高青松 周子超 王敏平

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

1986年Schmidt提出 MUSIC 算法[1]，實現(xiàn)了向現(xiàn)代超分辨測向技術的飛躍，也促進了子空間類算法的興起和發(fā)展。MUSIC算法在特定情況下具有很高的分辨力、估計精度及穩(wěn)定性，因而得到了許多學者的關注和深入研究。ESPRIT算法由Roy等人[2]于1986年提出的，是一種估計信號空間參數(shù)的旋轉不變技術，利用子陣間的旋轉不變技術實現(xiàn)陣列的DOA估計。MUSIC算法和ESPRIT算法一樣都需要對陣列接收數(shù)據(jù)的復數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解，運算量比較大，當陣元數(shù)比較大時，很難滿足系統(tǒng)實時性的要求。本文提出一種改進算法，利用Toeplitz矩陣和Hermitian矩陣的性質將復數(shù)協(xié)方差矩陣轉換成實矩陣，避免了復矩陣的特征值分解，減小了運算量，仿真驗證了本文提出算法的有效性。

2 算法模型

假定P個窄帶遠場信號入射到由M個陣元組成的均勻線陣，則陣元接收信號的表達式為:

X(k)= [x1(k)，x2(k)，…，xM(k)]T其中，xi(k)為第i個陣元在第k個采樣時刻的輸出，A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θP)]為 M × P 維導向矢量陣，a(θi)=[1，e－jφi，e－j2φi，…e－j(M－1)φi]T為 M × 1 維陣列流型矢量，其中φi=(2πd/λ)sin(θi);d為陣元間距;λ為波長;θi為第i個信源的入射角。S(k)= [s1(k)，s2(k)，…，sP(k)]T為 P ×1維空間信號向量，n(k)=[n1(k)，n2(k)，…，nM(k)]T為M × 1維觀測噪聲向量，ni(k)為均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲。

3 改進的MUSIC算法分析

由上面的模型我們可以的到數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

由式(3)知數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R為Hermitian矩陣[2]，如果我們令 R=Rr+jRi，(Rr、Ri都是實數(shù)矩陣)，則

由式(2)、(3)、(4)有

令矩陣R的特征值λk對應的特征向量Wk=

展開后有

寫成分塊矩陣的形式有

式(5)帶入式(9)有

[4]知任何一個2N×2N的實對稱Toeplitz矩陣R2N都可以矩陣分塊為:

至此，我們得出，將復數(shù)協(xié)方差矩陣R分為實部Rr和虛部Ri，合成新的實數(shù)矩陣T=Rr+JRi，在保持矩陣維數(shù)不增加的情況下，通過對矩陣T特征值分解可以精確得到矩陣R的特征值和特征向量，減小了計算量。

另外，由于噪聲的影響，使得采樣協(xié)方差矩陣不是Toeplitz矩陣，如果直接將復數(shù)協(xié)方差矩陣轉換為實數(shù)矩陣，其特征值分解誤差比對復數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解誤差大。為了進一步減小估計誤差，我們可以在得到協(xié)方差矩陣后，先對其進行Toeplitz化處理[5，6]，然后再轉換為實數(shù)矩陣。

下面給出改進MUSIC算法DOA估計的步驟:

給定M個陣元的觀測數(shù)據(jù)x1(t)…xm(t)，t=1，2，…，K。

步驟1 利用觀測數(shù)據(jù)矩陣X=[x(1)，…，x(K)]求自相關矩陣R，(對R進行Toeplitz化處理)，由R=Rr+jRi得到的實部Rr和虛部Ri。

步驟2 構造新的實合成矩陣T=Rr+JRi。

步驟3 對實合成矩陣進行特征值分解T=UΣUH，并確定信源個數(shù)p，并存儲p個主特征向量u1，…，up或者 M － p個次特征向量 up+1，…，uM。

4 數(shù)值仿真及分析

仿真一:均勻線陣，陣元間距d=λ/2，陣元數(shù)M=12，入射信號為三個非相干信號，入射角度為[10°，30°，60°]，信噪比相等，都為 SNR=0，采樣快拍數(shù)為200。仿真比較了常規(guī)MUSIC算法和改進MUSIC算法 DOA估計的性能，仿真結果如圖1所示。

圖1 常規(guī)的MUSIC法和改進MUSIC法DOA估計

從圖1中可以看出，雖然二者都能夠準確估計波達方向，但本文提出的算法譜峰更加尖銳，非來波方向的功率更小，更有利于準確估計譜峰的位置。

仿真二:均勻線陣，陣元間距d=λ/2，陣元數(shù)M=12，入射信號為三個非相干信號，入射角度分為[10°，30°，60°]，信噪比相等，SNR 從 － 10dB 到20dB，快拍數(shù)為300。進行100次獨立實驗，仿真了MUSIC算法和ESPRIT算法DOA估計的均方誤差，仿真結果如圖2和圖3所示。

圖2中，三條曲線分別為復數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解常規(guī)MUSIC算法、實數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解MUSIC算法和Toeplitz化復數(shù)協(xié)方差矩陣，然后轉換為實數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解MUSIC算法的DOA估計均方誤差。從圖2中我們可以看出，本文提出的實數(shù)特征值分解算法的估計均方誤差常規(guī)MUSIC算法要大，但相差不大，而且隨著信噪比增加估計誤差趨近相同;此外，我們還可以看出，經(jīng)過Toeplitz處理的改進MUSIC算法估計的均方誤差和MUSIC算法DOA估計的均方誤差基本相同，但Toeplitz處理的過程需要增加M×(M－1)次復數(shù)加法，在誤差要求不十分嚴格的情況下用改進MUSIC算法即可。

圖3中，三條曲線分別為復數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解常規(guī)ESPRIT算法、實數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解ESPRIT算法和Toeplitz化復數(shù)協(xié)方差矩陣，然后轉換為實數(shù)協(xié)方差矩陣特征值分解MUSIC算法的DOA估計均方誤差。同MUSIC算法類似，實數(shù)特征值分解ESPRIT算法的估計均方誤差比復數(shù)ESPRIT算法的估計均方誤差稍大，但Toeplitz處理后估計誤差比常規(guī)ESPRIT算法小，估計更準確。

5 結論

本文通過將協(xié)方差矩陣實部和虛部分離，并合成實數(shù)矩陣，對該矩陣進行特征分解可以的到信號協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量，避免了常規(guī)DOA估計算法直接進行復數(shù)特征值分解，計算量大的缺點，通過對MUSIC算法和ESPRIT算法進行仿真，驗證了本文提出的實數(shù)特征值分解算法的有效性。

參考文獻:

[1]Schmidt R O.Multiple emitter location and signal parameter estimation[J].IEEE Trans.on Antennas and Propagation.1986:276－280.

[2]Roy R，Paulraj A，Kailath T.ESPRIT－A subspace rotation approach to estimation of parameters of cissoids in noise[J].IEEE Transactions on Acoustics，Speech，and Signal Processing.1986，ASSP －34，(5):1340 －1342.

[3]張賢達.矩陣分析與應用[M].北京:清華大學出版社，2004.

[4]陳洪光，沈振康，郭天天.一種基于PCA分析的DOA估計算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2005，27(8):1376 －1378.

[5]唐玲，宋弘，陳明舉，張江莉.一種基于Toeplitz矩陣重構的相干信源DOA估計算法[J].電子信息對抗技術，2010，25(3):9 －10.

[6]王永良，陳輝，彭應寧，萬群.空間譜估計理論與算法[M].北京:清華大學出版社，2004.