邵宗戰(zhàn)，侯代文，房 毅

(91439 部隊(duì)，大連 116041)

在入水點(diǎn)精度評(píng)估中，使用最多的是假設(shè)檢驗(yàn)方法。該方法在代價(jià)函數(shù)最小準(zhǔn)則下，先假設(shè)總體參數(shù)的分布形式，然后利用試驗(yàn)信息計(jì)算似然概率，進(jìn)而確定接收原假設(shè)還是備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)方法在拒絕原假設(shè)時(shí)有充分的理由，但是在不能拒絕原假設(shè)時(shí)卻沒(méi)有足夠的理由接受原假設(shè)，而工程檢驗(yàn)的目的是要確認(rèn)所關(guān)心的原假設(shè)是否成立，或者說(shuō)待檢驗(yàn)的產(chǎn)品是否合格，因此假設(shè)檢驗(yàn)方法難以滿足工程實(shí)踐的需求。特別地，在入水點(diǎn)精度的考核中，假設(shè)檢驗(yàn)方法一般將入水點(diǎn)偏差信息通過(guò)落入圓的劃定轉(zhuǎn)化為服從二項(xiàng)分布的成敗型問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，在接受原假設(shè)時(shí)，不僅意味著不拒絕原假設(shè)，還可能會(huì)因?yàn)樗骷僭O(shè)的差異，得到截然不同的結(jié)論;而且將精度問(wèn)題簡(jiǎn)化為成敗型問(wèn)題，在客觀上也造成入水點(diǎn)信息的損失，因此假設(shè)檢驗(yàn)方法難以滿足工程實(shí)踐的需求［2］。

參數(shù)估計(jì)方法將入水點(diǎn)偏差看作服從某一分布函數(shù)的隨機(jī)變量，利用試驗(yàn)信息估計(jì)變量的值，不僅解決了假設(shè)檢驗(yàn)方法中接收原假設(shè)時(shí)的充分性問(wèn)題，而且避免了入水點(diǎn)信息的損失。采用經(jīng)典的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行入水點(diǎn)精度評(píng)估，僅僅利用定型階段的試驗(yàn)信息，要得到置信度較高的評(píng)判結(jié)果，需要較多的試驗(yàn)樣本。不同于傳統(tǒng)的管裝發(fā)射魚雷，火箭助飛魚雷試驗(yàn)屬于破壞性試驗(yàn)，魚雷不能回收使用，這會(huì)造成試驗(yàn)消耗大且組織、指揮和協(xié)調(diào)難度高，因而參數(shù)估計(jì)只能在小子樣條件下進(jìn)行。由于火箭助飛魚雷在研制過(guò)程中，經(jīng)歷方案設(shè)計(jì)驗(yàn)證試驗(yàn)、科研試驗(yàn)等階段，Bayes 點(diǎn)估計(jì)方法可利用這些階段的入水點(diǎn)信息作為驗(yàn)前信息確定驗(yàn)前分布，并根據(jù)定型試驗(yàn)時(shí)獲取的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在同樣置信條件下，能降低試驗(yàn)所需魚雷的條次數(shù)，從而有效地降低試驗(yàn)消耗、縮短試驗(yàn)周期、提高試驗(yàn)效率［3］。基于此，本文利用Bayes 點(diǎn)估計(jì)方法［4］對(duì)火箭助飛魚雷入水點(diǎn)精度進(jìn)行評(píng)定，僅利用較少的試驗(yàn)條次數(shù)，就能以較高的置信度，實(shí)現(xiàn)入水點(diǎn)精度的評(píng)定。最后，給出了相容性檢驗(yàn)的計(jì)算方法，并通過(guò)應(yīng)用實(shí)例對(duì)所提方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 Bayes 參數(shù)估計(jì)方法

Bayes 估計(jì)方法將魚雷入水點(diǎn)位置看作服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，將入水點(diǎn)偏差看作正態(tài)分布中的分布參數(shù)θ，并用概率分布函數(shù)描述參數(shù)θ 的未知狀況。

