卿光輝，宋佳琳

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津300300）

磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元的應(yīng)力模式

卿光輝，宋佳琳

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津300300）

首先推導(dǎo)了磁電彈性材料的雜交應(yīng)力有限元列式，然后在假設(shè)單元邊界位移場的基礎(chǔ)上，根據(jù)等函數(shù)法進一步推導(dǎo)了磁電彈性材料的3D-8節(jié)點和3D-20節(jié)點雜交應(yīng)力有限元的廣義假設(shè)應(yīng)力矩陣。為磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元模型的構(gòu)建提供了理論基礎(chǔ)。最后以3D-8節(jié)點雜交應(yīng)力有限單元為例，對磁電彈性材料層合板進行了有限元分析，數(shù)據(jù)顯示所得結(jié)果具有較高的計算精度。

磁電彈性材料；雜交應(yīng)力有限元；等函數(shù)法；廣義應(yīng)力矩陣

雜交元應(yīng)力有限元較位移有限元具有明顯的優(yōu)越性，如可以克服平面單元的剪切自鎖現(xiàn)象和三維單元的不可壓縮現(xiàn)象。另外雜交應(yīng)力有限元可以根據(jù)所研究問題的實際情況假設(shè)不同的應(yīng)力場，以便構(gòu)建滿足具體要求的有限元模型?；谶@些優(yōu)點，目前雜交應(yīng)力有限元方法已得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展[1-6]，且其應(yīng)用逐漸由普通材料的有限元分析擴展到特殊材料和智能材料的有限元分析中。

在構(gòu)造雜交應(yīng)力有限元模型的過程中，必不可少且最重要的一項工作，就是如何構(gòu)造一個合適的應(yīng)力場。應(yīng)力場的構(gòu)建一直以來就是一個難題，因此，激起了諸多科學(xué)家的研究熱情。目前，已有多種構(gòu)造應(yīng)力場的方法，如群理論[7]、應(yīng)力模式優(yōu)化方法[8]、本征函數(shù)法[9]、等函數(shù)法[10]等，但都是針對于普通彈性材料。本文主要根據(jù)等函數(shù)方法推導(dǎo)了磁電彈性材料的廣義應(yīng)力矩陣，為磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元模型的構(gòu)建提供了理論基礎(chǔ)。

1 磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元

基于廣義彈性理論，從一般材料的推導(dǎo)方法出發(fā)，磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限單元的廣義應(yīng)力場為

其中：P，β分別為廣義假設(shè)應(yīng)力矩陣和應(yīng)力參數(shù)向量，Pi，βi（i=1，2，…，M）分別為相應(yīng)的應(yīng)力模式和應(yīng)力參數(shù)；此外，σ={σ D B}T為廣義應(yīng)力場，σ為彈性應(yīng)力場，D為電位移，B為磁感應(yīng)強度。

同理，磁電彈性材料單元的假設(shè)廣義位移場可為

其中：N =[N1I5N2I5…NnI5]為相應(yīng)的插值函數(shù)，n為節(jié)點數(shù)，I5為5階單位矩陣，Ni為廣義單元位移插值函數(shù)；u ={u Φ Ψ}，u為位移場，Φ為電勢，Ψ為磁勢；q ={qdqeqm}T，qd為節(jié)點位移向量，qe節(jié)點電勢向量，qm節(jié)點磁勢向量。

根據(jù)磁電彈性材料的修正Reissner-Hellinger廣義變分原理，從而得到單元剛度矩陣和單元應(yīng)力場所對應(yīng)的應(yīng)力參數(shù)，分別為

2 磁電彈性材料假設(shè)應(yīng)力場

2.1 三維八節(jié)點等參單元

3D-8節(jié)點等參單元，如圖1所示。廣義單元位移插值函數(shù)

