丁忠安，雷萬鈞，曹暉，王躍

（西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院 電力設(shè)備電氣絕緣國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049）

1 引言

三相交流電弧爐是利用電弧來熔煉金屬的冶金設(shè)備[1]。近年來，隨著國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展使得能夠冶煉各類金屬的電弧爐大量投入使用，給電網(wǎng)造成次諧波、間諧波含量增加、電壓閃變、電壓波動(dòng)等問題，使公用電網(wǎng)的電能質(zhì)量變差。因此，對(duì)電弧爐產(chǎn)生的諧波、次諧波與間諧波進(jìn) 行有效地檢測(cè)是實(shí)現(xiàn)有效治理的前提。但是，由于次諧波與間諧波存在幅值小、頻率與幅值隨時(shí)間波動(dòng)等問題使其難以被準(zhǔn)確檢測(cè)。

目前，電力系統(tǒng)中常用的諧波檢測(cè)方法是快速傅立葉算法（FFT）。它的檢測(cè)對(duì)象是靜態(tài)信號(hào)，即信號(hào)中的頻率成分在整個(gè)時(shí)間軸上保持恒定的。但是在實(shí)際中需要進(jìn)行檢測(cè)的信號(hào)大多是動(dòng)態(tài)的，因此這就限制了FFT 的應(yīng)用。針對(duì)動(dòng)態(tài)信號(hào)的檢測(cè)要求，人們提出了短時(shí)傅里葉變換（STFT）[2]。STFT 通過對(duì)信號(hào)加函數(shù)窗實(shí)現(xiàn)了時(shí)域局部化，從而獲得了頻率分量隨著時(shí)間變化的信息。依據(jù)海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理：當(dāng)時(shí)間窗較窄時(shí)，STFT 算法時(shí)間分辨率較高、頻率分辨率較低；而當(dāng)時(shí)間窗較寬時(shí)，STFT 算法時(shí)間分辨率較低、頻率分辨率較高。由于采用寬度固定的窗函數(shù)，STFT 在低頻區(qū)的頻率分辨率與高頻區(qū)的時(shí)間分辨率均表現(xiàn)不足，從而影響了檢測(cè)效果。小波變換（WT）是利用母小波函數(shù)及其伸縮、平移后的小波函數(shù)來逼近原始信號(hào)的信號(hào)分析方法[3]。它引入了漸進(jìn)分辨率的概念，通過平移、伸縮實(shí)現(xiàn)多尺度多分辨率檢測(cè)能力，改變了STFT的窗函數(shù)寬度固定的缺點(diǎn)，同時(shí)保證了在低頻區(qū)具有良好的頻率分辨率與在高頻區(qū)具有良好的時(shí)間分辨率。然而，WT 不是真正地對(duì)信號(hào)的頻率進(jìn)行測(cè)量而是一種近似分析的方法。它提供的相位信息是局部參考相位信息，即該相位信息會(huì)隨著信號(hào)局部化過程中的局部參考中心點(diǎn)的變化而變化從而難以被識(shí)別。S 變換（ST）是1996年由R.G.Stockwell 率先提出的[4]。ST 既體現(xiàn)了全局參考相位信息，也具有多分辨率檢測(cè)能力。由于ST 結(jié)合了FFT 與WT 各自的優(yōu)點(diǎn)，從而在次諧波與間諧波檢測(cè)上具有更加明顯的優(yōu)勢(shì)。

本文在分析電弧爐對(duì)電網(wǎng)電能質(zhì)量影響的基礎(chǔ)上，采用了基于修正廣義S 變換的電弧爐電流次諧波及間諧波檢測(cè)方法。該方法利用時(shí)窗寬度與頻率呈非線性關(guān)系，保證了高頻區(qū)有較高的頻率分辨率。此外，該方法還使用了具有偏移校正技術(shù)的Jacobsen 頻率修正方法和基于自適應(yīng)克隆選擇算法的幅值修正算法。最后通過電弧爐電流信號(hào)模型的仿真結(jié)果表明，本文算法可以準(zhǔn)確的對(duì)電弧爐電流的次諧波與間諧波進(jìn)行檢測(cè)。

