田開云，譚曉蘭

（北方工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京 100041）

0 引言

目前，MEMS壓力傳感器[1]應(yīng)用比較多的有壓阻式壓力傳感器和電容式壓力傳感器，應(yīng)用壓電效應(yīng)制成的壓電式微傳感器[2]由于不僅可以作為傳感器，在輸入電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的情況下，還可以作為制動(dòng)器，因此，壓電式微傳感器具有廣闊的應(yīng)用前景[3]。

目前對(duì)于壓電懸臂梁式微傳感器[4-5]的優(yōu)化主要集中在假設(shè)形狀已經(jīng)確定的條件下（一般為矩形），通過改變復(fù)合懸臂梁的某一尺寸參數(shù)為變量，其他保持不變的情況下，得出該尺寸參數(shù)對(duì)輸出電壓的影響。但由于在優(yōu)化分析前已固定復(fù)合懸臂梁的結(jié)構(gòu)為矩形線性結(jié)構(gòu)，因此從理論上來說并不能保證所得到結(jié)果為最優(yōu)結(jié)果。

本文試圖在已經(jīng)給定壓電材料用量的情況下，通過建立數(shù)學(xué)模型，并用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，得出壓電懸臂梁的最佳長(zhǎng)度l，和偏轉(zhuǎn)角度α，在不改變各層厚度的情況下，得出最大的感應(yīng)電荷，從而保證在力F 一定的情況下，能夠提高傳感器的靈敏度。

1 壓電懸臂梁式微傳感器的工作原理與彎曲特性仿真

1.1 工作原理

當(dāng)微懸臂梁的端部受到作用力時(shí)，梁會(huì)發(fā)生彎曲形變。梁中的壓電ZnO 薄膜層在受到力的作用時(shí)，由壓電效應(yīng)，會(huì)在z 軸方向產(chǎn)生極化電荷。通過上、下電極層將電荷導(dǎo)出并輸入到電荷放大器（或電流放大器），再將電荷信號(hào)放大并轉(zhuǎn)換成電壓信號(hào)進(jìn)行信號(hào)處理。

1.2 壓電懸臂梁彎曲特性仿真

為了得到壓電材料在懸臂梁結(jié)構(gòu)時(shí)，自由端受力時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電荷分布，先建一個(gè)簡(jiǎn)單模型對(duì)壓電懸臂梁材料的彎曲特性進(jìn)行模擬仿真，如圖1 所示，紅色部分為底電極，上部分開間隔的各自獨(dú)立的上電極，長(zhǎng)度50 mm，厚度1 mm，在懸臂梁的末端施加100 μN(yùn) 的壓力后，仿真得到懸臂粱的彎曲曲線分別為圖2和圖3。

圖1 壓電懸臂梁仿真模型

如圖2 所示的懸臂梁在固支端A 附近的應(yīng)變最小，在自由端B 處的應(yīng)變最大，而圖3 則顯示出在B處的電壓最小，近乎為0，反而在固支端A附近的電壓達(dá)到最大值。

因此，如果把懸臂梁做成矩形式的線性結(jié)構(gòu)，并不能有效改善提高傳感器的靈敏度[6]。因此必須結(jié)合形狀優(yōu)化來綜合提高傳感器的靈敏度。

圖2 懸臂粱的彎曲曲線

圖3 懸臂梁電壓分布曲線

2 變截面式壓電微傳感器的建模與優(yōu)化

2.1 建模

由1.2 對(duì)壓電微懸臂梁的彎曲特性仿真可知，懸臂梁根部靠近固定裝置的一側(cè)，產(chǎn)生的感應(yīng)電荷最多，而在施加力的自由端一側(cè)產(chǎn)生的感應(yīng)電荷極少，末端甚至幾乎為0，又由于傳感器的靈敏度為：

由公式（1）可知，在自由端載荷F 不變的情況下，壓電懸臂梁產(chǎn)生的感應(yīng)電荷越多，則靈敏度越大。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于：設(shè)計(jì)了一般情況下的變截面復(fù)合懸臂梁，并建立優(yōu)化模型，如圖4所示。

圖4 變截面復(fù)合梁

考慮到懸臂梁受力時(shí)振動(dòng)的穩(wěn)定性，把變截面的傳感器模型設(shè)置為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。對(duì)于任意截面懸臂梁（截面如圖5所示），控制壓電材料的總面積s，通過協(xié)調(diào)梯形截面參數(shù)b0、b1、l 不變，使得壓電懸臂梁在常力F 作用下，產(chǎn)生的電荷最大，從而提高傳感器的靈敏度。引入偏轉(zhuǎn)角α。

圖5 變截面梁的俯視圖

表1 為要進(jìn)行懸臂梁結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的初始模型參數(shù)，而要進(jìn)行的優(yōu)化即為在其它條件不變的情況下，求出最佳的懸臂梁長(zhǎng)度l，和角度α，使得在力F 的作用下，輸出電荷Q 最大。建立的優(yōu)化模型如下：

表1 壓電懸臂梁模型初始參數(shù)

2.1.1 目標(biāo)函數(shù)：壓電懸臂梁力—電荷轉(zhuǎn)化關(guān)系的推導(dǎo)

對(duì)于PZT壓電材料，其壓電系數(shù)dij用矩陣表示，壓電方程為：

根據(jù)壓電懸臂梁的結(jié)構(gòu)，圖4 所示，梁的z軸方向承受作用力，對(duì)于薄膜符合材料層，可以認(rèn)為梁發(fā)生純彎曲變形，忽略σ2、σ3、τ4、τ5、τ6。

