薛暢，王建賾，紀延超，江濱浩

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，哈爾濱 150001）

4種優(yōu)化PWM方法

薛暢，王建賾，紀延超，江濱浩

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，哈爾濱 150001）

為使輸出波形的某一性能指標達到最優(yōu)，在特定消諧技術(shù)的基礎(chǔ)上提出4種優(yōu)化脈寬調(diào)制PWM（pulse widthmodulation）方法。以雙極型PWM波為例，以優(yōu)化總諧波畸變率THD（total harmonic distortion）為目標詳述了其數(shù)學(xué)模型和計算步驟，并給出部分算例。為保證迭代的收斂性，提出一種逐步計算初始值的方法。計算結(jié)果表明提出的優(yōu)化方法具有良好的諧波抑制效果和收斂性，相比于傳統(tǒng)的特性消諧技術(shù)，在相同開關(guān)頻率下生成波形的質(zhì)量更高，具有理論價值和實際意義。

優(yōu)化脈寬調(diào)制；性能指標；特定消諧；初始值；收斂性

目前，在變頻領(lǐng)域中常用的調(diào)制策略包括載波調(diào)制、空間矢量調(diào)制[1]和特定消諧調(diào)制。其中特定消諧SHE（selective harmonic elimination）技術(shù)是70年代美國密蘇里大學(xué)的H.S.Patel和R.G.Hoft提出的。該方法通過電壓波形的傅里葉級數(shù)建立非線性方程來求解開關(guān)角，以達到消除特定次諧波的目的[2～5]。這些開關(guān)角通常是離線計算出來的并以查找表的形式存儲在數(shù)字芯片中。

與其他調(diào)制技術(shù)相比特定消諧技術(shù)具有如下優(yōu)點：①相同THD時功率器件的開關(guān)頻率下降約1/3，因此開關(guān)損耗更低；②相同開關(guān)頻率下輸出電壓、電流的諧波含量更低，降低了對輸入、輸出濾波器的要求；③可使基波電壓的幅值達到1.15倍的直流側(cè)電壓，提高了直流側(cè)電壓的利用率，節(jié)約能源；④由于消除了低次諧波，電流、轉(zhuǎn)矩脈動大大減少，變頻電源的性能得以提高。但其本身亦有缺陷，由于其目的是在保證基波幅值為定值的前提下盡可能多地消除低次諧波，導(dǎo)致剩余諧波的含量很大，以至于總的頻譜分布并不是最優(yōu)的。

另外，由于死區(qū)、開關(guān)延時和窄脈沖等因素的存在，在實際系統(tǒng)中低次諧波是不可能被完全消除的。所以在特定消諧技術(shù)的基礎(chǔ)上優(yōu)化PWM技術(shù)[6～12]，即采用最優(yōu)化方法來計算開關(guān)角，目的是使某一性能指標達到最優(yōu)，而不是單純地消除諧波，其生成波形的質(zhì)量更高。

優(yōu)化PWM技術(shù)的難點在于初始值的選擇，初始值距離最優(yōu)解越遠，迭代越不易收斂。本文提出4種優(yōu)化PWM方法，這些方法適用于任何拓撲結(jié)構(gòu)的波形生成和性能指標的優(yōu)化，同時提出一種逐步計算初始值的方法，可保證迭代的絕對收斂。

1 數(shù)學(xué)模型

以雙極型PWM波為例，假設(shè)開關(guān)角個數(shù)N為奇數(shù)，電壓波形如圖1所示。

圖1 雙極型PWM波Fig.1 Bipolar PWM waveform

波形的傅里葉級數(shù)可表示為

由于u（t）既是奇函數(shù)，又是奇諧函數(shù)，即u（t）在[0，π]內(nèi)以π/2為軸對稱，在[0，2π]內(nèi)以π為點對稱，所以u（t）中余弦分量、直流分量和偶次正弦分量均為零，即

式中：ak為第k個開關(guān)角，且滿足0＜a1＜a2…＜ak＜…＜aN-1＜aN＜π/2（3）；n為基波與各次諧波的次數(shù)；bn為基波與各次諧波的幅值。則u（t）的基波幅值為

設(shè)m為規(guī)定的調(diào)制比，則b1應(yīng)等于m，即

由于共有N個開關(guān)角即N個自由度，所以可令N-1個低次諧波的幅值為0，即

聯(lián)立式（5）、式（6）可得到一組N維的非線性方程，考慮式（3）并解方程求出相應(yīng)的開關(guān)角，即可實現(xiàn)在保證基波幅值的基礎(chǔ)上消去N-1個低次諧波的目的，這就是特定消諧技術(shù)的基本原理。需要注意的是，調(diào)制比m的取值范圍應(yīng)在[0，1.15]內(nèi)，否則無解。

由于三相輸出電壓中的3次諧波和3的倍數(shù)次諧波同幅同相，在線電壓中被抵消，所以被消除的低次諧波可以不含3次和3的倍數(shù)次諧波。假設(shè)開關(guān)角個數(shù)N=11，則需要消除的諧波次數(shù)為5，7，11，…，31次。上述特定消諧技術(shù)對應(yīng)的非線性方程組為

賈承造：目前，我國天然氣消費快速增長，成為世界第三大天然氣消費國。天然氣在我國一次能源消費結(jié)構(gòu)中占比達到7.3%。其中，城鎮(zhèn)燃氣、交通、工業(yè)燃料和天然氣發(fā)電消費增長明顯，占比分別為燃氣25.8%，交通13.5%，工業(yè)燃料31.8%，天然氣發(fā)電17.9%，化工用品11%。2017年，全國天然氣消費增量主要集中在環(huán)渤海、長三角和西南地區(qū)，這3個地區(qū)的消費增量占了全國的一半。全國用氣量超過100億立方米的有江蘇省、廣東省、四川省、新疆維吾爾自治區(qū)、北京市和山東省6個省市和地區(qū)。

圖2為特定消諧技術(shù)中調(diào)制比m等于0.90時線電壓的頻譜。

表1給出了幾個不同調(diào)制比對應(yīng)的特定消諧技術(shù)的解（用弧度表示）。本文中THD計算到61次，且不包括3次或3的倍數(shù)次諧波，即

圖2 特定消諧技術(shù)中m=0.90時線電壓的頻譜Fig.2 FFT diagram of line voltagewhen m is 0.90 in SHE technique

表1 特定消諧技術(shù)的解Tab.1 Solutionsof the SHE technique

2 4種優(yōu)化PWM方法

2.1 第1種方法

不同于特定消諧技術(shù)，第1種優(yōu)化方法用1個自由度保證基波幅值，N-2個自由度消除N-2個低次諧波，最后一個自由度用于優(yōu)化THD，具體算法步驟如下。

步驟1將式（7）作為數(shù)學(xué)模型，并將表1中特定消諧技術(shù)的解作為初始值；

步驟2去掉數(shù)學(xué)模型中最后一個等式約束，設(shè)為目標函數(shù)，求解最小化問題，此時的數(shù)學(xué)模型為

步驟3將步驟2的解作為初始值，在目標函數(shù)中增加一個諧波，即，繼續(xù)求解最小化問題，并將解作為再次執(zhí)行步驟3時的初始值；

步驟4重復(fù)步驟3，直至目標函數(shù)包含所有被考慮的諧波，最終的數(shù)學(xué)模型為

以上算法具有很好的收斂性。表2給出了第1種方法的部分解，與表1相比，THD明顯降低了。

2.2 第2種方法

第2種優(yōu)化方法可進一步降低THD，用1個自由度保證基波幅值，用N-1個自由度優(yōu)化THD，具體算法如下。

圖3 第1種方法中m=0.90時線電壓的頻譜Fig.3 FFT diagram of line voltagewhen m is0.90 in the firstmethod

步驟1將式（10）作為數(shù)學(xué)模型，并將表2中第1種方法的解作為初始值；

步驟2去掉數(shù)學(xué)模型中最后一個等式約束，將其對應(yīng)的諧波加入到目標函數(shù)中，求解最小化問題，并將解作為再次執(zhí)行步驟2的初始值，此數(shù)學(xué)模型為

步驟3重復(fù)步驟2，直至僅剩下用于保證基波幅值的等式約束，最終的數(shù)學(xué)模型為

以上算法具有很好的收斂性。表3給出了第2種方法的部分解，與表2相比，THD明顯降低了。

圖4為第2種方法中調(diào)制比m等于0.90時線電壓的頻譜。

2.3 第3種方法

由于在實際應(yīng)用中難免會存在誤差或偏移，所以輸出電壓的基波幅值可以不用嚴格的等式來約束。第3種優(yōu)化方法用不等式來約束基波幅值，其數(shù)學(xué)模型為