2 改進(jìn)諧波檢測(cè)方法

電弧爐是利用發(fā)生于電極與爐料之間的電弧的熱量熔煉金屬的電爐。電弧爐在金屬冶煉過程中會(huì)產(chǎn)生非正弦畸變與各次諧波。電弧爐是一種沖擊性負(fù)荷以及電弧的非線性特點(diǎn)，都會(huì)引起大量的次諧波與間諧波，所以會(huì)對(duì)電網(wǎng)電能質(zhì)量產(chǎn)生不可忽視的不利影響。目前，針對(duì)現(xiàn)有諧波檢測(cè)方法的不足，本文修正廣義S 變換對(duì)電弧爐中的次諧波與間諧波進(jìn)行檢測(cè)，并采用合適的頻率與幅值修正算法對(duì)S 變換存在的頻率、幅值檢測(cè)誤差進(jìn)行修正。

2.1 修正廣義S 變換（MGST）

已知S 變換的定義：

其中，高斯窗：

因此，標(biāo)準(zhǔn)S 變換定義為：

式中：,t t為時(shí)間變量；f為頻率變量；h(t)代表諧波信號(hào)。

由上述分析可知，ST 窗函數(shù)的寬度與頻率f成反比，從而保證ST 在低頻區(qū)的時(shí)間窗寬度較寬，從而獲得較高的頻率分辨率，而在高頻區(qū)的時(shí)間窗寬度較窄，從而獲得較高的時(shí)間分辨率。但是電網(wǎng)諧波分析對(duì)所有頻率分量有高頻率分辨率的要求，而對(duì)時(shí)間分辨率的要求則略低，故需要對(duì)S 變換的窗函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，以滿足電網(wǎng)諧波檢測(cè)的要求。

因此，修正廣義S 變換的定義如下[5]：

其中，修正廣義高斯窗：

式中：k為窗口寬度調(diào)節(jié)因子；q為頻率變化調(diào)節(jié)因子，(0,1]q∈ 。

由上述分析可知，ST 是MGST 在 1k q= = 下的特例。通過分析MGST 窗函數(shù)特性可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)q固定時(shí)，k增大則時(shí)間窗寬度隨著頻率增大而減小的速度減緩；當(dāng)k固定時(shí)，q增大則時(shí)間窗寬度隨頻率增大而減小的速度加快。因此，通過增大k可以提高頻率分辨率，增大q則減小頻率分辨率。由上述分析可知，參數(shù)q使時(shí)間窗寬度隨著頻率的變化呈非線性變化，因此可以將q設(shè)置為較低值以保證在高頻時(shí)S 變換仍有高的頻率分辨率。

那么修正廣義高斯窗的傅里葉變換：

式中：υ為頻率變量。

令采樣時(shí)間為ΔT，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則采樣頻率fs= 1ΔT，頻率分辨率Δf=fsN，那么f=mΔf，υ=pΔf，則修正廣義高斯窗離散化：

此外，已知信號(hào)h(t)的傅里葉變換[6]：

由上可知，MGST 與傅里葉變換有直接聯(lián)系。利用MGST 在時(shí)間軸上進(jìn)行積分而后逆變換的操作可以實(shí)現(xiàn)將各頻率分量分離并重構(gòu)出各頻率分量的時(shí)域信號(hào)。

2.2 頻率修正算法

由于MGST 與FFT 具有天然的聯(lián)系，因此MGST 同樣面臨著柵欄效應(yīng)對(duì)頻率檢測(cè)精度的影響。故而，我們需要在MGST 得到的頻率值附近搜索以獲得間諧波、次諧波的準(zhǔn)確頻率值。

