張振亮

（河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453000）

Engel展式逼近實(shí)數(shù)的效率

張振亮

（河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453000）

研究了Engel展式中有無(wú)窮多個(gè)收斂因子是最佳逼近的點(diǎn)組成的集合,證明了幾乎沒(méi)有實(shí)數(shù)使得它的Engel展式中有無(wú)窮多個(gè)收斂因子是最佳逼近.另外,還給出了該集合的Hausdorff維數(shù)是大于1/2的.

最佳逼近；Engel展式；Hausdorff維數(shù)

如何用有理數(shù)更好地逼近實(shí)數(shù)一直是數(shù)論中的熱點(diǎn).為此,引入了各種各樣的展式,例如十進(jìn)制展式、連分?jǐn)?shù)展式以及Engel展式.在判斷一種展式在逼近實(shí)數(shù)的效率時(shí),通常是去判斷該展式所確定的收斂因子是否是最佳逼近.在本文中,主要討論Engel展式中收斂因子為最佳逼近的情況.

1 主要結(jié)論

一個(gè)有理數(shù)a/b（b＞0）稱(chēng)為實(shí)數(shù)x的一個(gè)最佳逼近,如果對(duì)任意的c/d≠a/b和0＜d≤b,都有|dx-c|＞|bx-a|成立.本文主要對(duì)Engel展式來(lái)討論其收斂因子是否為最佳逼近.在討論之前,先回顧一下Engel展式（詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]）.

對(duì)任意的x∈（0,1],Engel變換T：（0,1]→（0,1]定義如下

那么用如下方式定義整數(shù)列{dn（x）,n≥1}：dn（x）=d1（Tn-1（x））,n≥1.其中Tn表示T（T0=Id（0,1]）的第n次迭代.根據(jù)Engel變換可知,對(duì)于整數(shù)列{dn}n≥1,存在某個(gè)x∈（0,1]使得在其Engel展式中有dn（x）=dn當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的n≥1,都有dn≥2以及dn+1≥dn.成立.

由算法（1）可得,對(duì)任意的x∈（0,1],都可以展成如下無(wú)窮序列

這個(gè)展式稱(chēng)為x的Engel展式,并把它簡(jiǎn)記為x=[0；d1（x）,d2（x）,…dn（x）,…].

在上述背景下,把序列（2）中的前n項(xiàng)和記為x的Engel展式中第n個(gè)收斂因子Pn（x）/Qn（x）,即

所感興趣的是Engel展式中有無(wú)窮多個(gè)收斂因子是最佳逼近的點(diǎn)組成的集合,一個(gè)自然的問(wèn)題是這個(gè)集合的勒貝格測(cè)度有多大.若把這個(gè)集合記為F,即

F={x∈（0,1]∶Pn（x）/Qn（x）有無(wú)窮多個(gè)是x的最佳逼近}

證明了

定理1 m（F）=0,其中m表示勒貝格測(cè)度.

另外,給出了集合F的Hausdorff維數(shù)的下界,即

定理2 dimH（F）＞1/2,其中dimH表示Hausdorff維數(shù).

在文獻(xiàn)[2-6]中,Engel展式的遍歷性質(zhì)、收斂速度以及例外集的維數(shù)的刻畫(huà)等方面得到了充分的研究.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)中,將規(guī)定一些記號(hào)以及回顧Engel展式中的一些基本性質(zhì).

對(duì)任意的n≥1,記Ln={（d1,d2,…dn）：對(duì)任意的1≤j≤n有dj≥2以及dj+1≥dj},對(duì)任意的（d1,d2,…dn）∈Ln,令

由算法（1）容易得到[1]

引理3|In（d1,d2,…dn）|=（d1d2…dn（dn-1））-1.

在文獻(xiàn)[7]中,Wu J證明了下面的結(jié)論

定理4對(duì)任意的v≥1,令Gv={x∈（0,1]∶d1（x）≥2,dn+1（x）≥dnv（x）,對(duì)n≥1成立},則有dimHGv=1/v.

為了計(jì)算集合F的測(cè)度,需要一些有關(guān)連分?jǐn)?shù)展式的展式（詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8]）.如通常所知,每個(gè)實(shí)數(shù)x都可以展開(kāi)成如下的連分?jǐn)?shù)展式

其中an（x）是正整數(shù)列并稱(chēng)為x的部分商,連分?jǐn)?shù)中的收斂因子定義如下

引理5對(duì)任意的x∈（0,1],pn（x）/qn（x）是x連分?jǐn)?shù)展式中的收斂因子,則有：①對(duì)任意的n≥1,pn-1（x） qn（x）-pn（x）qn-1（x）=（-1）n

引理6在連分?jǐn)?shù)展式中,每個(gè)最佳逼近都是收斂因子[8].

3 定理1的證明

本節(jié)給出定理1的證明.

令{a（jx）}j≥1和{p（jx）/q（jx）}j≥1分別表示實(shí)數(shù)x的連分?jǐn)?shù)展式中的部分商和收斂因子.對(duì)任意的0＜成立有限次},那么就有

由Borel-Cantelli引理,集合A是一個(gè)零測(cè)度集合,由此,只需證明集合F∩B也是一個(gè)零測(cè)集即可.

設(shè)x∈F∩B,對(duì)任意的Qn（x）,都存在某個(gè)整數(shù)i使得qi（x）≤Qn（x）＜qi+1（x）,那么,如果Pn（x）/Qn（x）是最佳逼近,由引理5以及引理6,可知Pn（x）/Qn（x）=pi（x）/qi（x）,則有

由算法（1）可得

由Tn（x）＞1/dn+1（x）,可以得到

由引理2可知

則有

4 定理2的證明

在給出定理2證明之前,先給出一個(gè)引理.

引理7令Eβ={x∈(0,1]∶d1( x)≥2,dn+1(x)≥βd1( x) d2(x)…dn(x), i.o.},則當(dāng)β≥3時(shí),有Eβ?F.證明：設(shè)x∈Eβ,則存在一列整數(shù){nk}k≥1使得

那么可以得到

令

則有

那么就有

另一方面有

有了上述引理,要給出集合F維數(shù)下界,只需給出集合Eβ的下界.為此,對(duì)任意的v≥1,令Ev={x∈（0,1]∶d1（x）≥2,dn+1（x）≥（d1（x）d2（x）…dn（x））v,對(duì)n≥1無(wú)窮多次成立},容易看出G1+v包含在Ev中,則可得dimHE≥1/（v+1）.

對(duì)任意的u＞0,E1+u包含在Eβ中,那么可知

由u＞0的任意性,則得到dimH（F）＞1/2.證畢.

推論8有不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)使得其Engel展式中的收斂因子有無(wú)窮多個(gè)是最佳逼近.

5 小結(jié)

本文利用連分?jǐn)?shù)的理論,給出了Engel展式中的收斂因子有無(wú)窮多個(gè)是最佳逼近的點(diǎn)組成的集合的測(cè)度意義上的刻畫(huà).證明了在測(cè)度意義下,該集合是一個(gè)零測(cè)度的集合,但其中的點(diǎn)卻有不可數(shù)無(wú)窮多個(gè),并且從它的維數(shù)的刻畫(huà)也可以看到該集合在維數(shù)的意義下是一個(gè)不小的集合.

[1]Galambos J.Representations of real numbers by infinite series,in：lecture notes in mathematical[M].Berlin：Springer,1976.

[2]Erdós P,Rényi A,Szüsz P.On Engel’s and Sylvester’s series[J].Ann.Sci.Budapest,Sectio Math,1958,1：7-32.

[3]Galambos J.The ergodic properties of the denominators in the Oppenheim expansion of real numbers into infinite series of rationals [J].Quart.J.Math.Oxford Ser.,1970,21（2）：177-191.

[4]Galambos J.On the speed of convergence of the Oppenheim series[J].Acta.Arith.,1971,19：335-342.

[5]Galambos J.Further ergodic results on the Oppenheim series[J].Quart.J.Math.Oxford Ser.,1974,25（1）：135-141.

[6]Liu Y Y,Wu J.Hausdorff dimensions in Engel expansions[J].Acta.Arith.,2001,99：79-83.

[7]Wu J.How many points have the same Engel and Sylvester expansions?[J].J.Number Theory,2006,103：16-26.

[8]Khintchine A Ya.Continued Fractions[M].Groningen,The Netherlands：P.Noordhoff,1963.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Efficiency of approximating reals for Engel expansion

Zhang Zhenliang
（Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang 453003,China）

The set of points are investigated which convergents in Engel expansion are the optimal approximation for at least infinitely many times.It is shown that almost no points can have convergents as the optimal approximation for infinitely many times in Engel expansion.Consequently,we prove that its Hausdorff dimension is greater than 1/2.

the best approximation；Engel expansion；Hausdorff dimension

O174.12

A

1008-7516（2013）06-0029-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2013.06.008

2013-09-25

河南省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2011A110005）；河南省科技攻關(guān)項(xiàng)目（122102110038）

張振亮（1984-）,男,河南新鄉(xiāng)人,博士,副教授.主要從事分形幾何研究.