表2 第1種優(yōu)化方法的部分解Tab.2 Solutionsof the firstoptim izationmethod

式中：abs（）為絕對值函數(shù)；e為誤差系數(shù)，一般取0.02或更小，只要使引入的誤差忽略不計即可。求解時以表3中第2種方法的解作為初始值可獲得很好的收斂性。

圖4 第2種方法中m=0.90時線電壓的頻譜Fig.4 FFT diagram of line voltagewhen m is0.90 in the secondmethod

表4給出了第3種方法的部分解，從表中可知，該方法在調(diào)制比較大時（0.80以上）沒有優(yōu)化效果。表4中調(diào)制比等于0.90時線電壓的頻譜與圖4所示一致。

2.4 第4種方法

因無限制條件的最優(yōu)化問題的收斂性比有限制條件的要好，故第4種優(yōu)化方法采用無限制條件的最小平方和問題優(yōu)化THD，其數(shù)學(xué)模型為

式中，K為權(quán)重系數(shù)，K越大，基波幅值的誤差越小，反之亦然。本文中K的取值需使基波幅值的誤差低于0.05，初值采用表3中第2種方法的解。

表5給出了第4種方法的部分解。雖然與表4相比，THD下降的并不明顯，但此方法對初始值的要求更低了。

圖5為第4種方法中調(diào)制比等于0.9時線電壓的頻譜。

表3 第2種優(yōu)化方法的解Tab.3 Solutionsof the second optim izationmethod

表4 第3種優(yōu)化方法的解Tab.4 Solutionsof the third optim izationmethod

表5 第4種優(yōu)化方法的解Tab.5 Solutionsof the fourth optim izationmethod

圖5 第4種方法中m=0.90時線電壓的頻譜Fig.5 FFT diagram of line voltagewhen m is0.90 in the fourthmethod

由上述算例可看出，調(diào)制比越大，優(yōu)化效果越明顯。以上4種方法亦可用于優(yōu)化其他性能指標，如畸變因數(shù)DF（distortion factor），優(yōu)化此性能指標可保證輸出電流的THD最小，即

在對基波幅值要求比較嚴格的情況下可采用第2種優(yōu)化方法，反之可采用第4種優(yōu)化方法最大程度地抑制諧波。

這4種方法用Matlab實現(xiàn)非常方便，其中前3種方法用Fmincon函數(shù)，最后一種方法用Fminunc或lsqnonlin函數(shù)即可。

3 結(jié)語

本文提出了4種優(yōu)化PWM方法，這些方法可用于某一性能指標的優(yōu)化，且不受拓撲結(jié)構(gòu)的限制，相對于單純消除諧波的特定消諧技術(shù)，其抑制諧波的效果更好。前3種方法有限制條件，最后1種方法無限制條件，雖然降低了基波幅值的精度但提高了收斂性。同時還提出1種逐步計算初始值的方法可保證這4種方法的絕對收斂。計算結(jié)果表明這4種方法具有很好的優(yōu)化效果。

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Four Optim ized PWM M ethods

XUEChang，WANG Jian-ze，JIYan-chao，JIANGBin-hao
（SchoolofElectricalEngineeringand Automation，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

In order to optimize a performance index，four optimized PWM methods are presented based on selective harmonic elimination technique.This paper takesbipolar PWM waveform asan example and optimizing THD asa target to discuss theirmathematicalmodelsand calculation steps in detail，and gives some computationalexamples.In order to guarantee the convergence of the iterative，a step-by-step initial value calculationmethod is proposed.Computational results show that the proposed optimizationmethods have good harmonic suppression effect and convergence. Compared with traditional selective harmonic elimination technique with same switching frequency，thesemethods generatewaveformsofhigherquality and have theoreticalvalueand practicalsignificance.

optimized pulse widthmodulation；performance index；selective harmonic elimination；initial values；convergence

TM464

A

1003-8930（2013）05-0083-05

薛暢（1984—），男，博士研究生，研究方向為無功補償與諧波抑制。Email：xuechang1984@163.com

2012-11-12；

2013-01-14

王建賾（1972—），男，博士，副教授，研究方向為電能質(zhì)量檢測與控制。Email：jianzewang@sina.com

紀延超（1962—），男，博士，教授，研究方向為電能質(zhì)量檢測與控制。Email：jiyanchao@126.com