魏承巖，魏 嘉

（1. 沈陽(yáng)東洋制鋼有限公司，遼寧 沈陽(yáng) 110024； 2. 中國(guó)寰球工程公司遼寧分公司， 遼寧 撫順 113006）

接觸問(wèn)題是彈性力學(xué)中的一類問(wèn)題，接觸理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活中的各個(gè)領(lǐng)域。由于接觸問(wèn)題的非線性，用經(jīng)典的方法求解他的精確解是十分困難的，而用有限元法可以十分簡(jiǎn)單的得到它的數(shù)值解[1]。當(dāng)剛性壓頭壓在彈性體的表面上時(shí)，彈性體容易在接觸邊界上產(chǎn)生類似于I型裂紋的應(yīng)力場(chǎng)，且彈性體裂紋的產(chǎn)生擴(kuò)展主要取決于接觸邊界的奇異應(yīng)力場(chǎng)。在接觸應(yīng)力場(chǎng)中應(yīng)力強(qiáng)度因子代表了應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)度，當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到材料的斷裂韌性時(shí)，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。由于接觸斷裂力學(xué)中假定彈性體的缺陷要比接觸的區(qū)域小的多，可以認(rèn)為是無(wú)缺陷，因而失效的主要原因是由于接觸壓力引起的開(kāi)裂。因此求得此處的應(yīng)力強(qiáng)度因子是十分必要的。

1 壓痕問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

1.1 壓痕拐角的應(yīng)力場(chǎng)

對(duì)于絕對(duì)剛性的壓頭作用在彈性半平面上，彈性半平面變形后在壓頭接觸區(qū)是一條直線，如圖1所示，壓頭的尺寸為 2a，作用在法線上的集中力為 P，在不考慮壓頭與彈性半平面之間摩擦力的情況下，由彈性力學(xué)可以得到在壓頭拐角處的局部應(yīng)力解為[2]：

其中 sx， sy， txy為應(yīng)力分量，r為徑向坐標(biāo)，為應(yīng)力強(qiáng)度因子且有：

圖1 剛性壓頭壓入彈性半平面Fig.1 Rigid indenter press in elastic half plane

1.2 J積分

Rice在1968年提出了J積分[3,4]，緊接著提出了HRR理論，奠定了J積分在斷裂力學(xué)中的地位，如圖2所示J積分可以表示為：

根據(jù)斷裂力學(xué)，很容易證明：

在線彈性平面應(yīng)變情況下，則有：

圖2 J-積分路徑Fig.2 J - integral path

2 有限元計(jì)算

2.1 裂紋尖端奇異性模擬

本文中剛性壓頭和彈性基底的問(wèn)題是接觸問(wèn)題中面面的剛?cè)峤佑|分析，對(duì)于二維的平面問(wèn)題，剛體一般用線代替面。用pilot控制剛體的移動(dòng)，在剛體的底面與半平面的上表面建立接觸單元。采用平面183單元，和169，172接觸單元，使用kscon劃分裂紋尖端網(wǎng)格[5,6]。

圖3 裂紋尖端接觸壓力分布圖Fig.3 The crack tip contact pressure distribution

彈性半平面的材料常數(shù)?。簭椥阅Ａ?E=200 GPa，泊松比 μ=0.3。由公式 1可以看出在裂紋尖端應(yīng)力表現(xiàn)為奇異性。圖3給出來(lái)在裂紋尖端接觸壓力分布圖，從圖中可以看出，在壓力接觸區(qū)應(yīng)力的分布是不均勻的，在壓頭端點(diǎn)處急劇上升達(dá)到最大值，這進(jìn)一步說(shuō)明了在接觸端點(diǎn)處存在應(yīng)力集中現(xiàn)象。

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子

如表1所示所示，在壓力分別為1 000 kN到5 000 kN作用下，分別用位移外推法和J-積分法求解的應(yīng)力強(qiáng)度因子[7,8]。從表中可以看出，隨著載荷P的增大，在先彈性狀態(tài)下，應(yīng)力強(qiáng)度因子線性增大。兩種方法的誤差很小，基本控制在2%以內(nèi)。驗(yàn)證了J-積分在線彈性斷裂力學(xué)中同應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系。

表1 不同壓力下的應(yīng)力強(qiáng)度因子Table 1 The stress intensity factor of different pressureTable

2.3 不同材料下的壓痕深度

圖4給出以E=2E11為基準(zhǔn)的不同材料下的壓痕深度。可以看出隨著彈性模量的逐漸減小，材料硬度變小，導(dǎo)致壓痕深度增加。

圖4 不同材料下的壓痕深度Fig.4 The indentation depth of different material

3 結(jié) 論

應(yīng)用有限元方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)提出合理的簡(jiǎn)化模型非常重要，并要根據(jù)實(shí)際情況定義合理的邊界條件，通過(guò)本文可以得到以下結(jié)論：

（1）在觸壓場(chǎng)端點(diǎn)處存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，可以使用斷裂力學(xué)中應(yīng)力強(qiáng)度因子概念描述它。

（2）使用J-積分和位移外推法都可以求得應(yīng)力強(qiáng)度因子大小，兩者誤差很小，但是使用J-積分僅僅局限于線彈性條件。

（3）不同的材料在相同的觸壓力下的壓痕深度不同，應(yīng)力強(qiáng)度因子也不相同。

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