已知不論動(dòng)態(tài)還是穩(wěn)態(tài)諧波，電網(wǎng)中的諧波信號(hào)持續(xù)至少一個(gè)周波，因此可以用MGST 結(jié)果矩陣的某一個(gè)頻率行中的幅值最大值來表征頻率fi的幅值，即D1(fi) =max[A(t,fi)]，此外利用該頻率行的相位均值即來表征頻率fi的相位，即

對(duì)于實(shí)際頻率為Δf非整數(shù)倍的頻率分量，因其頻率落在MGST 矩陣的相鄰行之間，那么通過MGST 得到的計(jì)算頻率是其臨近值，故MGST 模矩陣相位均值D2(fi)在該計(jì)算頻率對(duì)應(yīng)點(diǎn)處會(huì)發(fā)生突變，即表現(xiàn)為該計(jì)算頻率點(diǎn)前后兩個(gè)點(diǎn)D2(fi-1)、D2(fi+1)的相位角符號(hào)相反且這兩個(gè)相角之差絕對(duì)值大于設(shè)定閥值。

目前，人們提出了許多基于3 個(gè)相鄰頻率采樣點(diǎn)之間的非線性關(guān)系的頻率近似方法[7-8]。

如圖1所示，kpeak為某頻率分量準(zhǔn)確頻率值對(duì)應(yīng)的系數(shù)，k為檢測(cè)到的對(duì)應(yīng)于實(shí)際頻率值的系數(shù)。令檢測(cè)值與實(shí)際值之間的系數(shù)誤差為δ（該值可正可負(fù)），fs為采樣頻率，N為采樣點(diǎn)數(shù)。那么，

圖1 采樣點(diǎn)幅值 Fig.1 The amplitude of sampling points

為了能夠更加精確地對(duì)頻率進(jìn)行修正，本文采用具有偏移校正技術(shù)的Jacobsen 頻率修正方法[9]。因此，頻率修正定義：

式中：R（k）為第k次諧波的復(fù)數(shù)值。

2.3 幅值修正算法

由于受到柵欄效應(yīng)的影響，當(dāng)頻率分量的頻率值不是fΔ 整數(shù)倍時(shí)檢測(cè)到的幅值有較大的誤差，因此需要對(duì)這些頻率分量的幅值檢測(cè)值進(jìn)行修正。

已知實(shí)際信號(hào)x(t)的模型：

那么信號(hào)經(jīng)過MGST 檢測(cè)以及頻率修正后得到的信號(hào)y(t)的模型：

式中：Ai與Ai′分別為信號(hào)的實(shí)際幅值與檢測(cè)幅值；fi與fi′分別為信號(hào)的實(shí)際頻率與檢測(cè)頻率（由于經(jīng)過頻率修正后頻率誤差極小，故而可認(rèn)為二者相等）；φi與φi′分別為信號(hào)的實(shí)際相位與檢測(cè)相位。

由于頻率不是fΔ 整數(shù)倍的頻率分量的幅值與相位同實(shí)際值相比存在誤差，故而需要對(duì)這些頻率分量的幅值與相位進(jìn)行修正，以使y(t)與x(t)之間的誤差最小。

為了能夠?qū)Ψ蹬c相位進(jìn)行修正，本文采用克隆選擇算法實(shí)現(xiàn)幅值與相位修正的目的。克隆選擇算法是基于人體免疫響應(yīng)機(jī)制而提出的一種函數(shù)優(yōu)化算法[10]。該算法模擬了抗體的產(chǎn)生、抗體與抗原的黏合、激勵(lì)、克隆、超突變及未受激勵(lì)細(xì)胞的消亡等自然過程。其中：抗原對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和各種約束條件，抗體對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問題的優(yōu)化解，抗原和抗體之間的親和度對(duì)應(yīng)于優(yōu)化問題的解與目標(biāo)函數(shù)的匹配程度。

