李占玲,徐宗學(xué),周 訓(xùn)

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)水資源與環(huán)境學(xué)院,北京 100083;2.北京師范大學(xué)水科學(xué)研究院,北京 100875)

WASMOD水文模擬殘差統(tǒng)計(jì)特征檢驗(yàn)

李占玲1,徐宗學(xué)2,周 訓(xùn)1

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)水資源與環(huán)境學(xué)院,北京 100083;2.北京師范大學(xué)水科學(xué)研究院,北京 100875)

針對(duì)采用普通最小二乘法對(duì)水文模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),模型殘差需滿(mǎn)足一定的內(nèi)在統(tǒng)計(jì)假定的要求,分別選用Levene檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和殘差自相關(guān)系數(shù)圖等方法對(duì)水量平衡模型WASMOD的模型殘差的同方差性、正態(tài)性以及相互獨(dú)立性等統(tǒng)計(jì)假定進(jìn)行了檢驗(yàn)。結(jié)果表明:當(dāng)對(duì)原始數(shù)據(jù)未經(jīng)變換而直接采用普通最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),得到的模型殘差滿(mǎn)足相互獨(dú)立假定,但并不滿(mǎn)足同方差性和正態(tài)性假定;對(duì)原始流量數(shù)據(jù)進(jìn)行開(kāi)根號(hào)變換,可以很好地解決模型殘差的異方差性和非正態(tài)性問(wèn)題。在模型殘差統(tǒng)計(jì)假定得以滿(mǎn)足的條件下,在月時(shí)間尺度上WASMOD模型可以為鶯落峽流域的流量模擬與預(yù)報(bào)提供良好的工具。

WASMOD;參數(shù)估計(jì);普通最小二乘法;模型殘差;水量平衡模型;鶯落峽

由于對(duì)時(shí)間和空間尺度的依賴(lài),無(wú)論是何種類(lèi)型的水文模型都有部分參數(shù)無(wú)法通過(guò)試驗(yàn)直接確定,而必須借助參數(shù)估計(jì)方法來(lái)確定[1-2]。在進(jìn)行水文模型參數(shù)估計(jì)時(shí),其中一種假定是假設(shè)最優(yōu)參數(shù)存在且唯一[2],此時(shí)模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題,通常采用優(yōu)化方法求解,而優(yōu)化方法大多都包含一些統(tǒng)計(jì)假定在內(nèi)[3-4]。普通最小二乘法(ordinary least square,OLS)是常用的一種水文模型參數(shù)估計(jì)方法,采用該方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),需假定模型殘差序列相互獨(dú)立且服從均值為零、方差穩(wěn)定的正態(tài)分布[4]。但很少有研究對(duì)這些內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)假定進(jìn)行檢驗(yàn),且已有研究表明這些假定多數(shù)情況下都得不到滿(mǎn)足,這將意味著由此得到的最優(yōu)參數(shù)并不一定最優(yōu)[4-6];另外,一個(gè)模型對(duì)流域的降雨徑流關(guān)系描述的成功與否通常由模型殘差來(lái)表征,這進(jìn)一步說(shuō)明了在建模及模型應(yīng)用過(guò)程中對(duì)殘差的有關(guān)統(tǒng)計(jì)假定進(jìn)行檢驗(yàn)的必要性。本文以水量平衡模型WASMOD[7](thewater andsnowbalance modeling system,以下簡(jiǎn)稱(chēng)WASMOD模型)為例,選用OLS對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),在此基礎(chǔ)上探討模型殘差的一些統(tǒng)計(jì)特性。

1 WASMOD模型

WASMOD模型是由Xu等[7]開(kāi)發(fā)的集總式概念性水量平衡模型,目前該模型已經(jīng)在不同氣候和土壤條件下的20多個(gè)國(guó)家的200多個(gè)流域進(jìn)行了應(yīng)用和驗(yàn)證[7],在我國(guó)黑河流域[8-9]以及南部東江流域[6]也得到了很好的應(yīng)用。該模型既可以用于流量序列的外延和流域水量平衡計(jì)算,也可以用來(lái)模擬和預(yù)測(cè)氣候變化條件下的水文響應(yīng)及周、月尺度流量預(yù)測(cè)等。

