李巖，蔡遠文

(裝備學(xué)院 航天裝備系，北京101416)

在軌服務(wù)飛行器(orbital servicing vehicle，OSV)工作在微重力環(huán)境下，因存在動量和動量矩守恒，OSV姿態(tài)會隨機械臂的運動而改變.此時，機械臂系統(tǒng)的運動規(guī)劃和固定基座的機械臂有所不同.諸多文獻的研究成果表明[1-4]，OSV機械臂系統(tǒng)的運動規(guī)劃一般以機械臂的運動對基座擾動最小和控制過程能耗最小為優(yōu)化目標(biāo).多采取的研究思路為:根據(jù)守恒定律建立OSV機械臂系統(tǒng)的運動模型，將其轉(zhuǎn)化為非線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程，確定系統(tǒng)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，利用最優(yōu)化理論和方法計算最優(yōu)控制律.本文在此思路的基礎(chǔ)上，考慮了多種初末狀態(tài)約束，對運動規(guī)劃目標(biāo)和規(guī)劃方法進行了分析和改進.

1 運動規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)

以文獻[5]中建立的單臂二關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)為例，討論其運動規(guī)劃步驟和方法(如圖1).定義系統(tǒng)的位形x=[q1q2qB]T為狀態(tài)變量，機械臂各關(guān)節(jié)相對轉(zhuǎn)動的角速度q·(i=1，2)作為輸入變量，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

圖1 單臂二關(guān)節(jié)OSV機械臂系統(tǒng)參數(shù)定義Fig.1 Parameter definition of single arm and double joints OSV manipulator system

根據(jù)最小能量控制原理，選擇機械臂關(guān)節(jié)相對轉(zhuǎn)動的耗散能作為最優(yōu)控制指標(biāo)，用泛函表示為

式中:＜u(t)，u(t)＞表示內(nèi)積，u(t)為 Hilbert空間L2的可測向量函數(shù).在實際計算時，常用有限維的子空間代替，由函數(shù)空間中的投影定理，取Fourier基向量ei張成 N維線性子空間，則u(t)在 N維Fourier子空間上的投影就是Fourier級數(shù)中前N項部分和[7-9]，即

式中:ai為函數(shù)u(t)在{ei}(i=1，…N)基上的投影，a為投影向量;Φ是Fourier正交基向量組成的n×N維矩陣.將a看作新的控制變量，根據(jù)Fourier正交基的積分特性，同時考慮系統(tǒng)終端約束條件，控制目標(biāo)可表示為以下函數(shù):

式中:λ為懲罰系數(shù)，取值足夠大;x(T)是式(1)在給定控制輸入u(t)時，系統(tǒng)在t=T時的狀態(tài).顯然，x(T)也是a的函數(shù)，記作x(T)=f(a)，當(dāng)給定N和λ時，式(4)可寫為

因此，尋找控制輸入u(t)使式(4)為最小的問題即為尋找a使式(5)為最小值的問題[10-13].按照上述思路得到以下幾類最優(yōu)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù).

1)在機械臂關(guān)節(jié)角運動初末速度無約束的條件下，目標(biāo)函數(shù)為式(5).

2)一般情況下，機械臂位形變化時，要求其關(guān)節(jié)角速度在初始時刻和終端時刻為零.在該條件約束下，將目標(biāo)函數(shù)增加輸入條件約束及其懲罰系數(shù)γ，即

3)OSV機械臂系統(tǒng)，在展開過程中對OSV本體(載體或基座)的姿態(tài)造成一定的影響.這種影響可以通過機械臂從收縮狀態(tài)到完全展開過程中，基座姿態(tài)的變化情況來觀察和分析.在此過程中，假設(shè)系統(tǒng)滿足能量最優(yōu)以及初末時刻關(guān)節(jié)角速度為零的條件(即式(7)的條件)，且關(guān)節(jié)角初末狀態(tài)分別為q10=q20=180°，q1T=q2T=0°，其目標(biāo)函數(shù)如下:

4)為了尋找控制輸入u(t)使機械臂展開對基座的影響最小，需要得到衡量基座姿態(tài)變化的指標(biāo)量.從姿態(tài)變化過程方面考慮，可以用單位時間姿態(tài)變化量絕對值的總和來表示，得到以下指標(biāo)量:

所以總的目標(biāo)函數(shù)為

5)為了使機械臂展開過程始末，載體姿態(tài)初始和末端狀態(tài)一致，即qB0=qBT(本例為0°)，在系統(tǒng)能耗最小且初末關(guān)節(jié)角速度為零條件下，提出以下目標(biāo)函數(shù):

2 求解運動規(guī)劃問題的遺傳算法

遺傳算法是一種新型的優(yōu)化算法，由于其在進化搜索中能基于多點進行整體搜索，有較好的全局搜索性能.利用遺傳算法求解優(yōu)化問題時，當(dāng)變量維數(shù)過高且取值范圍較大時，可使用精度高、便于大空間搜索的實數(shù)編碼.在設(shè)計算法和仿真計算過程中，選擇合適的冪函數(shù)對適應(yīng)度進行收放，能夠有效的解決進化過程不收斂，或出現(xiàn)未成熟收斂現(xiàn)象的問題[14].結(jié)合空間機械臂的運動規(guī)劃最優(yōu)控制問題，相應(yīng)的遺傳算法步驟如下:

1)染色體編碼.利用遺傳算法的并行搜索，對式(5)中函數(shù)u(t)在Fourier基上的投影a采用實數(shù)編碼，染色體編碼為ai(i=1，2，…，N)組成的N維向量.

式中:ai為實數(shù).

2)初始群體的生成.隨機產(chǎn)生M個個體，將M個個體的每一分量初始化為0均值，方差為σ的高斯分布隨機數(shù).

3)適應(yīng)度函數(shù)的建立.染色體評價的適應(yīng)度函數(shù)設(shè)為

4)尺度變換函數(shù)，收放適應(yīng)度:

式中:b、c為收放參數(shù).

5)遺傳操作設(shè)計.

①選擇:根據(jù)式(12)和式(13)計算每個染色體的適應(yīng)度值 g'(ai)(i=1，2，…，M)，那么第 i個體被選擇的概率為

個體的選擇采用輪盤賭選擇方法.

②交叉:根據(jù)交叉概率Pc選擇參加交叉的個體(偶數(shù)個).采用隨機線性組合方式進行交叉計算.設(shè)被選中交叉的個體為:v，w，則其后代 v'，w'為

式中:r為(0，1)均勻分布的隨機數(shù).

③變異:根據(jù)變異概率Pm，將被選擇變異的基因變?yōu)槿我煌岛头讲畹母咚狗植茧S機數(shù)δj:

6)重復(fù)3)至5)步，直到求出滿足條件的最優(yōu)解，或到達終止代數(shù)G.

3 仿真算例和分析

以上述空間機械臂系統(tǒng)參數(shù)作為算例，如圖1所示.設(shè)系統(tǒng)物理和幾何參數(shù)為[5]:m0=1 800 kg，m1=m2=50 kg;I0=1 260 kg·m2，I1=I2=71 kg·m2;b0=3.5 m，a1=b1=a2=b2=2.0 m.

載體與機械臂完成規(guī)定運動時間設(shè)為T=20 s.遺傳算法的控制參數(shù)分別為:群體規(guī)模M=40，染色體長度N=10，交叉概率 Pc=0.8，變異概率 Pm=0.15，進化代數(shù)G=2 000.在仿真試驗中，選取10個Fourier正交基矢量

3.1 從初始位置到終端位置的運動規(guī)劃

假設(shè)機械臂系統(tǒng)從初始位形 qB0=0°，q10=-21.8°，q20=117.4°，運 動 到 終 端 位 形 qBT=-31.394 4°，q1T=66.310 2°，q2T=94.959 6°[5]，選擇投影a，使運動過程機械臂消耗最小.

