王鶴，李耀峰，張守龍，董晨

（1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林 132012；2.吉林供電公司，吉林 132012；3.國(guó)電南京自動(dòng)化股份有限公司，南京 211100）

基于自適應(yīng)Terminal滑模的混沌振蕩控制

王鶴1，李耀峰2，張守龍3，董晨3

（1.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林 132012；2.吉林供電公司，吉林 132012；3.國(guó)電南京自動(dòng)化股份有限公司，南京 211100）

針對(duì)電力系統(tǒng)負(fù)荷擾動(dòng)滿足一定條件時(shí)就會(huì)產(chǎn)生混沌振蕩現(xiàn)象，提出了一種自適應(yīng)Terminal滑?；煦缈刂品椒?。利用Lyapunov指數(shù)證明了系統(tǒng)存在混沌振蕩，應(yīng)用簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)分析了周期性負(fù)荷擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為，設(shè)計(jì)了Terminal滑模動(dòng)態(tài)使得系統(tǒng)能夠快速收斂，給出了擾動(dòng)的自適應(yīng)律。應(yīng)用Matlab/Simulink仿真平臺(tái)對(duì)含噪聲和不含噪聲的電力系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果表明，該控制方法能夠有效地鎮(zhèn)定電力系統(tǒng)混沌振蕩。

自適應(yīng)；Terminal滑模；電力系統(tǒng)；混沌震蕩

電力系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)非線性系統(tǒng)[1～3]，其在運(yùn)行的過程中會(huì)產(chǎn)生許多復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，如次同步振蕩、低頻振蕩、分岔、混沌等。當(dāng)負(fù)荷擾動(dòng)的幅值和頻率滿足一定條件時(shí)就會(huì)產(chǎn)生混沌振蕩現(xiàn)象。混沌是確定性非線性系統(tǒng)中的一種類似隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)形式，對(duì)初值極其敏感，具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性。系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行意義深遠(yuǎn)。

由于混沌振蕩可能導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，嚴(yán)重危害系統(tǒng)的安全運(yùn)行，近幾年來許多學(xué)者對(duì)混沌控制進(jìn)行了有效的探索。文獻(xiàn)[4]利用延時(shí)反饋控制方法消除了電力系統(tǒng)混沌振蕩；文獻(xiàn)[5，6]分別利用逆系統(tǒng)方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了電力系統(tǒng)的混沌振蕩的鎮(zhèn)定；文獻(xiàn)[7，8]利用模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)了混沌控制器；文獻(xiàn)[9]采用變量反饋法抑制了電力系統(tǒng)混沌振蕩，但其只能將系統(tǒng)的狀態(tài)控制到穩(wěn)定的目標(biāo)軌道上，不能將其控制到初始平衡點(diǎn)上。文獻(xiàn)[10]利用自適應(yīng)方法觀測(cè)系統(tǒng)的擾動(dòng)幅值，提高了控制器的魯棒性，達(dá)到了消除混沌的目的。文獻(xiàn)[11]將最小二乘支持向量機(jī)LS-SVM（least squares support vector machine）運(yùn)用于動(dòng)力學(xué)特性的學(xué)習(xí)，進(jìn)而獲得訓(xùn)練好的電力系統(tǒng)LSSVM模型，以達(dá)到混沌振蕩控制的目的。雖然以上方法均能有效地控制系統(tǒng)的混沌振蕩，但系統(tǒng)輸出跟蹤期望的信號(hào)的時(shí)間過長(zhǎng)，而且實(shí)際中電力系統(tǒng)不可避免地要受到隨機(jī)噪聲的干擾。文獻(xiàn)[12]指出有界噪聲作用可以增大系統(tǒng)的混沌區(qū)域，使得電力系統(tǒng)更易于產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，而上述研究均未考慮噪聲擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。

本文在文獻(xiàn)[13，14]的基礎(chǔ)上，將自適應(yīng)控制和Terminal滑模控制相結(jié)合，提出一種自適應(yīng)Terminal滑?；煦缈刂品椒?。利用Lyapunov指數(shù)證明了系統(tǒng)存在混沌振蕩，設(shè)計(jì)了Terminal滑動(dòng)模態(tài)使得系統(tǒng)能夠快速收斂。仿真表明，該控制器能夠有效地鎮(zhèn)定電力系統(tǒng)混沌振蕩。