WASMOD模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。根據(jù)氣溫的不同,降水分為降雨和降雪。降雨作為有效降水進(jìn)入到土壤含水層之前,有一部分被蒸發(fā)掉。降雪被加入到積雪層,其中有一部分降雪融化,進(jìn)入土壤含水層。土壤含水層中的水分一部分蒸發(fā),一部分形成地表徑流,還有一部分形成基流。以月時(shí)間尺度為例,WASMOD模型輸入數(shù)據(jù)包括研究區(qū)的月降水、月潛在蒸散發(fā)和月平均氣溫;輸出包括徑流和其他水量平衡要素,如實(shí)際蒸散發(fā)、地表徑流、基流等。模型主要包括積雪、融雪、實(shí)際蒸散發(fā)、基流、地表徑流、總徑流和流域水量平衡等計(jì)算模塊。有關(guān)該模型原理、結(jié)構(gòu)及應(yīng)用詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

圖1 WASMOD模型結(jié)構(gòu)

2 研究區(qū)概況及數(shù)據(jù)資料

以黑河上游鶯落峽流域?yàn)檠芯繀^(qū)。該流域面積1.0萬(wàn)km2,河道長(zhǎng)303 km,河道兩岸山高谷深,河床陡峻,氣候陰濕寒冷,植被較好,多年平均氣溫不足2℃,年降水量為350 mm,是黑河流域的產(chǎn)流區(qū)。流域內(nèi)及周邊有6個(gè)雨量站(野牛溝、扎木什克、祁連、托勒、張掖、鶯落峽)和4個(gè)氣象站(野牛溝、祁連、托勒、張掖),站點(diǎn)位置如圖2所示。選擇流域控制站鶯落峽站的流量數(shù)據(jù)率定和驗(yàn)證WASMOD模型,數(shù)據(jù)選用時(shí)段為1987年1月—2000年12月,其中,1987—1989年的數(shù)據(jù)作為預(yù)熱期,1990—1996年的作為率定期,1997—2000年的作為驗(yàn)證期。數(shù)據(jù)取自中國(guó)西部環(huán)境與生態(tài)科學(xué)數(shù)據(jù)中心(http://westdc.westgis.ac.cn/)和數(shù)字黑河(http:// heihe.westgis.ac.cn/)。

圖2 黑河流域及其上游鶯落峽位置示意圖

為準(zhǔn)備WASMOD模型的輸入數(shù)據(jù),根據(jù)泰森多邊形法,由6個(gè)雨量站月降水?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算得到流域面月降水?dāng)?shù)據(jù);由4個(gè)氣象站的月氣溫?cái)?shù)據(jù)計(jì)算得到整個(gè)流域氣溫?cái)?shù)據(jù);采用Penman-Monteith方法計(jì)算流域的潛在蒸散發(fā)[10-11]。將以上計(jì)算得到的流域面降水量、氣溫和潛在蒸散發(fā)數(shù)據(jù)作為WASMOD模型的輸入數(shù)據(jù)。

3 模型參數(shù)估計(jì)及殘差統(tǒng)計(jì)特征分析方法

采用OLS進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),模型殘差et需滿(mǎn)足以下條件[4,12]:①無(wú)偏差;②方差穩(wěn)定;③取值在時(shí)間上相互無(wú)關(guān);④服從正態(tài)分布。當(dāng)模型殘差存在異方差時(shí),參數(shù)的OLS估計(jì)量不再是具有最小方差的估計(jì)量;參數(shù)估計(jì)量的方差是有偏的,參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)也并非最有效,這會(huì)降低模型估計(jì)和預(yù)測(cè)的精度。當(dāng)殘差項(xiàng)存在自相關(guān)時(shí),會(huì)夸大估計(jì)參數(shù)的顯著性。因此,有必要對(duì)模型殘差的同方差性、相互獨(dú)立性和正態(tài)性等統(tǒng)計(jì)假定進(jìn)行檢驗(yàn)。

3.1 同方差性檢驗(yàn)

采用Levene檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)殘差序列的同方差性[13-14]。計(jì)算Levene檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F:

式中:P為樣本組數(shù);mj為第j(j=1,2,…,P)組樣本數(shù);xij為第j組第i個(gè)原始數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新的變量值。Levene檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F服從自由度為P-1 和N-P-1(N為各組樣本數(shù)之和)的F分布。當(dāng)F≥F(α,P-1,N-P+1)時(shí),則在α=0.05或α=0.01顯著性水平下拒絕H0(各組樣本之間具有同方差性),接受H1,可認(rèn)為各樣本方差不全相等;當(dāng)F＜F(α,P-1,N-P+1)時(shí),則不拒絕H0,可以認(rèn)為各樣本方差齊性。

3.2 正態(tài)分布檢驗(yàn)

Kolmogorov-Smirnov(K-S)檢驗(yàn)方法是可以用來(lái)檢驗(yàn)單一樣本是否來(lái)自某一特定分布的非參數(shù)檢驗(yàn)方法[15-16]。設(shè)理論累積頻率分布為F0(x)(這里的理論分布是正態(tài)分布),一組隨機(jī)樣本的經(jīng)驗(yàn)累積頻率分布為FN(x),FN(x)=k/N,其中k為樣本出現(xiàn)的累積次數(shù)。把樣本觀測(cè)值從小到大排列,計(jì)算理論累積分布函數(shù)F0(x)和經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)FN(x)。設(shè)D 為F0(x)和差距的最大值:

當(dāng)實(shí)際觀測(cè)D＞D(N,α)(D(N,α)為顯著性水平為α、樣本數(shù)為N時(shí),D的拒絕臨界值),則拒絕H0(樣本來(lái)自的總體分布服從某特定分布);反之則接受H0假設(shè)。

3.3 相互獨(dú)立性檢驗(yàn)

殘差的相互獨(dú)立性可以通過(guò)殘差自相關(guān)系數(shù)圖來(lái)判斷[4,8]。殘差序列et的k階自相關(guān)系數(shù)ρk=E[(et-ˉe)(et+k-ˉe)]/σ2,其中,ˉe和σ2為殘差項(xiàng)的均值和方差。ρk的估計(jì)量^ρk為

當(dāng)N很大而k很小時(shí),N/(N-k)→1,則k階自相關(guān)系數(shù)ρk的估計(jì)量為

在α=0.05顯著性水平下,一個(gè)相互獨(dú)立序列的自相關(guān)系數(shù)的置信區(qū)間為

4 結(jié)果分析與討論

4.1 殘差序列et的統(tǒng)計(jì)假定檢驗(yàn)

定義模型殘差et=Yobs,t-^Yt,其中Yobs,t為流量觀測(cè)值,為流量模擬值,t=1,2,…,N。模型率定時(shí)目標(biāo)函數(shù)為殘差平方和最小。基于此目標(biāo)函數(shù),求出最優(yōu)參數(shù)及對(duì)應(yīng)的殘差序列,并對(duì)此殘差序列的同方差性、相互獨(dú)立性和正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)。

首先將殘差序列et分成3組:第1組,Yobs,t＜0.9對(duì)應(yīng)的殘差序列,序列長(zhǎng)度m1;第2組,0.9≤Yobs,t≤1.1對(duì)應(yīng)的殘差序列,序列長(zhǎng)度m2;第3 組,Yobs,t＞1.1對(duì)應(yīng)的殘差序列,序列長(zhǎng)度m3。通過(guò)計(jì)算可得令,其中eij為原始?xì)埐顢?shù)據(jù),為原始?xì)埐顢?shù)據(jù)中第j組(j=1,2,3)樣本的算術(shù)平均。由原始?xì)埐钚蛄猩尚碌男蛄衶xij}并計(jì)算Levenes檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F。計(jì)算得到F=11.18,查F分布表得到其臨界值為F(0.01,2,60)=4.98,F(0.01,2, 120)=4.79。由于F=11.18＞F(0.01,2,82),因此在α=0.01顯著性水平下,拒絕H0,認(rèn)為殘差序列et不具有同方差性。