公式（4）化簡(jiǎn)為：

由公式（5）可知，只要計(jì)算出復(fù)合材料層中PZT 層中的應(yīng)力分布σ1，對(duì)公式（5）兩邊積分，即可求出在力F 作用下，傳感器產(chǎn)生的感應(yīng)電荷Q。故需先求出σ1。

在坐標(biāo)為x 處，變截面懸臂梁在此處的寬度為bx，參考圖5變截面梁的俯視圖，可得出：

同時(shí)，在坐標(biāo)x 處，距離中性軸的的縱向坐標(biāo)為z 時(shí)，由彎曲產(chǎn)生的應(yīng)力σz：

式（7）中：E 為梁的彈性模量；ρ 為梁彎曲后的曲率半徑；z 為距中性面的Z 向坐標(biāo)；M（x）為距離原點(diǎn)x 處的力矩；Iy為此截面相對(duì)于中性軸的慣性矩。

因此，只要求出中性面的位置z0和截面相對(duì)于中性軸的慣性矩Iy，就可把公式（7）代入（4）求出截面內(nèi)的感應(yīng)電荷密度，最后通過積分即可求得在力F 作用下產(chǎn)生的電荷量Q。

根據(jù)等效截面法，把復(fù)合懸臂層各層的厚度等效為Si 的厚度，得出中性層距復(fù)合梁底層的高度為z＇：

式（8）中hi為懸臂梁各層的厚度，復(fù)合梁等效成si 梁后的等效二次慣性矩I＇：

將公式（6）、（8）、（9）帶入公式（7），可得復(fù)合懸臂梁受力F 的作用時(shí)，離原點(diǎn)x 處，PZT 壓電層受到的平均應(yīng)力σx，為：

將公式（10）代入壓電方程（5），并對(duì)整個(gè)具有上、下電極的壓電層進(jìn)行積分，可得復(fù)合微懸臂梁受力F 的作用時(shí)，產(chǎn)生的電荷總量Q：

式（1）中：m 為引入的中間變量。

2.1.2 求解約束條件：

由于懸臂梁是純彎曲[7]，當(dāng)在自由端施加壓力F 后，在坐標(biāo)x 處產(chǎn)生彎矩M（x），在截面處的應(yīng)力分布如圖6 所示，任意點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，即沿高度方向，正應(yīng)力按直線規(guī)律變化。

圖6 懸臂梁彎曲時(shí)的應(yīng)力分布

設(shè)各層的正應(yīng)力最大為σimax（其中i max 代表是第i 層的最大應(yīng)力，從底部算起，分別為第1層，第2 層……），由公式（6）可知，在懸臂梁固定端，產(chǎn)生的彎矩最大，同理根據(jù)圖7，在每一層薄膜最靠近懸臂梁上下端面時(shí)，產(chǎn)生的軸向應(yīng)力最大，因此，只需校核此處的應(yīng)力是否滿足許用應(yīng)力條件。

把公式（11）、（12）代入初始的優(yōu)化模型（3）得：

2.2 模型求解

本模型屬于多變量非線性規(guī)劃約束問題極大值求解，應(yīng)用自適應(yīng)懲罰函數(shù)法[8]，把約束問題轉(zhuǎn)化為非約束問題后，應(yīng)用遺傳算法求解。

圖7 遺傳算法流程

2.2.1 構(gòu)造懲罰函數(shù)

由優(yōu)化模型（17）構(gòu)造輔助函數(shù)為：

把公式中的后一項(xiàng)作為懲罰函數(shù)p（α、l）

其中Ki（i=1、2……5）為懲罰因子，通常取較大的值，因此模型（13）可轉(zhuǎn)化為如下問題：

為了較好的解決懲罰因子的確定問題，將懲罰因子選取為自變量（α、l）的函數(shù)，并且為了加快收斂速度，借鑒了“多級(jí)懲罰”的思想[8]——對(duì)違反約束大的段給予較大的懲罰而違反約束小的段給予較小的懲罰，按下式構(gòu)造懲罰函數(shù)：

輔助函數(shù)（18）變形的：

2.2.2 基于懲罰函數(shù)法的遺傳算法

（1）參數(shù)設(shè)置

群體大小M=80，終止進(jìn)化代數(shù)G=100，交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.1。

（2）編碼

先確定染色體二進(jìn)制編碼串的長(zhǎng)度，在matlab編程中，調(diào)用如下函數(shù)求解各變量的字符串長(zhǎng)度：

代入公式（20），得：L=L_α+L_l=8+10=18。

（3）解碼

（4）選擇和遺傳

①選擇算子：輪盤選擇算子；②交叉算子：?jiǎn)吸c(diǎn)交叉；③變異算子：基本位變異。

圖8 最大遺傳代數(shù)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值得分布圖

3 結(jié)論

由遺傳算法[9]的優(yōu)化結(jié)果可知，當(dāng)l=1.13×10-3m，α=1.206，得到的感應(yīng)電荷Q1=7.485×10-11C，而在相同的壓電材料s 下，初始模型l0=1.6×10-3m，α0=π 2 時(shí)，初始感應(yīng)電荷Q0=6.693 7×10-11C，而由公式（1）得：傳感器的靈敏度與感應(yīng)電荷成正比，即優(yōu)化后的傳感器靈敏度提高了11.82%。

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