傅緒加，吳紅光

（1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000;2.南京理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210094）

向量范數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減性質(zhì)

傅緒加1，2，吳紅光1

（1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000;2.南京理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210094）

在有限維實向量空間?N中，用兩種方法證明lp范數(shù)函數(shù)(p >0)的單調(diào)遞減性質(zhì)，并應(yīng)用此性質(zhì)，證明任意兩個lp范數(shù)(p ≥1)之間的等價性.

向量空間；向量范數(shù)；單調(diào)遞減性

在有限維實向量空間?N中，可以引入不同的范數(shù)，使之成為不同的賦范空間［1-2］，常用的范數(shù)有l(wèi)p范數(shù)（p≥1），如l1范數(shù)、l2范數(shù)、l∞范數(shù)［1］.由于范數(shù)滿足齊次性與三角不等式性［1-2］，故范數(shù)可視為是定義在向量空間上的凸函數(shù)，很多工程問題最終可歸結(jié)為相應(yīng)的賦范空間中的lp范數(shù)極小化或lp范數(shù)正則化問題［1-6］.近年來，此類問題在機器學(xué)習(xí)、反問題、圖像處理、結(jié)構(gòu)化稀疏表示、壓縮感知等領(lǐng)域［3-6］廣受關(guān)注.探究向量lp范數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，仍具有意義.對于不同的p≥1值，空間?N中向量的lp范數(shù)實際上給出了向量長度或模的不同度量方式，它們之間具有某些聯(lián)系，如等價性等.在lp范數(shù)的定義式中取p∈(0 ,1)時，所得到的實函數(shù)并不是向量空間?N(N ≥2)中的向量范數(shù)，詳見本文的定義1及其說明，但是，此時的lp極小化問題或正則化問題(p ∈(0 ,1) )卻有諸多有趣的性質(zhì)［6］.本文主要討論向量不同范數(shù)之間的大小關(guān)系，主要結(jié)論為定理1與定理2.

1 主要結(jié)論

2 預(yù)備知識

3 定理1的兩種證法

3.1 定理1的第一種證法

3.2 定理1第二種證法

4 應(yīng)用

［1］李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.5版.北京：清華大學(xué)出版社，2008.

［2］張恭慶，林源渠.泛函分析講義:上冊［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2009.

［3］LU Zhaosong.Iterative reweighted minimization methods for lpregularized unconstrained nonlinear programming［J］.Pre?print，2012，arXiv：1210.0066.

［4］DAUBECHIES I，DEVORE R，F(xiàn)ORNASIER M，et al.Iteratively reweighted least squares minimization for sparse recovery［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，2010,63（1）：1-38.

［5］VESE L A，OSHER S J.Image denoising and decomposition with total variation minimization and oscillatory functions［J］. Journal of Mathematical Imaging and Vision，2004,20（1/2）：7-18.

［6］XU Zongben，GUO Hailiang，WANG Yao，et al.Representative ofL12regularization amongLq(0

The Monotone Decreasing Property of Vector Norm Functions

FU Xu-jia1，2，WU Hong-guang1
（1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000,Huaibei，Anhui，China;
2.School of Science，Nanjing University of Science and Technology，210094,Nanjing，Jiangsu，China）

In finite dimensional real vector space?N，the monotone decreasing property oflpnorm func?tions(p >0 )was proved by two methods，and this property was applied to prove the equivalence of any two lpnorms(p ≥1).

vector space;vector norms;monotone decreasing property

O 151.21

A

2095-0691(2013)04-0026-04

2013-06-27

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)研究項目（KJ2013B252）;淮北師范大學(xué)教研項目（JY10227）；淮北師范大學(xué)青年研究項目（2012xq56）

傅緒加（1978- ），男，安徽六安人，講師，博士生，研究方向：圖像建模與分析.