區(qū)域?yàn)棣╩ain-lobe=[-14°:Δθ:14°]，響應(yīng)低于－20 dB的旁瓣區(qū)域?yàn)棣╯ide-lobe=[-90°:Δθ:-21°]∪[21°:Δθ:90°]，其他角度集為空域?yàn)V波器的過渡角度區(qū)域。選取式（16）作為目標(biāo)函數(shù)，阻帶增益抑制為0 dB，利用式（15）～（19）對權(quán)系數(shù)進(jìn)行求解，得到的波束圖如圖7、圖8所示。顯然，旁瓣控制在－20 dB以下，經(jīng)計(jì)算，主瓣響應(yīng)的均方根誤差為4.304 9×10-7，濾波器的范數(shù)值為0.195 62，這一結(jié)果比文獻(xiàn)[11]中的結(jié)果要精確得多，并且由于選擇了不同的目標(biāo)函數(shù)，使求得的結(jié)果比文獻(xiàn)[12]中提到的方法適用于更寬的工作帶寬。

圖7 SDLs結(jié)構(gòu)參數(shù)化參考模板下求解的波束圖

圖8 SDLs結(jié)構(gòu)參數(shù)化參考模板下求解的波束圖（三維圖）

6 結(jié)束語

以二階錐規(guī)劃方法為依據(jù)，對基于參數(shù)化和非參數(shù)化參考模板下寬帶恒定束寬響應(yīng)波束形成器的求解方法進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模、分析、對比，并以兩種典型結(jié)構(gòu)（TDLs和SDLs）的寬帶波束形成器為仿真對象，對滿足特定要求的多約束波束優(yōu)化問題進(jìn)行了求解，仿真結(jié)果表明本文提出的波束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的正確性以及利用二階錐規(guī)劃方法求解該問題的靈活性和有效性。

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LIU Zilong,DING Shujuan,SUN Guangjun,LI Tiecheng

China Research Institute of Radiowave Propagation,Qingdao,Shandong 266107,China

Two typical structures for broadband beamformering using FIR filters and rectangular arrays are discussed respectively, their beampattern is deduced and represented by the uniform function.Based on the selection of reference beampattern,mathematical models are established for these pattern synthesis problems and then solved effectively by SOCP（Second-Order Cone Programming）methods.Simulation results suggest that the proposed mathematical models are general in finding weights of constantbeamwidth broadband beamformers,and the SOCP methods make the pattern synthesis problem with flexible constraints solved in a more accurate,convenient and easy way.

Second-Order Cone Programming（SOCP）;constant-beamwidth response;constant template;variable template

寬帶波束形成器有兩種典型的實(shí)現(xiàn)方式，分別基于FIR濾波器和基于長方形陣列，將這兩種波束形成器的波束響應(yīng)表達(dá)為統(tǒng)一的形式，并根據(jù)參考波束的選擇情況，為該類波束優(yōu)化問題的求解建立了數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型屬于二階錐約束問題，可以用二階錐規(guī)劃方法進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，提出的求解寬帶恒定束寬響應(yīng)波束形成器權(quán)系數(shù)的數(shù)學(xué)模型具有通用性，并且把二階錐規(guī)劃方法運(yùn)用到寬帶波束形成器優(yōu)化設(shè)計(jì)中，其約束控制靈活，問題求解方便，設(shè)計(jì)結(jié)果精確。

二階錐規(guī)劃；恒定束寬響應(yīng)；固定參考模板；參數(shù)化參考模板

A

TN821.8

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0521

LIU Zilong,DING Shujuan,SUN Guangjun,et al.Design of broadband beamformer based on second-order cone programming.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：195-199.

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（No.61032011）。

劉子龍（1979—），男，工程師，研究方向?yàn)殛嚵行盘柼幚?；丁淑娟?980—），女，工程師，研究方向?yàn)槔走_(dá)信號波形設(shè)計(jì)、陣列信號處理；孫廣?。?968—），男，高級工程師，研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、信號處理；李鐵成（1963—），男，高級工程師，研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。E-mail：bixi1980@126.com

2011-07-26

2011-11-07

1002-8331（2013）05-0195-05