圖3(a)為殘差序列et的經(jīng)驗(yàn)累積頻率曲線和理論累積頻率曲線以及二者差距的最大值D值,可以看出,兩條累積頻率曲線并不十分接近,計(jì)算得到的D=0.184＞D(84,0.05)=0.148,所以拒絕H0假設(shè),即殘差序列et來(lái)自的總體分布不服從正態(tài)分布。

圖4(a)為殘差序列et的自相關(guān)系數(shù)圖,可以看出,,即在α=0.05顯著性水平下,模型殘差序列et滿(mǎn)足相互獨(dú)立假設(shè)。

上述研究表明,如果定義模型殘差為et=Yobs,t-,模型率定時(shí)目標(biāo)函數(shù)為殘差平方和最小,則得到的模型殘差序列et滿(mǎn)足相互獨(dú)立但不滿(mǎn)足同方差性和正態(tài)性假定。

4.2 殘差序列ut的統(tǒng)計(jì)假定檢驗(yàn)

對(duì)于方差異性的模型殘差,常常需要對(duì)原始流量數(shù)據(jù)進(jìn)行某種變換,如開(kāi)根號(hào)變換、Box-Cox變換、取對(duì)數(shù)變換等[4-5,8]。Xu[4]研究發(fā)現(xiàn),對(duì)模型驗(yàn)證數(shù)據(jù)做開(kāi)根號(hào)變換可以很好地解決WASMOD模型殘差方

圖3 殘差序列et和ut的經(jīng)驗(yàn)累積頻率曲線和理論累積頻率曲線

圖4 殘差序列et和ut自相關(guān)系數(shù)

同樣采用Levene檢驗(yàn)方法對(duì)殘差ut的同方差性進(jìn)行檢驗(yàn),方法及步驟同前。計(jì)算得到對(duì)應(yīng)新的殘差序列ut統(tǒng)計(jì)量F=3.48,由于F＜F(0.01,2,82),因此,可以認(rèn)為在α=0.01顯著性水平下,新的殘差序列ut具有同方差性。

采用K-S方法檢驗(yàn)殘差序列ut來(lái)自的總體分布是否服從正態(tài)分布。圖3(b)為殘差序列ut的經(jīng)驗(yàn)累積頻率曲線和理論累積頻率曲線以及二者差距的最大值D值,可以看出,兩條累積頻率曲線很接近,計(jì)算得到的D=0.082＜D(84,0.05)=0.148,接受H0假設(shè),即殘差序列ut來(lái)自的總體分布服從正態(tài)分布。

通過(guò)殘差自相關(guān)系數(shù)圖來(lái)判斷新構(gòu)建的殘差序列是否相互獨(dú)立。圖4(b)為殘差序列ut的自相關(guān)系數(shù)圖,可以看出,,即在0.05顯著性水平下,模型殘差序列ut也相互獨(dú)立。

以上檢驗(yàn)說(shuō)明,變換后的殘差序列滿(mǎn)足同方差性、正態(tài)性和相互獨(dú)立性等統(tǒng)計(jì)假定,模型參數(shù)的OLS估計(jì)量是具有最小方差的估計(jì)量,此時(shí)該模型對(duì)本研究區(qū)的流量具有良好的模擬和預(yù)測(cè)能力。

4.3 流量模擬結(jié)果

基于變換后的目標(biāo)函數(shù),得到模型參數(shù)的最優(yōu)值以及模型對(duì)流量模擬的最優(yōu)值。圖5為流域鶯落峽站實(shí)測(cè)與模擬月徑流過(guò)程的對(duì)比以及流域月降水量分布,可以看出,鶯落峽站的月模擬流量過(guò)程線與實(shí)測(cè)流量過(guò)程線在趨勢(shì)上吻合較好。在率定和驗(yàn)證過(guò)程中,流量模擬的Nash-Sutcliffe有效性系數(shù)分別達(dá)到0.942和0.928,流量模擬相對(duì)誤差[8]分別為-0.4％和-4.0％,在±5％以?xún)?nèi),說(shuō)明模型模擬的總體水量平衡效果較好。其中,率定期1996年、1990年、1991等年份月流量過(guò)程模擬的最好,ENS分別達(dá)到0.984、0.973和0.958,相對(duì)誤差分別為-2.50％、-4.10％和3.10％;驗(yàn)證期中1998年效果最好,ENS達(dá)到0.943,流量模擬相對(duì)誤差為-3.80％。比較未做變換時(shí)對(duì)應(yīng)的流量序列模擬值,在率定期和驗(yàn)證期ENS分別為0.938和0.920,說(shuō)明對(duì)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換后模型的模擬效果并沒(méi)有降低。總體而言,WASMOD模型在黑河鶯落峽流域的徑流模擬方面具有良好的適用性,在月時(shí)間尺度上可以為研究區(qū)域的徑流模擬與預(yù)報(bào)提供良好的工具。

圖5 WASMOD模型對(duì)鶯落峽站月流量過(guò)程模擬結(jié)果

5 結(jié) 語(yǔ)

OLS是較為常用的水文模型參數(shù)估計(jì)方法之一,然而以往的研究中在采用OLS進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),往往缺乏或忽略了對(duì)模型殘差需滿(mǎn)足的一些內(nèi)在統(tǒng)計(jì)假定進(jìn)行檢驗(yàn)。如果模型殘差的這些統(tǒng)計(jì)假定不能滿(mǎn)足,則由此得到的最優(yōu)參數(shù)并不一定最優(yōu),導(dǎo)致模型的模擬和預(yù)測(cè)出現(xiàn)偏差。本文采用OLS對(duì)水量平衡模型WASMOD進(jìn)行了參數(shù)估計(jì),并選用Levene檢驗(yàn)、Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)和殘差自相關(guān)系數(shù)圖等方法對(duì)模型殘差的同方差性、正態(tài)性以及相互獨(dú)立性等統(tǒng)計(jì)假定進(jìn)行了檢驗(yàn)。結(jié)果表明,當(dāng)對(duì)原始數(shù)據(jù)未經(jīng)任何變換而直接采用OLS進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí),得到的模型殘差滿(mǎn)足相互獨(dú)立假定,但并不滿(mǎn)足同方差性和正態(tài)性假定;當(dāng)把原始數(shù)據(jù)進(jìn)行開(kāi)根號(hào)變換時(shí),得到的殘差序列滿(mǎn)足同方差性和正態(tài)性假定。在此統(tǒng)計(jì)假定得以滿(mǎn)足的條件下,對(duì)黑河上游鶯落峽流域的流量進(jìn)行了模擬,結(jié)果表明,在月時(shí)間尺度上WASMOD模型可以很好地模擬鶯落峽流域的流量過(guò)程。

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Check of statistical features of model residuals of WASMOD

//LI Zhanling1,XU Zongxue2,ZHOU Xun1(1.College of Water Resources and Environment,China University of Geosciences,Beijing100083;China;2.College of Water Sciences,Beijing Normal University,Beijing100875,China)

When the parameters for hydrological models are estimated by using the ordinary least square method,the model residuals should satisfy certain statistical assumptions.The Levene test,Kolmogorov-Smirnov test and autocorrelation coefficient are employed to check the statistical assumptions of model residuals of the conceptual lumped Water And Snow balance MODeling system(WASMOD)such as homoscedasticity,normality and independence features.As the original discharge values without any transformation are calculated by using the ordinary least square method,the yielded model residuals are proved to be independent,which greatly deviate from the features of homoscedasticity and normality. However,a square root transformation for the discharge values is capable of solving the problems of heteroscedasticity and non-normality in model residuals.The proposed WASMOD model may be satisfactory tool for the simulation and predication of discharge in Yingluoxia watershed on monthly temporal scale when the statistical assumptions of the model residuals are satisfied.

WASMOD;parameter estimation;ordinary least square method;model residual;water balance model; Yingluoxia watershed

10.3880/j.issn.10067647.2013.01.003

P333.6

A

10067647(2013)01001305

2012-04-26 編輯:熊水斌)

國(guó)家自然科學(xué)基金(41101038);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)(2011YXL038)

李占玲(1980—),女,內(nèi)蒙古赤峰人,講師,博士,主要從事水文及水資源研究。E-mail:zhanling.li@cugb.edu.cn