本文在分析文獻(xiàn)[5]中方法的基礎(chǔ)上，利用MGST 對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行分離、重構(gòu)操作得到實(shí)際信號(hào)各次頻率分量的時(shí)域模型：

利用MGST 檢測(cè)到各次頻率分量的幅值、相位信息以及經(jīng)過頻率修正后的各次頻率分量的頻率值，可以得到各次頻率分量的時(shí)域模型：

其中，經(jīng)過頻率修正后得到的頻率fi′與實(shí)際頻率fi相同，故而只需要對(duì)各次頻率分量的幅值與相位進(jìn)行修正即可。這樣可以防止由于需要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)的變量數(shù)目過多導(dǎo)致具有多個(gè)全局最優(yōu)點(diǎn)，從而無法獲得所需的解。

每次優(yōu)化算法中對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)：

其中，在檢測(cè)算法中可以設(shè)置一個(gè)閾值，當(dāng)min(Ei)小于閾值時(shí)就認(rèn)為得到的數(shù)值與實(shí)際信號(hào)相同。

為了提高優(yōu)化速度，本文采用自適應(yīng)克隆選擇算法[11]。由于二進(jìn)制編碼的結(jié)構(gòu)類似生抗體基因結(jié)構(gòu)，且易于進(jìn)行計(jì)算機(jī)操作和處理（克隆、變異、選擇）等優(yōu)點(diǎn)，本文采用二進(jìn)制編碼。首先將函數(shù)的可行解進(jìn)行二進(jìn)制編碼，然后在二進(jìn)制空間上進(jìn)行克隆選擇的克隆、變異操作，結(jié)果再通過解碼的過程還原成十進(jìn)制數(shù)值，以便進(jìn)行親和度值的評(píng)估，本文用各個(gè)抗體對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的倒數(shù)作為親和度值，如此當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值越小則親和度越大，表示抗體越加接近最優(yōu)解。

假設(shè)某個(gè)十進(jìn)制變量x經(jīng)過二進(jìn)制編碼后為(substring)p，其對(duì)應(yīng)的位數(shù)為p，變量x計(jì)算精度為小數(shù)點(diǎn)后n位，變量的取值范圍為[xmin,xmax]，則依據(jù)下式計(jì)算編碼后的二進(jìn)制位數(shù)：

解碼公式：

自適應(yīng)克隆選擇算法的流程如下：

步驟1：初始化。依據(jù)變量的范圍以及計(jì)算精度，將變量用二進(jìn)制代碼表示。為了加快收斂速度，本文利用MGST 算法檢測(cè)到的幅值與相位初值來初始化抗體，形成抗體群P；

步驟2：克隆。計(jì)算各個(gè)抗體的親和度值，并依據(jù)此對(duì)各個(gè)抗體進(jìn)行克隆，形成抗體群C；

步驟3：變異。對(duì)抗體群C進(jìn)行變異多點(diǎn)變異操作，形成抗體群C*；

步驟4：取C*中親和度值最大的d個(gè)抗體替換P中親和度最低的d個(gè)抗體，形成新的抗體群P；

步驟5：判斷Ei是否小于閾值，若否則轉(zhuǎn)到步驟2，若是則繼續(xù)；

步驟6：若滿足終止條件，則結(jié)束程序且輸出結(jié)果即為所要的最優(yōu)解。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文算法的有效性，使用文獻(xiàn)[12]所建的電弧爐電流信號(hào)模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。其中電弧爐仿真模型如式（20）所示，所產(chǎn)生的電流波形如圖2所示。

圖2 電弧爐電流波形 Fig.2 The current waveform of electrical arc furnace

對(duì)電弧爐信號(hào)用MGST 進(jìn)行處理，信號(hào)幅頻圖如圖3所示。利用MGST 可以發(fā)現(xiàn)電弧爐電流信號(hào)中共有6 個(gè)頻率分量。