1)初末時刻關(guān)節(jié)角速度無約束情況.

目標(biāo)函數(shù)為式(5)，取λ=1 000.在按照上述步驟執(zhí)行遺傳算法的同時，需要根據(jù)多次試驗的數(shù)據(jù)，進一步確定合適的適應(yīng)度收放參數(shù)b，c，以及高斯分布的方差σ.為了獲得更加準(zhǔn)確的最優(yōu)目標(biāo)值，可選擇多次試驗的最優(yōu)結(jié)果，作為初始種群多次計算，得到表1的最優(yōu)值.其仿真過程軌跡和各參數(shù)的變化情況如圖2、3.

表1 圖2中遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 1 Result of genetic algorithm in Fig.2

圖2 無初末端速度約束的位形變化Fig.2 The motion without the original or the terminal velocity restriction

圖3 圖2中關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線Fig.3 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position in Fig.2

2)關(guān)節(jié)角速度初末時刻為零的情況.

其目標(biāo)函數(shù)為式(6)，取λ=γ=1 000，下同.表2中是遺傳算法計算結(jié)果，圖4中是最優(yōu)輸入下的變化軌跡.從圖5中相關(guān)參數(shù)變化曲線能夠更清楚地看到機械臂關(guān)節(jié)角速度初末時刻為0.

圖4 初末速為零約束條件下的位形變化Fig.4 The motion under the restriction of zero original and terminal velocity

圖5 圖4中關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線Fig.5 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position in Fig.4

3.2 機械臂展開過程的擾動分析

1)能耗最小，初末時刻關(guān)節(jié)角速度為零的情況.目標(biāo)函數(shù)為式(7).由于機械臂系統(tǒng)物理參數(shù)參考真實航天器，因而機械臂系統(tǒng)的運動時間盡量符合實際，設(shè)T=200 s.假設(shè)機械臂在Z軸垂直平面內(nèi)，不受載體形狀約束，可以完全收縮.機械臂系統(tǒng)以最小的能耗從完全收縮狀態(tài)q10=q20=180°，到完全展開狀態(tài)q1T=q2T=0°，分析該過程對基座的影響情況.此時，機械臂伸展到達慣性系中的最大作用距離|rt|max=11.105 3 m.設(shè)基座初始狀態(tài)為qB0=0°.計算數(shù)據(jù)如表3.

圖6 機械臂從收縮到展開的初末狀態(tài)對比Fig.6 Comparison between contraction status and extension status of the manipulator

圖6和圖7中的軌跡和參數(shù)變化曲線可以看出，在初末速(關(guān)節(jié)角速度)為零，能耗最小的條件下，機械臂展開過程中，基座姿態(tài)由0°變?yōu)?2.33°.且桿1和桿2幾乎同時同步展開，關(guān)節(jié)展開速度變化幾乎一致.算例結(jié)果表明，機械臂在展開過程中對基座姿態(tài)造成了較大影響.

圖7 展開過程中關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線Fig.7 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude＆position during the motion

2)能耗最小，初末時刻關(guān)節(jié)角速度為零，同時對基座擾動最小情況.計算數(shù)據(jù)如表4.目標(biāo)函數(shù)為式(9).圖8和圖9中可以得出，增加擾動最小的目標(biāo)要求后，機械臂展開過程中，關(guān)節(jié)角q1的變化出現(xiàn)了非單調(diào)的特征.為了減小對基座的影響，關(guān)節(jié)角q1在110 s附近開始“過零”和“回調(diào)”.機械臂基座姿態(tài)由0°變?yōu)?6.26°，比上例減小近半.此外，為減小對基座的擾動，展開過程中，桿1(關(guān)節(jié)1)首先展開;桿2展開動作稍滯后，且q2單調(diào)變化.該算例表明，合理設(shè)計規(guī)劃目標(biāo)，可以減小機械臂對基座的姿態(tài)擾動.

圖8 擾動最小情況下，機械臂的初末狀態(tài)對比Fig.8 Comparison between original and terminal status of the manipulator with the minimum disturbance to the base

圖9 圖8中關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角、基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線Fig.9 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position during the motion in Fig.8

3)能耗最小，初末時刻關(guān)節(jié)角速度為零，擾動最小，且基座末端姿態(tài)與初始姿態(tài)一致.計算數(shù)據(jù)如表5.目標(biāo)函數(shù)為式(10).

圖10 基座擾動最小且初末時刻姿態(tài)一致條件下的機械臂展開過程Fig.10 Motion of the manipulator from contraction to extension with the same original and terminal base attitude and minimum disturbance

圖10、11中可以看出，機械臂的展開過程中關(guān)節(jié)角q1和q2的變化都呈現(xiàn)非單調(diào)性.為了使基座初末狀態(tài)保持一致，機械臂需要通過自身的伸展和收縮運動相協(xié)調(diào)，對基座進行姿態(tài)回調(diào).該算例結(jié)果表明，合理設(shè)計目標(biāo)函數(shù)，可以通過機械臂運動調(diào)整基座姿態(tài).

圖11 圖10中關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角、基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線Fig.11 Curve of the joint angle ＆ angle speed and the base attitude ＆ position during the motion in Fig.10

表2 圖4中遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 2 Result of genetic algorithm in Fig.4

表3 圖6中遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 3 Result of genetic algorithm in Fig.6

表4 圖8中遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 4 Result of genetic algorithm in Fig.8

表5 圖10中遺傳算法計算結(jié)果統(tǒng)計Table 5 Result of genetic algorithm in Fig.10

上述分析表明，帶機械臂的OSV系統(tǒng)中，機械臂的運動給基座造成較大影響.一方面，這種影響可以代替GNC系統(tǒng)對基座姿態(tài)進行調(diào)整，從而節(jié)省調(diào)姿發(fā)動機的燃料消耗.另一方面，通過研究影響的變化規(guī)律，可以設(shè)計相應(yīng)的姿態(tài)補償系統(tǒng)，消除機械臂作業(yè)過程中對基座的不必要擾動.

4 結(jié)束語

本文提出了一種可行的OSV機械臂系統(tǒng)運動規(guī)劃方法.首先確定規(guī)劃目標(biāo)，將機械臂系統(tǒng)運動守恒模型轉(zhuǎn)化為非線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程，將運動規(guī)劃轉(zhuǎn)化為尋求滿足目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問題.為了簡化目標(biāo)函數(shù)，將輸入控制函數(shù)表示為Fourier正交基與其投影的積的形式，而目標(biāo)函數(shù)中對于初末時刻約束條件的處理采用增加懲罰系數(shù)的方法.狀態(tài)方程和目標(biāo)函數(shù)明確以后，可以用多種最優(yōu)化方法解決問題，而遺傳算法具有通用性強，最優(yōu)解全局性好的特點，能夠求解多種復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù).

OSV機械臂系統(tǒng)相當(dāng)復(fù)雜，本文僅以較簡單的二關(guān)節(jié)單臂系統(tǒng)為例進行分析，得出了解決機械臂系統(tǒng)運動規(guī)劃問題的一般思路.文中內(nèi)容還有不完善的地方需要進一步深入研究.如:系統(tǒng)模型為二維簡化模型，僅考慮了關(guān)節(jié)軸平行的情況，且未進行誤差分析;OSV機械臂運動控制本體姿態(tài)的方法需要進一步細化;遺傳算法效率較低，可進一步嘗試多種優(yōu)化算法，以提高計算效率，實現(xiàn)在線規(guī)劃等.

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