1 電力系統(tǒng)混沌特性的判據(jù)

混沌狀態(tài)的判據(jù)通常采用龐加萊截面法、功率譜法以及李雅普諾夫指數(shù)法（Lyapunov指數(shù)）3種方法，其中應(yīng)用的最多的是Lyapunov指數(shù)法。Lyapunov指數(shù)是表征混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重大的統(tǒng)計(jì)特性參數(shù)，是相空間相近軌道的平均收斂性或平均發(fā)散性的一種度量。對(duì)于n維相空間中連續(xù)的動(dòng)力系統(tǒng)，考察一個(gè)無窮小的n維球面的長(zhǎng)時(shí)間演化，由于流的局部變形特征，球面將變成n維的橢球面，第i個(gè)Lyapunov指數(shù)按照橢球主軸長(zhǎng)度pi（t）定義為

Lyapunov指數(shù)的大小表明相空間中相近軌道的平均收斂或發(fā)散的指數(shù)率。一般說來具有正的和零的Lyapunov指數(shù)的方向都對(duì)支撐吸引子起作用。最大的Lapunov指數(shù)為正時(shí)，系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象，越大其系統(tǒng)的混沌越強(qiáng)。

Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法有很多種，有Kaplan Yorke猜想、差分方程組、微分方程組和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等。根據(jù)不同的系統(tǒng)選取不同的方法，本文采用文獻(xiàn)[15]所提的計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)法。

2 周期性負(fù)荷擾動(dòng)下的動(dòng)力學(xué)行為

2.1 數(shù)學(xué)模型

忽略勵(lì)磁回路和阻尼繞組的動(dòng)態(tài)過程，假設(shè)發(fā)電機(jī)機(jī)械功率在暫態(tài)過程中始終保持不變，不計(jì)發(fā)電機(jī)的瞬態(tài)凸極效應(yīng)，本文采用同步電機(jī)的二階非線性數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化模型為

式中：δ、ω分別為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角和相對(duì)轉(zhuǎn)速；Ps和Pm分別為發(fā)電機(jī)的電磁功率與輸入機(jī)械功率；H和D分別為等值慣性時(shí)間常數(shù)與阻尼系數(shù)；Pe和β1分別為擾動(dòng)負(fù)荷的幅值與頻率。

設(shè)α1=Ps/H，γ=D/H，ρ=Pm/H，F(xiàn)=Pe/H，則式（2）轉(zhuǎn)化為

令[x1，x2]=[δ，ω]，則受控的閉環(huán)系統(tǒng)方程式可表示為

式中，u為控制輸入。

2.2 混沌振蕩的產(chǎn)生

設(shè)H=100，Ps=100，D=2，Pm=20，β1=1，即當(dāng)α1、γ、ρ分別為1、0.02、0.2時(shí)，研究擾動(dòng)負(fù)荷Pe幅值變化時(shí)電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為[9]。

當(dāng)β1=1，Pe=0時(shí)，系統(tǒng)只有阻尼而沒有周期性負(fù)荷擾動(dòng)，功角δ先振蕩一段時(shí)間，然后恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)周期性負(fù)荷擾動(dòng)的幅值Pe增大到29.6時(shí)會(huì)出現(xiàn)混沌振蕩，系統(tǒng)的相軌跡出現(xiàn)混沌吸引子。發(fā)電機(jī)的功角曲線和相圖如圖1所示。

圖1 Pe=29.6時(shí)發(fā)電機(jī)功角曲線和相圖Fig.1δ（t）curve and phase diagram of the generator with Pe=29.6

當(dāng)Pe再有微小增加時(shí)（如Pe=29.613），系統(tǒng)的功角曲線和相圖如圖2所示。

圖2 Pe=29.613時(shí)系統(tǒng)的功角曲線和相圖Fig.2δ（t）curve and phase diagram of the system with Pe=29.613