圖13 D-8節(jié)點等參單元Fig.1Isoparametric element of 3D 8-node

磁電彈性材料雜交有限元的廣義位移場可為

其中：Λ={I5ξI5ηI5ζI5ξηI5ξζI5ηζI5ξηζI5}

其中：ai，bi，ci，κi，χi（i=1，2，…，8）分別為與節(jié)點位移、節(jié)點電勢和節(jié)點磁勢有關(guān)的參數(shù)。利用幾何方程可得應(yīng)變多項式為

其中為磁電彈性材料的廣義剛度矩陣；γ={γ E H}T為廣義應(yīng)變向量（其中γ為彈性應(yīng)變向量；E={EξEηEζ}T為電場強度向量；H={HξHηHζ}T為磁場強度向量）。

對于正交各向異性磁電彈性材料

式（9）為運用等函數(shù)法推導(dǎo)的基于磁電彈性材料的雜交應(yīng)力有限元廣義假設(shè)應(yīng)力矩陣，若將磁電參數(shù)及其耦合參數(shù)設(shè)為0，便可得到基于普通彈性材料的雜交應(yīng)力有限元假設(shè)應(yīng)力矩陣，其結(jié)果與文獻[11]結(jié)果相同。

2.2 三維二十節(jié)點單元

3D-20節(jié)點等參單元，如圖2所示。廣義位移插值函數(shù)分別有：

對于8個角節(jié)點

圖23 D-20節(jié)點等參單元Fig.2Isoparametric element of 3D 20-node

根據(jù)2.1節(jié)所示步驟式（4）～式（6），可以推導(dǎo)出3D-20節(jié)點雜交單元的應(yīng)力參數(shù)和廣義應(yīng)力矩陣分別為：

廣義應(yīng)力參數(shù)向量為

其中：zm×n為m×n階0矩陣，In為n階單位矩陣。

3 算例

為了驗證所得結(jié)果的有效性，現(xiàn)僅以3D-8節(jié)點雜交應(yīng)力有限單元為例（網(wǎng)格劃分8×8），對磁電彈性材料層合板進行有限元分析。在算例中的符號表示為：B為由壓電材料（BaTiO3）構(gòu)成的材料層；F為由磁致伸縮材料（CoFe2O3）構(gòu)成的材料層。層合板的尺寸為Lx=Ly=1 m，整體厚度為h=0.3 m，每層厚度相等為hi=0.1 m。本文考慮了兩種鋪層順序分別為B/F/B和F/B/F。在算例分析中，層合板的四邊簡支，上表面所施加載荷為：p =σ0sin[px]sin[qy]，其中σ0=1N/m2，p=π/ Lx，q=π/Ly，下表面假設(shè)為無外力邊界。表1、表2所示材料參數(shù)由文獻[12]給出。

通過計算得到了點（x，y）=（0.75Lx，0.25Ly）處的物理量Φ、Ψ、σz沿厚度方向的變化情況，并且由圖1～ 圖3分別給出了本文計算結(jié)果與文獻[12]的數(shù)據(jù)對比情況。

表1 壓電材料（BaTiO3）的材料參數(shù)Tab.1Material coefficients of piezoelectric BatiO3（Cijin 109N/m2，eijin C/m2，εijin 10-9N/m2，and μijin 10-6N/m2）

表2 磁致伸縮材料（CoFe2O3）的材料參數(shù)Tab.2Material coefficients of magnetostrictive CoFe2O3（Cijin 109N/m2，qijin C/m2，εijin 10-9N/m2，and μijin 10-6N/m2）

