周 靜，楊繼明，尹家兵

（1.湖南工程學(xué)院 科技處，湘潭 411104；2.湖南工程學(xué)院 理學(xué)院，湘潭 411104）

0 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，行業(yè)之間的競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越激烈，為了提高利潤(rùn)，廣告成為一種重要的競(jìng)爭(zhēng)工具.不同的行業(yè)、不同的產(chǎn)品、甚至同一產(chǎn)品的不同生命周期，廣告的投放都是千差萬(wàn)別的.但廣告并非越多越好，選擇適當(dāng)?shù)膹V告策略可以使商品的銷(xiāo)售量達(dá)到正向增加的趨勢(shì)，使商品的利潤(rùn)達(dá)到最大.因此研究廣告投入效應(yīng)是十分必要的.

如何通過(guò)分析廣告投入對(duì)銷(xiāo)售的影響，建立廣告投入策略的數(shù)學(xué)模型并研究分析，然后利用模型結(jié)果幫助企業(yè)獲得更大利潤(rùn).這是一個(gè)值得深入研究的重要課題.

1 模型假設(shè)

假定商品的銷(xiāo)售和廣告投入費(fèi)用之間有下列關(guān)系：

在一定范圍內(nèi)，廣告投入可以增加銷(xiāo)售量，商品的銷(xiāo)售量隨著廣告費(fèi)用增加而增加，它與廣告費(fèi)用成正比.但廣告投入只會(huì)影響該商品在市場(chǎng)上未達(dá)到飽和的部分.一旦商品在市場(chǎng)上達(dá)到飽和狀態(tài)后，無(wú)論如何投入廣告，銷(xiāo)售都將減緩.銷(xiāo)售速度會(huì)隨著時(shí)間增長(zhǎng)而自然衰減，銷(xiāo)售量的下降速度與該商品的銷(xiāo)售量成正比［1，2］.

2 模型的建立與求解

設(shè)s（t）為t時(shí)刻的銷(xiāo)售量，A（t）為t時(shí)刻投入的廣告費(fèi)用，M為銷(xiāo)售的飽和水平（市場(chǎng)對(duì)商品的最大容納能力），λ為衰減因子（廣告的作用隨時(shí)間增長(zhǎng)而自然衰減），k為A（t）對(duì)s（t）的影響能力參數(shù).

在實(shí)際問(wèn)題中，我們并不清楚M、λ、k的值，是一種不確定環(huán)境.

根據(jù)上述假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型.

在沒(méi)有廣告投入情況下，銷(xiāo)售量的模型為

在廣告投入之后，銷(xiāo)售量的模型為

如果廣告投入只進(jìn)行有限時(shí)間τ，則銷(xiāo)售量的模型為

我們只對(duì)模型（1）進(jìn)行研究.模型（2）的研究類(lèi)似于模型（1）.

選擇廣告投入策略：

其中a為常數(shù)，表示在時(shí)間（0，τ）內(nèi)的廣告費(fèi)用，見(jiàn)圖1.

對(duì)方程（1）兩邊關(guān)于t求導(dǎo)，得到

這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，其通解為

若s｜t＝0＝s0，則C1＋C2＝s0.

于是，s（t）＝其函數(shù)圖形如圖2所示.

3 微分方程的奇點(diǎn)分析

將（4）式改寫(xiě)為方程組形式

顯然，y＝0，s＝0是奇點(diǎn).

通過(guò)直接計(jì)算，可得特征方程的根為λ1＝1，λ2是一對(duì)異號(hào)實(shí)根.從而可知奇點(diǎn)是鞍點(diǎn)（不穩(wěn)定）.在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)，方程的軌線圖貌如鞍形.

4 模型的檢驗(yàn)

表1 某日化公司牙膏銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)用的數(shù)據(jù)［3］

以某日公司牙膏銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)用的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行研究.牙膏銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)用的關(guān)系見(jiàn)圖3.利用這些數(shù)據(jù)，可以進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和模型的檢驗(yàn).對(duì)（1）式進(jìn)行離散，得到

上式是關(guān)于參數(shù)M，k，λ的方程，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，求得

該產(chǎn)品的廣告模型為

圖3給出了用最小二乘擬合得到的牙膏銷(xiāo)售量的近似值.

由數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木龋蒙鲜綄?duì)第8個(gè)銷(xiāo)售周期的牙膏銷(xiāo)售量做了預(yù)測(cè)，計(jì)算結(jié)果為7.72百萬(wàn)支，而實(shí)際銷(xiāo)售量為7.87百萬(wàn)支，可得相對(duì)誤差為2%.這說(shuō)明模型與實(shí)際銷(xiāo)售情況基本吻合，模型是可行的.

圖3 牙膏銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)用的關(guān)系

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)不確定環(huán)境下影響銷(xiāo)售的廣告投入數(shù)學(xué)模型的研究，可以為短時(shí)期內(nèi)廣告投入對(duì)銷(xiāo)售的影響提供依據(jù).

［1］孫淑蘭，王玉花.一個(gè)廣告投入對(duì)銷(xiāo)售影響的數(shù)學(xué)模型［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，22（3）：420－422.

［2］王建征，彭云飛.時(shí)滯型Vidale－Wolfe廣告模型［J］.貴州科學(xué)，2008，26（1）：15－18.

［3］姜啟源，等.數(shù)學(xué)模型（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2011.