由圖2可知，系統(tǒng)由混沌振蕩演變?yōu)榘l(fā)散振蕩，已完全失去穩(wěn)定。故而混沌振蕩對(duì)系統(tǒng)的安全運(yùn)行具有很大危害。

當(dāng)Pe=29.613時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 Pe=29.613時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)曲線Fig.3Lyapunov curve of the system and phase diagram with Pe=29.613

由圖3可知，系統(tǒng)有3個(gè)Lyapunov指數(shù)，其中一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，證明了當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)Pe= 29.613時(shí)會(huì)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

3 Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

3.1 Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制基本原理

受未知外擾作用的不確定非線性單輸入單輸出系統(tǒng)表達(dá)式[16]為

式中：f（x，…，x(n-1)，t）為系統(tǒng)各狀態(tài)變量構(gòu)成的未知非線性函數(shù)；w（t）為系統(tǒng)的未知外擾；b（t）為非線性函數(shù)；u（t）為控制量；x（t），…，x(n-1)（t）為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其中x（t）可測(cè)或間接可測(cè)。

考慮形如式（5）所示的不確定非線性系統(tǒng)，其控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使系統(tǒng)輸出y跟蹤期望輸出yd。

常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制一般選取切換函數(shù)為

采用指數(shù)趨近律得

可以設(shè)計(jì)出傳統(tǒng)滑?？刂坡蔀?/p>

由式（9）可知，該控制器需要yd的1，2，…，n-1階導(dǎo)數(shù)已知，當(dāng)有一個(gè)未知時(shí)該控制器將會(huì)失去意義。

為了消除期望輸出yd的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均需已知對(duì)控制器的影響，在滑模面中引入跟蹤誤差ei的積分項(xiàng)，用各階狀態(tài)量代替各誤差項(xiàng)，此時(shí)滑模面可設(shè)計(jì)為

式中：k和ci（i=1，2，…，n-1）為任選常數(shù)，合理選擇參數(shù)k和ci可以使系統(tǒng)達(dá)到比較理想的控制效果。通常情況下，ci的選擇使多項(xiàng)式

具有負(fù)實(shí)部即可，其中r為拉普拉斯算子。

由于在滑模面中加入了積分項(xiàng)，減小了系統(tǒng)各階狀態(tài)量的靜態(tài)誤差，提高了控制精度。

全局快速Terminal滑動(dòng)模態(tài)形式[17]為

式中：α〉0；β〉0；p和q（p〉q）為正奇數(shù)。

由式（12）可設(shè)計(jì)出滑?？刂坡蔀?/p>

3.2 控制器設(shè)計(jì)

Terminal滑?？刂凭褪窃诨瑒?dòng)超平面的設(shè)計(jì)中引入了非線性函數(shù)，構(gòu)造Terminal滑模面，使得在滑模面上跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。設(shè)

對(duì)式（14）求導(dǎo)得

構(gòu)造Terminal滑動(dòng)模態(tài)

式中：α〉0；β〉0；p和q（p〉q）為正奇數(shù)。

得到非線性控制律為

式中，r為自適應(yīng)增益系數(shù)。

下面證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性：將式（17）代入式（15）得

4 仿真分析

為驗(yàn)證本文所提出的自適應(yīng)Terminal滑?？刂品椒ǖ挠行裕贛atlab/Simulink環(huán)境下對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。仿真時(shí)選取初始狀態(tài)x0=[0，0]。共考慮了以下兩種情況。

圖4 Pe=29.6時(shí)在控制器作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線（不含噪聲）Fig.4Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.6（without noise）

4.1 系統(tǒng)不含噪聲時(shí)

在t=80 s時(shí)引入控制項(xiàng)。系統(tǒng)的仿真曲線如圖4所示。

由圖4可以看出，引入控制之前的系統(tǒng)處于無規(guī)則的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，引入控制器后，迅速地鎮(zhèn)定了系統(tǒng)的混沌振蕩，使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)回到了初始狀態(tài)。

在Pe=29.613，系統(tǒng)失去穩(wěn)定（t=80 s）之前投入控制器，受控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖5所示。