圖3 電勢（V）Fig.3Electric potential（V）

圖4 磁勢（C/s）Fig.4Magnetic potential（C/s）

圖5 Z方向正應(yīng)力（C/s）Fig.5Z-normal stress（N/m2）

4 結(jié)語

本文首先推導(dǎo)了磁電彈性材料雜交應(yīng)力有限元列式。然后，在假設(shè)單元邊界位移的基礎(chǔ)上，根據(jù)等函數(shù)法進一步推導(dǎo)了磁電彈性材料的3D-8節(jié)點和3D-20節(jié)點雜交應(yīng)力有限單元的廣義應(yīng)力矩陣。本文所得應(yīng)力矩陣可以作為相應(yīng)單元的初始應(yīng)力矩陣。在應(yīng)用中可以根據(jù)實際情況從中選擇合適的應(yīng)力模式構(gòu)造所需的應(yīng)力矩陣，從而為相應(yīng)雜交應(yīng)力有限單元的構(gòu)造提供依據(jù)。最后以3D-8節(jié)點雜交應(yīng)力有限單元為例，對磁電彈性材料層合板進行了有限元分析，數(shù)據(jù)顯示所得結(jié)果具有較高的計算精度。

[1]PIAN T H H，MAU S T.Some Recent Studies in Assumed Stress Hybrid Models[C]//Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and Design；Proceedings of the Second U.S.-Japan Seminar，Berkeley，Calif；United States，1972：87-106.

[2]FENG W，HOA S V.Partial hybrid finite elements for composite laminates[J].Finite Elements in Analysis and Design，1998，30（4）：365-382.

[3]JIANHUA，HOA S V.A three-dimensional multilayer composite finite element for stress analysis of composite laminates[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1993，36（22）：3903-3914.

[4]田宗漱，卞學(xué)鐄.多變量變分原理與多變量有限元方法[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[5]張燦輝，馮偉，黃黔.非線性復(fù)合材料雜交應(yīng)力有限元的有效迭代方法[J].固體力學(xué)學(xué)報，2005，26（4）：434-438.

[6]SZE K Y，PAN Y S.Hybrid finite element models for piezoelectric materials[J].Journal of Sound and Vibration，1999，266（3）：519-547.

[7]RUBINSTEIN R，PUNCH E F，ATIURI S N.An analysis of，and remedies for，kinematic models in hybrid stress finite element：selection of stable，invariant stress fields[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1983，38（1）：63-92.

[8]吳長春，卞學(xué)鐄.非協(xié)調(diào)數(shù)值分析與雜交元方法[M].北京：科學(xué)出版社，1997.

[9]HUANG QIAN.Modal Analysis of Deformable Bodies with Finite Degrees of Deformation Freedom-An Approach to Determination of Natural Stress Modes in Hybrid Finite Elements[C]//Chien and Fu.Advances in Applied Mathematics＆Mechanics in China，1991（3）283-303.

[10]HAN JIANHUA.Three Dimensional Multilayer Composite Finite Element Method for Stress Analysis of Composite Laminates[D].Canada：Concordia University Montreal，Quebec，1994.

[11]韓建新，馮偉.雜交應(yīng)力有限單元中應(yīng)力模式分類的一種性方[J].上海大學(xué)學(xué)報（英文版），2000，4（S1）：29-33.

[12]PAN ERNIAN.Exact solutions for simply supported and multilayered magneto-electro-elastic plates[J].Journal of Applied Mechanics，2001，68（4）：608-618.

（責(zé)任編輯：黨亞茹）

Stress modes in hybrid stress finite elements of magneto-electro-elastic materials

QING Guang-hui，SONG Jia-lin
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

A hybrid stress finite element formulation for magnetoelectro-elastic materials is derived and then on the basis of the boundary displacement field assumed previously，the generalized assumed stress matrixes of 3D-8 nodes hybrid stress finite element and 3D-20 nodes hybrid stress finite element are derived by employing the iso-function method.Thus it provides the theoretical basis for establishing the hybrid finite stress element model of magneto-electro-elastic materials.Finally，taking the 3D-8 nodes hybrid stress finite element as example，a finite element analysis is performed to a magneto-electro-elastic material laminates and a perfect result is obtained.

magneto-electro-elastic material；hybrid stress finite element；iso-function method；generalized stress matrix

O242.21

A

1674-5590（2013）03-0058-04

2012-06-08；

2012-10-10

卿光輝（1968—），男，湖南新化人，教授，博士，研究方向為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué).