劉娟,原保全（.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南焦作454000；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

Sobolev空間等價模定理在偏微分方程中的應(yīng)用

劉娟1,2,原保全1
（1.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南焦作454000；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

給出了Sobolev空間的等價模定理在偏微分方程理論中的應(yīng)用,解決了一個Neumann邊值問題弱解的存在性.

Sobolev空間；弱解；存在性；Neumann邊值問題

在十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初,數(shù)學(xué)這門學(xué)科有著飛速的發(fā)展,特別是Lebesgue積分理論和泛函分析的建立,使得人們能夠在更廣泛的空間使用更先進的理論來研究問題.在研究偏微分方程（PDE）解的存在性和唯一性問題時,人們發(fā)現(xiàn),如果僅限于古典分析的范圍內(nèi)理解微商,并求偏微分方程的古典解,就會在使用近代的數(shù)學(xué)工具上受到限制,為了使泛函分析的方法能夠應(yīng)用于微分方程,就必須擴充微商的概念.Sobolev空間理論就是在上個世紀(jì)三十年代由俄國數(shù)學(xué)家Sobolev為了確定PDE解的存在性和唯一性以及研究函數(shù)空間中許多問題的需要而發(fā)展起來的,這些空間一般是由多個實變量的弱可微函數(shù)所組成的Banach空間[1-3].

本文在商空間的基礎(chǔ)上,給出了Sobolev空間的等價模定理在PDE理論中的一個應(yīng)用,解決了一個Neumann邊值問題弱解的存在性問題.

1 預(yù)備知識

定義1設(shè)K是線性賦范空間,K0是K的閉線性子空間,將K中的向量分類,凡滿足x1-x2∈K0,x1-x2∈Z的兩個x1，x（2∈Z）歸為同一類,稱其為等價類[4].把一個等價類看作是一個新的向量,這種向量集合的全體構(gòu)成的空間稱為商空間,記為Wk+1,其元素[u]為

由于Pk(Ω)中的元素的k+1階導(dǎo)數(shù)為0,故上式與代表元的選取無關(guān),所以定義是有意義的,且顯然有

2 等價模定理在偏微分方程中的應(yīng)用

2.1 問題描述

的弱解.

關(guān)于問題（1）的弱解的存在性有如下定理：

定理設(shè)Ω?Rn是有界區(qū)域,?Ω滿足局部Lipschitz條件,f ∈L2(Ω),則問題（1）弱解的存在的充分必要條件是

證明：

必要性：

如果u∈H1(Ω)是問題（1）的弱解,則對于?v∈ H1(Ω)有

令v為常值函數(shù),則有

充分性：

考慮H1(Ω)中的子空間P0(Ω)（其實Wk+1,p(Ω)是所有的常值函數(shù)組成的子空間）.根據(jù)等價模定理,商空間H1(Ω)P0(Ω)的范數(shù)可以取為

且在此范數(shù)下商空間H1(Ω)P0(Ω)是一個Banach空間.

易驗證,此范數(shù)滿足平行四邊行法則,所以它可以誘導(dǎo)出內(nèi)積,此內(nèi)積為

在此內(nèi)積下H1(Ω)P0(Ω)成為一個Hilbert空間.

我們定義泛函

最后一個不等式應(yīng)用了等價范數(shù)定理.

于是T是H1(Ω)P0(Ω)上的有界線性泛函.由Riesz表示定理,存在

3 結(jié)論

對于偏微分方程的其他初邊值弱解的存在性,利用Sobolev空間等價模定理類似于上面的討論也可以相應(yīng)的給出,Sobolev空間是泛函分析在偏微分應(yīng)用中的橋梁,不僅對偏微分方程理論創(chuàng)新有重大的推動作用,在數(shù)值逼近等諸多分支中都有著重大的應(yīng)用.

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[2]Yosida K.FunctionalAnalysis[M].New York：Springer-Verlag,1980.

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[4]張恭慶,林源渠.泛函分析講義[M].北京：北京大學(xué)出版社,1987.

[5]馬寶林,劉娟,吳亮.關(guān)于Sobolev空間的等價模定理的一個證明[J].河南科技學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2010,38（4）：95-97.

[6]胡春洪.加權(quán)Sobolev空間的完備性[J].數(shù)學(xué)雜志,2004,24（3）：249-252.

[7]王萬義,孫炯,鄭志明.加權(quán)Sobolev空間中的Poincaré不等式[J].應(yīng)用力學(xué)與數(shù)學(xué),2006,27（1）：112-118.

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（責(zé)任編輯：盧奇）

Application of the Sobolev space equivalent modulus theorem on partial differential equation

Liu Juan1,2,Yuan Baoquan1
（1.Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000,China；2.Henan Institute ofScience and Technology, Xinxiang 453003,China）

An application of the Sobolev space equivalent modulus theorem on the theory of partial differential equations,and solve the existence of weak solution of a Neumann's problem．

Sobolev space；weak solution；existence；Neumann's problem

O186.12

A

1008-7516（2013）01-0056-03

10．3969/j．issn．1008-7516．2013．01．014

2012-12-11

國家自然科學(xué)基金（10771052）

劉娟（1979-）,女,回族,寧夏石嘴山人,講師,碩士在讀．主要從事偏微分方程研究．

原保全（1965-）,男,博士,教授．主要從事微分方程和數(shù)學(xué)流體力學(xué)偏微分方程研究．