仿真結(jié)果表明，在控制器作用下，系統(tǒng)能快速地由混沌運(yùn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)向穩(wěn)定狀態(tài)，并穩(wěn)定在平衡點(diǎn)。

4.2 系統(tǒng)含噪聲時(shí)

考慮在上述系統(tǒng)中加入均值為0，方差為0.1的白噪聲。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖6和圖7所示。

由圖6和圖7可以看出，當(dāng)在系統(tǒng)中加入白噪聲時(shí)，控制器仍然能夠鎮(zhèn)定混沌吸引子，抑制混沌振蕩，可知加入控制器的系統(tǒng)具有一定的抗擾動(dòng)能力，魯棒性好。

圖5 Pe=29.613時(shí)在控制器作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線（不含噪聲）Fig.5Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.613（without noise）

圖6 Pe=29.6時(shí)在控制器作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線（含噪聲）Fig.6Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.6（with noise）

圖7 Pe=29.613時(shí)在控制器作用下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線（含噪聲）Fig.7Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.613（with noise）

5 結(jié)語

本文將Terminal滑模控制和自適應(yīng)控制結(jié)合起來，對(duì)電力系統(tǒng)混沌振蕩進(jìn)行了控制。首先用Lyapunov指數(shù)證明了不含噪聲和含有噪聲的系統(tǒng)在一定的擾動(dòng)幅值下會(huì)產(chǎn)生混沌，然后采用自適應(yīng)Terminal滑模控制對(duì)混沌吸引子進(jìn)行了抑制。該控制方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、物理實(shí)現(xiàn)容易、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、調(diào)節(jié)靈活。仿真表明該控制器能夠消除系統(tǒng)的混沌振蕩，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

[1]朱方，趙紅光，劉增煌，等（Zhu Fang，Zhao Hongguang，Liu Zenghuang，et al）.大區(qū)電網(wǎng)互聯(lián)對(duì)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)vey on transient stability control of modern power systems）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2005，29（15）：40-50．

[3]袁斌，孫啟宏（Yuan Bin，Sun Qihong）.應(yīng)用分支理論分析電力系統(tǒng)中的復(fù)雜振蕩現(xiàn)象（Using bifurcation theory to analysis oscillation phenomenon in power system）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），1994，18（4）：1-4．

[4]張強(qiáng)，王寶華（Zhang Qiang，Wang Baohua）.應(yīng)用延時(shí)反饋控制電力系統(tǒng)混沌振蕩（Controlling power system chaotic oscillation by time-delayed feedback）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2004，28（7）：23-26．

[5]吳忠強(qiáng)，譚拂曉（Wu Zhongqiang，Tan Fuxiao）.永磁同步電動(dòng)機(jī)混沌系統(tǒng)的無源化控制（Passivity control of permanent-magnet synchronous motors chaotic system）[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSEE），2006，26（18）：159-163．

[6]竇春霞，張淑清，袁石文（Dou Chunxia，Zhang Shuqing，Yuan Shiwen）.基于混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的電力系統(tǒng)混沌預(yù)測(cè)與控制（Chaos forecast and control of power systems based on chaos neural network model）[J].中國(guó)電力（Electric Power），2003，36（7）：23-26．

[7]劉美菊，樸在林，吳秀華（Liu Meiju，Piao Zailin，Wu Xiuhua）.同步發(fā)電機(jī)混沌振蕩的模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制（Fuzzy sliding mode variable structure control for chaos oscillation of synchronous generator）[J].電力自動(dòng)化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2009，29（7）：85-88．

[8]袁雷，吳漢松，涂建軍（Yuan Lei，Wu Hansong，Tu Jianjun）.同步發(fā)電機(jī)混沌振蕩的積分滑模模糊控制（Integral sliding mode control for chaos oscillation of synchronous generator）[J].電力自動(dòng)化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2010，30（11）：82-85．

[9]張強(qiáng)，王寶華（Zhang Qiang，Wang Baohua）.基于變量反饋的電力系統(tǒng)混沌振蕩控制（Chaos control with variable feedback in power system）[J].電力自動(dòng)化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2002，22（10）：6-9．

[10]王寶華，張強(qiáng)，楊成梧，等（Wang Baohua，Zhang Qiang，Yang Chengwu，et al）.電力系統(tǒng)混沌振蕩的自適應(yīng)Backstepping控制（Chaotic oscillation control of electric power system based on adaptive backstepping）[J].電力自動(dòng)化設(shè)備（Electric Power Automation Equipment），2003，23（11）：9-12．

[11]譚文，李志攀，張敏（Tan Wen，Li Zhipan，Zhang Min）.基于最小二乘支持向量機(jī)的電力系統(tǒng)混沌振蕩控制（Chaotic oscillation control of electric power system based on least square support vector machines）[J].湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版（Journal of Hunan University of Science&Technology：Natural Science Edition），2010，25（3）：59-62．

[12]覃英華（Qin Yinghua）.隨機(jī)噪聲擾動(dòng)下電力系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為研究（Study on Nonlinear Dynamics in Power System under Noise Perturbation）[D].桂林：廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院（Guilin：School of Electronic Engineering，Guangxi Normal University），2010．

[13]張裊娜，孫穎，于蘭（Zhang Niaona，Sun Ying，Yu Lan）.一類混沌系統(tǒng)的終端滑?？刂疲═erminal sliding mode control for class of chaotic systems）[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版（Journal of Jilin University：Information Science Edition），2005，23（6）：635-638．

[14]宋運(yùn)忠，趙光宙，齊冬蓮（Song Yunzhong，Zhao Guang zhou，Qi Donglian）.電力系統(tǒng)混沌振蕩的自適應(yīng)補(bǔ)償控制（Adaptive compensation control for chaos oscillation of power system）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2006，18（4）：5-8，81.

[15]李舜酩，李香蓮.振動(dòng)信號(hào)的現(xiàn)代分析技術(shù)與應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008．

[16]曾正，劉滌塵，廖清芬，等（Zeng Zheng，Liu Dichen，Liao Qingfen，et al）.Terminal滑模變結(jié)構(gòu)勵(lì)磁控制設(shè)計(jì)及仿真研究（Design and simulation study on terminal sliding mode variable structure excitation control）[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制（Power System Protection and Control），2010，38（23）：1-5，59.

[17]王寶華，鄒德虎（Wang Baohua，Zou Dehu）.TCSC自適應(yīng)Terminal滑模穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)（Design of adaptive terminal sliding mode controller of TCSC for power system stability enhancement）[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedings of the CSU-EPSA），2011，23（4）：111-114.

Chaotic Oscillation Control Based on Adaptive Terminal Sliding Mode

WANG He1，LI Yao-feng2，ZHANG Shou-long3，DONG Chen3
（1.School of Electrical Engineering，Northeast China Dianli University，Jilin 132012，China；
2.Jilin Power Supply Company，Jilin 132012，China；3.Guodian Nanjing Automation Co.，Ltd.，Nanjing 211100，China）

According to chaos oscillation phenomena produced by power system load disturbance at certain conditions，a chaotic oscillation control of electric power system based on adaptive terminal sliding mode is proposed.Existence of chaos oscillation in power system is proved by using Lyapunov index.The dynamic behavior of periodic load disturbance is analyzed under a simple power system.A terminal sliding mode is designed for the system to enable the fast convergence.The adaptive law of the disturbance is developed.The model has been described with the reference and implemented by using Matlab/Simulink.Extensive simulation results are presented and analyzed to validate that the proposed simulation model is effective for the suppression of chaos oscillation

adaptive；Terminal sliding mode；power system；chaotic oscillation

TM732

A

1003-8930（2013）03-0152-06

王鶴（1983—），男，博士研究生，講師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)安全分析與控制。Email：wanghe@mail.nedu.edu.cn

2012-10-12；

2012-12-30

李耀峰（1984—），男，本科，助理工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)運(yùn)行與調(diào)度。Email：liyaofeng@163.com

張守龍（1983—），男，本科，助理工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)繼電保護(hù)。Email：214364786@QQ.com