首先，由驗(yàn)前信息確定驗(yàn)前分布π(θ)，由現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息X={X1，X2，…，Xn}確定似然函數(shù)L(X|θ)，然后，利用Bayes公式綜合現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息和先驗(yàn)信息，形成較完備的后驗(yàn)分布在后驗(yàn)分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，就能夠確定入水點(diǎn)精度的大小。

Bayes 方法在使用驗(yàn)前信息時(shí)要求信息以分布函數(shù)的形式表示，而指標(biāo)評(píng)定過(guò)程中這些信息一般以歷史數(shù)據(jù)、主觀信息或者經(jīng)驗(yàn)信息的形式存在，這就需要確定先驗(yàn)分布函數(shù)的形式并計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)。選取恰當(dāng)?shù)南闰?yàn)分布是正確反映先驗(yàn)信息并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的前提和基礎(chǔ)，目前選取先驗(yàn)分布的方法主要有共軛分步法、不變先驗(yàn)分布法等，在滿足合理性要求的前提下，選取共軛分布能給估計(jì)帶來(lái)極大的方便，在此選取共軛先驗(yàn)分布法進(jìn)行研究。

1.1 分布假定［5］

對(duì)入水點(diǎn)精度指標(biāo)σ，設(shè)D =σ2的驗(yàn)前概率密度函數(shù)π(D)為逆Gamma 分布IGa(α0，β0)，即:

以雷達(dá)所在位置為原點(diǎn)，在縱平面上，目標(biāo)位置信息主要由觀測(cè)距離r以及俯仰角θ來(lái)表征，其中觀測(cè)距離標(biāo)準(zhǔn)差為σr，俯仰角標(biāo)準(zhǔn)差為σθ，則對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

其中α0和β0是驗(yàn)前概率密度函數(shù)中的兩個(gè)未知的分布參數(shù)，需要利用各種驗(yàn)前信息確定其取值。Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

1.2 驗(yàn)前分布中超參數(shù)的計(jì)算

設(shè)定型試驗(yàn)之前，在以理論入水點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的發(fā)射坐標(biāo)系下，有m 個(gè)驗(yàn)前入水點(diǎn)信息{(Δx0i，Δz0i)|i =1，2，…，m}，其中(Δx，Δz)表示實(shí)際入水點(diǎn)相對(duì)于理論入水點(diǎn)的偏差。如果假定入水點(diǎn)偏差Δx ～N(0，D))，Δz ～N(0，D))，且Δx、Δz 相互獨(dú)立，令

則r0i服從Rayleigh 分布，其概率密度函數(shù):

利用驗(yàn)前信息{r0i|i=1，2，…，m}，根據(jù)Bootstrap 方法［6］求出D 的驗(yàn)前均值和驗(yàn)前方差。在計(jì)算機(jī)上，該過(guò)程可利用Monte Carlo 方法按以下步驟實(shí)現(xiàn):

1)以R1，R2，…，Rn的實(shí)現(xiàn)(r1，r2，…，rn)為有限總體，進(jìn)行有放回地簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到Bootstrap 觀察值(，…)，并由此構(gòu)造隨機(jī)變量D 的一階矩=R，…，;Fn)和二階矩=R，…;Fn)。

計(jì)算得到隨機(jī)變量D 驗(yàn)前概率密度函數(shù)IGa(α0，β0)中的超參數(shù)α0和β0。

1.3 驗(yàn)后概率密度函數(shù)的計(jì)算

如果定型試驗(yàn)中測(cè)量得到的n 個(gè)入水點(diǎn)信息為X ={(Δxi，Δzi)|i=1，2，…，n}。同樣計(jì)算:

其中

則似然函數(shù)為Rayleigh 分布函數(shù)的積:

根據(jù)Bayes 理論，隨機(jī)變量D 的驗(yàn)后概率密度函數(shù)可以表示如下:

由于

則

則D 的驗(yàn)后概率密度函數(shù):

其中

由于D=σ2，可求得標(biāo)準(zhǔn)差σ 的驗(yàn)后概率密度函數(shù)

1.4 入水點(diǎn)精度估計(jì)

在均方誤差最小意義下，利用式(12)得到入水點(diǎn)精度的貝葉斯點(diǎn)估計(jì)值

2 相容性檢驗(yàn)

定型試驗(yàn)之前的驗(yàn)前數(shù)據(jù)是一種最常見(jiàn)的驗(yàn)前信息形式，當(dāng)對(duì)驗(yàn)前數(shù)據(jù)直接運(yùn)用Bayes 公式，實(shí)際上它是將驗(yàn)前數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)同等看待。此時(shí)，若兩者不相容，將會(huì)降低評(píng)判結(jié)果的置信度，因此需要進(jìn)行相容性檢驗(yàn)，以確定驗(yàn)前信息是否可用。

相容性檢驗(yàn)主要有Smirnov 檢驗(yàn)、Wilcoxon 檢驗(yàn)和Mood檢驗(yàn)等方法。本文采用F 檢驗(yàn)方法［7］確定驗(yàn)前信息與現(xiàn)場(chǎng)信息的相容性。

設(shè)x1，x2，…，xn1為驗(yàn)前信息中的一組入水點(diǎn)偏差，y1，y2，…，yn2為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)中的一組入水點(diǎn)偏差。作統(tǒng)計(jì)量:

對(duì)于給定的顯著性水平α'，接受H'0假設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)為P(F∈DA|H'0)=1-α'。即當(dāng)F∈DA時(shí)，接受H'0，當(dāng)F?DA時(shí)，拒絕H'0，接受H'1。DA為檢驗(yàn)的臨界區(qū)域。對(duì)于F 檢驗(yàn)，接收區(qū)域:

3 應(yīng)用舉例

假定入水點(diǎn)精度指標(biāo)規(guī)定不大于190 m。在以理論入水點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的發(fā)射坐標(biāo)系下，驗(yàn)前入水點(diǎn)信息為{(256.76 m，12.57 m)，(366.29 m，342.25 m)，(-55.32 m，245.92 m)，(314.95 m，-145.14 m)}，由式(5)、(6)可計(jì)算出驗(yàn)前超參數(shù)α0=2. 712、β0=3192. 5。現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)入水點(diǎn)信息為{(200.28 m，54.04 m)，(-289.50 m，-55.91 m)，(-97.50 m，- 193. 29 m)，(- 133. 43 m，289. 69 m)，(91. 52 m，-394.62 m)，(-24.64 m，-263.67 m)}，首先根據(jù)由式(21)，兩組數(shù)據(jù)是相容的，再由式(15)、(16)求得驗(yàn)后超參數(shù)α=8.712、β=259 599。最后，根據(jù)式(18)得到入水點(diǎn)精度估計(jì)值為^σ=180.52 m。由于^σ≤190 m，入水點(diǎn)精度滿足指標(biāo)要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了解決火箭助飛魚雷系統(tǒng)復(fù)雜，試驗(yàn)子樣數(shù)少，指標(biāo)評(píng)定困難的問(wèn)題，本文采用Bayes 點(diǎn)估計(jì)方法，融合各種驗(yàn)前信息對(duì)入水點(diǎn)精度進(jìn)行評(píng)定。首先對(duì)驗(yàn)前信息與試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)信息的相容性進(jìn)行檢驗(yàn)，以確定驗(yàn)前信息是否可用;然后利用兩種信息分別計(jì)算驗(yàn)前和驗(yàn)后概率密度函數(shù)，進(jìn)而確定入水點(diǎn)精度的概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果，判定該項(xiàng)指標(biāo)是否滿足技術(shù)要求。最后通過(guò)應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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