圖3 電弧爐信號(hào)幅頻圖 Fig.3 The picture of amplitude-frequency of EAF

由于被檢測(cè)的信號(hào)中存在頻率值不是fΔ 整數(shù)倍的頻率分量，故而需要對(duì)這些頻率值進(jìn)行修正。每個(gè)頻率分量的頻率值及經(jīng)過頻率修正后的頻率值如表1所示。其中，50 Hz 與76 Hz 頻率成分是fΔ 的整數(shù)倍，故而不需要進(jìn)行頻率修正操作，而其他4 個(gè)頻率成分則需要進(jìn)行修正。由表1可知，利用頻率修正算法對(duì)其中的頻率進(jìn)行修正后都達(dá)到了極高的精確度。

表1 MGST 頻率檢測(cè)值及修正后頻率值 Tab.1 The detected frequency of MGST and frequency after correction

考慮到柵欄效應(yīng)的影響，需要對(duì)檢測(cè)到的頻率分量的幅值進(jìn)行修正。每個(gè)頻率分量的幅值及經(jīng)過頻率修正后的幅值如表2所示。利用幅值修正算法對(duì)其中頻率值不是fΔ 整數(shù)倍的頻率分量的幅值進(jìn)行修正。修正結(jié)果表明該算法能夠極大提高幅值檢測(cè)的精確度。

表2 MGST 幅值檢測(cè)值及修正后幅值 Tab.2 The detected amplitude of MGST and amplitude after correction

4 結(jié)論

本文采用了基于修正廣義S 變換的電弧爐電流次諧波及間諧波檢測(cè)方法。該方法不僅保證高頻區(qū)有較高的頻率分辨率，而且通過引入頻率與

幅值修正算法來，使由于柵欄效應(yīng)導(dǎo)致的頻率與幅值檢測(cè)誤差被大大地減小。仿真結(jié)果表明，具有頻率、幅值修正的修正廣義S 變換可以精確且有效的檢測(cè)電弧爐電流次諧波與間諧波。

[1] 李士琦．現(xiàn)代電弧爐煉鋼[M]．北京：原子能出版社，1995.

[2] Schafer R.W，Rabiner L.R.Design and Simulation of a Speech Analysis Synthesis System Based On Short-time Fourier Analysis[J].IEEE Trans.AudioElectroacoust，1973，(3).

[3] Daubechies I.The Wavelet Transform，Time Frequency Localization and Signal Analysis[J].IEEE Trans.Inf.Theory 1990, 36，(5).

[4] Stockwell R.G.Mansinha L, Lowe R P.Localization of the Complex Spectrum：The S Transform[J].IEEE Trans.Signal Processing，1996：998-1001.

[5] Quan Huimin，Dai Yuxing，Zhang Guoyun，Harmonic and Interharmonic Signal Analysis Based on Generalized S-Transform[J].Cinisese Journal of Electronics，2010：19(4).

[6] 束洪春.電力工程信號(hào)處理應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[7] Quinn B.G.Estimation of Frequency，Amplitude，and Phase from the DFT of a Time Series[J].IEEE Trans.Signal Process.1997：814 -817.

[8] Jacobsen E，Kootsookos P.Fast，Accurate Frequency Estimators[J].IEEE Signal Process.2007：123 -125.

[9] Candan C.A Method for Fine Resolution Frequency Estimation from Three DFT Samples[J].IEEE Transactions on Signal Processing.2011：351-354.

[10] De Castro L N，Von Zuben F J.The Clonal Selection Algorithm with Engineering Application[C]//Proc.of GECCO’00 ，Workshop on Artificial Immune Systems and Their Application.2000：36-37.

[11] 魏圓圓，唐超禮，黃友銳.自適應(yīng)克隆選擇算法及其仿真研究[J].模式識(shí)別與人工智能2009，22（2）.

[12] Zheng T，Makram E.B.An Adaptive Arc Furnace Model[J].IEEE Transactions on Power Delivery，2000：931-939.